专题2.7 函数比较大小 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数比较大小核心考点，涵盖利用单调性、中间值、构造函数、放缩法四大方法模块，按从基础应用到综合创新的逻辑架构知识体系。通过考点梳理明确指对幂函数性质，方法指导提炼解题策略，真题训练强化实战能力，形成系统高效的复习路径。 资料以分层进阶设计为特色，创新融合数学思维与数学眼光，如构造函数环节引导学生观察代数式结构抽象函数模型，放缩法教学结合泰勒展开展开逻辑推理。设置基础例题到综合练习题的梯度训练，配合即时方法总结，助力学生快速突破难点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

专题2.7 函数比较大小 2.7.1 利用函数单调性比较大小 1.通过指数函数、对数函数、幂函数单调性比较大小. (1)指数函数：. 时，函数单调递增；时，函数单调递减. (2)对数函数：. 时，函数单调递增；时，函数单调递减. (3)幂函数：. 时，函数单调递增；时，函数单调递减. 2.通用解题思路 （1）同底看指数/真数，用指、对数单调性； （2）同指数看底数，用幂函数单调性； （3）不同底不同指数：找中间值分段比较. 例1.已知，，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 例2.设，则（ ） A. B. C. D. 例3.设，，，则（ ） A. B. C. D. 例4.若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 例5.设，且，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 1.设，则大小关系为( ) A. B. C. D. 2.已知，大小排序正确的是( ) A. B. C. D. 3.，从小到大排列( ) A. B. C. D. 4.若，三者从小到大排序为 . 5.设，从大到小排列为 . 6.设，，，则（ ） A. B. C. D. 7.设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8.已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9.设，，，则（ ） A. B. C. D. 10.设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11.已知，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 12.已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2.7.2 取中间值比较大小 借助中间值，如0,1,2，等，进行大小比较，指数函数，对数函数，幂函数常用此方法. 例1.已知，.设，，，则（ ） A. B. C. D. 例2.设，，，则（ ） A. B. C. D. 例3.若,则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 例4.设，，，则三者大小关系为（ ） A. B. C. D. 1.已知，，，则三者大小关系为（ ） A.   B.   C.   D. 2.，，，下列正确的是（ ） A.   B.  C.   D. 3.若，，，则（ ） A.   B.   C.   D. 4.下列大小关系成立的是（ ） A. B. C. D. 5.已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6.已知 , 则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7.设,则的大小是（ ） A. B. C. D. 8.设,则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9.设, 则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10.已知,则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11.已知,则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2.7.3 构造函数利用单调性比较大小 针对难度较大的比较大小的题型，先观察比较大小的几个数的相同结构，构造出函数，判断函数的单调性，也可求导判断函数的单调性，然后进行大小比较. 例1.设，比较大小（ ） A. B. C. D.无法确定 例2.已知，大小排序正确的是（ ） A. B. C. D. 例3.，大小关系为（ ） A. B. C. D. 例4.已知，大小排序（ ） A. B. C. D. 1.，从小到大（ ） A. B. C. D. 2.，大小关系（ ） A. B. C. D. 3.，大小关系（ ） A. B. C. D. 4.已知，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 5.已知,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 6.已知,则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 7.已知,则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 8.若,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 9.若，则( ) A. B. C. D. 10.已知 ( 为自然对数的底数), ，则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 11.已知，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 12.设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 2.7.4 函数放缩比较大小 常见放缩 1.与相关的放缩： （1）； （2）； （3）；. （4）泰勒二阶展开放缩：. 2.与相关的放缩： （1）； （2）； （3）；； （4）飘带放缩：，当时，不等号方向相反. 3.与三角函数相关的放缩： （1）； （2）； （3）. 例1.已知是自然对数的底数，设，则（ ） A. B. C. D. 例2.已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 例3.已知实数分别满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 例4.设，则的大小关系为 （从小到大顺序排）． 1.设，则( ) A. B. C. D. 2.已知，，排序正确的是( ) A. B. C. D. 3.已知，，则( ) A. B. C. D. 无法比较 4.已知，，则( ) A. B. C. D.不确定 5.已知，，大小关系( ) A. B. C. D. 6.设，，则（ ） A. B. C. D. 7.已知，则（ ） A. B. C. D. 8.已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9.已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 11.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 函数比较大小 2.7.1 利用函数单调性比较大小 1.通过指数函数、对数函数、幂函数单调性比较大小. (1)指数函数：. 时，函数单调递增；时，函数单调递减. (2)对数函数：. 时，函数单调递增；时，函数单调递减. (3)幂函数：. 