湖北枣阳市第一中学2025-2026学年高三下学期阶段测试（一）数学试题

绝密★启用前 高三年级阶段测试（一） 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，记，，点是对角线上靠近点的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 4．已知复数（i为虚数单位），且，则（ ） A． B． C． D． 5．已知圆：与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率（ ） A． B． C． D． 6．夏日炎炎，某奶茶店推出了新款奶茶——“冰桶”系列，受到了年轻消费者的喜爱，已知该系列奶茶的容器可以看作是一个圆台与一个圆柱拼接而成，其轴截面如图所示，其中，，，，则该容器的容积为（ ）（不考虑材料厚度） A． B． C． D． 7．已知函数（，）的最小正周期为，且，若在上有且只有三个最值点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，为偶函数，则下列说法不正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为18 B．设两个变量x，y之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上 C．若，，…，的平均数为2，方差为1，，，…，的平均数为6，方差为2，则，，…，的方差为5.5 D．若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 10．已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ） A．该正方体外接球的表面积为 B．直线与所成角的余弦值为 C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．点到平面的距离为 11．在无穷数列中，，则下列选项正确的是（ ） A．若，，则对任意，都存在，使得 B．若（），，且对任意，都有，则的最大值是 C．若，，使得集合中有有限个元素 D．若，当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线l：与曲线和都相切，则________． 13．甲、乙、丙、丁四位大学生计划到A、B、C三个地方实习，每人选择一个地方且每个地方至少一人，则学生甲不去A的概率为_________． 14．已知动直线与圆O：相切，与椭圆相交于不同的两点A，B，则原点到的中垂线的最大距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在中，，为延长线上的一点，，． （1）若，求的长； （2）若，求的面积． 16．（15分） 已知函数，． （1）若的最大值为1，求的值； （2）若恒成立，求的取值范围． 17．（15分） 在中，，，点D，E分别在边，上，且，（），将沿折起，点落在点的位置，连接，，得到如图所示的四棱锥，点在线段上，且． （1）若平面，求． （2）当四棱锥体积最大时，线段上是否存在点Q使得C，D，Q，F四点共面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 已知抛物线：（），为坐标原点，直线：，经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点．动直线：在轴上方． （1）求抛物线的方程； （2）当线段在直线上方时，直线等分三角形的面积，求的值． （3）点在直线上的射影为点，是否存在使得以点为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 一个有限项数列，若满足：其中连续项，，…，是1，2，…，的一个排列，且为使这个排列在数列中的连续项的最小的，则称为这个排列的阶“明月项”；若对于1，2，…，的任一排列，在中都能找到相应的“明月项”，则称这个数列为阶“明月数列”；如：数列：1，2，3，1，1，2，3，1中排列2，3，1的3阶“明月项”为． （1）写出1，2，3，1，3，2，1，3的全部3阶“明月项”，并判断这个数列是否是3阶“明月数列”； （2）证明：任意有限项数列不存在连续项都是阶“明月项”； （3）求4阶“明月数列”项数的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级阶段测试（一）答案 1．A 2．C 3．A 4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．ABC 10．ABD 11．AC 12．/ 13． 14． 15．（1） （2） 【详解】（1）在中，根据正弦定理可得， 即， 由为钝角，得为锐角，所以， 所以， 所以 （2）因为， 在中，由余弦定理得，， 解得，则， 则．在中，，， 所以的面积为． 16．（1）1 （2） 【详解】（1）的定义域为，， 令，得， 令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减． 因为，． （2）若恒成立，即恒成立，即 即恒成立，设（）， 则，令（） 则在上单调递增，易知， 即存在，使得， 即，则，两边取对数有，即， 即时，，此时单调递减，时，，此时单调递增， 则，所以，即的取值范围为． 17．（1）作直线交于点，因为，所以． 因为平面，面，面平面， 所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以． （2）因为，，，所以平面 因为四棱锥的体积 记，，，增区间，减区间， 所以时四棱锥的体积最大，此时，，． 方法一：延长交于，连接交于 设 所以 即 所以 方法二：以，，为，，轴建系 ，，，，．设 ，， 设平面法向量，则 取，，所以 所以 18．（1）直线l：经过点，所以，抛物线为． （2），，，， 记直线分别与，交于点E，F，则，所以． （3）线段中点在曲线上，点， 以点为圆心且过点的圆为 即 令，所以存在，使得以点为圆心且过点的圆过点 19．【解析】（1），，，，是全部的3阶“明月项”，数列的连续3项中不存在排列3，1，2，因此不是3阶“明月数列”． （2）假设中，，…，都是阶“明月项”． 注意到，，…，与，，…，都是1，2，…，的一个排列，此时必有． 同理对于，有，于是，，…，与，，…，是1，2，…，的同一个排列，此时不是阶“明月项”，矛盾． 因此中，不存在连续项都是阶“明月项”． （3）由定义知4阶“明月数列”至少有个4阶“明月项”，且最后3项显然均不是4阶“明月项”，因此4阶“明月数列”至少有27项；由（2）的结论，至少有27项的有限数列不存在连续5项都是4阶“明月项”，同时易知至少有5个非4阶“明月项”才能将24个4阶“明月项”分成无连续5项相邻的几个部分，且这5个非4阶“明月项”后面都存在4阶“明月项”，因此4阶“明月数列”至少有项，下面证明32项的情况不成立． 若存在32项的4阶“明月数列”，则只能有5个非4阶“明月项”，将24个4阶“明月项”分割成6个部分，其中每个部分都不能超过4项，那必定都只能恰为4项．于是数列的第1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17、18、19、21、22、23、24、26、27、28、29项必定是4阶“明月项”，且其中只存在4种不同的取值． 类似第2问中的讨论，我们有，不妨设它们等于1；，不妨设它们等于2；，，不妨设它们等于3；，，，不妨设等于4． 注意到与都是4阶“明月项”，若，则只能，于是，，，与，，，是同一排列，矛盾．故只能，． 类似第2问继续讨论有，（否则不是4阶“明月项”），，，，；在前，排列1，2，3，4与排列1，2，4，3均已正序存在，因此，，，必定是此前已正序存在的排列，不是4阶“明月项”，矛盾． 因此不存在32项的4阶“明月数列”． 另一方面，可以验证1，2，3，4，1，2，3，1，4，2，3，1，2，4，3，1，2，1，3，4，2，1，3，2，4，1，3，2，1，4，3，2，1是33项的4阶“明月数列”，因此4阶“明月数列”的项数最小值为33． 学科网（北京）股份有限公司 $