时，函数单调递增；时，函数单调递减. 2.通用解题思路 （1）同底看指数/真数，用指、对数单调性； （2）同指数看底数，用幂函数单调性； （3）不同底不同指数：找中间值分段比较. 例1.已知，，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 解：由题意：，由于，函数为减函数，故 .故选：C. 例2.设，则（ ） A. B. C. D. 解：因为，为单调递增函数，所以，即，故选：D. 例3.设，，，则（ ） A. B. C. D. 解：， . ；且； ，故选：D. 例4.若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：因为 在上递增，且 ， 所以，所以， 即，因为在上递增，且， 所以，即， 所以，故选：B. 例5.设，且，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：当时，易知，再由以为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知，又恒大于 (二次项系数大于，根的判别式小于，函数值恒大于)，即，再由以为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知， 又当时显然大于，同上，可知.综上：. 故选：B. 1.设，则大小关系为( ) A. B. C. D. 解：①； ②在递增，； 递减，；得；综上. 故选：B. 2.已知，大小排序正确的是( ) A. B. C. D. 解：；；； ，即.故选：A. 3.，从小到大排列( ) A. B. C. D. 解：；；； 故.故选：A. 4.若，三者从小到大排序为 . 解：利用中间值、分段判断：，，，因此. 故答案为：. 5.设，从大到小排列为 . 解：借助中间值分段：；；； 综上大小关系：.故答案为：. 6.设，，，则（ ） A. B. C. D. 解：因为 ，，所以 ，故选：A. 7.设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：由在R上递增，则， 由在上递增，则，所以，故选：D. 8.已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ，据此可得：.故选：D. 9.设，，，则（ ） A. B. C. D. 解：由指数、对数函数的性质可知：，，所以有. 故选：A. 10.设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解：函数是减函数，；又函数在上是增函数，故，故选：A. 11.已知，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：因为，，，所以．故选：A. 12.已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：由题意：，且：， 据此：，结合函数的单调性有：，即 .故选：C. 2.7.2 取中间值比较大小 借助中间值，如0,1,2，等，进行大小比较，指数函数，对数函数，幂函数常用此方法. 例1.已知，.设，，，则（ ） A. B. C. D. 解:由，，又，故； ，故；所以. 又由得（取常用对数），即1.25. 所以.由得，即，所以，故.综上，.故选：A. 例2.设，，，则（ ） A. B. C. D. 解：，. ,,.故选 A. 例3.若,则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解：,,. 又,,故选 B. 例4.设，，，则三者大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：，； ，； ，；.故选:D. 1.已知，，，则三者大小关系为（ ） A.   B.   C.   D. 解：取中间值、分段判断: ；；； 综上：.故选：A. 2.，，，下列正确的是（ ） A.   B.  C.   D. 解：先用、分段，再用细分： ；，且；； 得.故选：B. 3.若，，，则（ ） A.   B.   C.   D. 解：中间值、：，，，. 故选：A. 4.下列大小关系成立的是（ ） A. B. C. D. 解：中间值、：，，，即.故选：B. 5.已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 解：，，.故选 C. 6.已知 , 则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：由题意, 可知:,,,.故选 A. 7.设,则的大小是（ ） A. B. C. D. 解：,.故选 A. 8.设,则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解：,即.,. 综上可得,故选：A. 9.设, 则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解：,则.故选：D. 10.已知,则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：,,,则的大小关系为. 故选：D. 11.已知,则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：, 且,,则,. 故选：D. 2.7.3 构造函数利用单调性比较大小 针对难度较大的比较大小的题型，先观察比较大小的几个数的相同结构，构造出函数，判断函数的单调性，也可求导判断函数的单调性，然后进行大小比较. 例1.设，比较大小（ ） A. B. C. D.无法确定 解：两边取自然对数：，，变形为比较与. 构造，，时，故，在单调递增，，交叉相乘得，即.单调递增，故.故选：A. 例2.已知，大小排序正确的是（ ） A. B. C. D. 解：比较：构造，，时，单调递增. ，得，即； 比较：，故；综上.故选：A. 例3.，大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：比较：构造，， 在递减.，即； 比较：构造，令，，递增.，即；综上. 故选：B. 例4.已知，大小排序（ ） A. B. C. D. 解：统一结构变形：，构造，求导可证单调递减. 令：，即； 令：，即； 综上.故选：B. 1.，从小到大（ ） A. B. C. D. 解：先化简统一指数形式，构造（借助单调性）： ；；； 数值大小：，即.故选：D. 2.，大小关系（ ） A. B. C. D. 解：分别估算数值：，，； 构造函数佐证：，即.故选：B. 3.，大小关系（ ） A. B. C. D. 解：构造，递增，递减，时取最大值； ，故，即.故选：B. 4.已知，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 解：设，则；时，；在上单调递减； ，；;.故选：C. 5.已知,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 解：,, 且, ,, 且 ,,,.故选 B. 6.已知,则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 解：,, 的大小比较可以转化为的大小比较. 设,则,当时,,当时,,当时, 在上, 单调递减,,,故选：D. 7.已知,则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 解：,,的大小比较可以转化为的大小比较. 设,则,当时,, 当时,,当 时, ， 在 上单调递减, ，,,故选：D. 8.若,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 解：令,时, ,在上单调递减, 又,,.故选：D. 9.若，则( ) A. B. C. D. 解：由， 所以,且;又,;不妨设 , 则有;构造函数,所以, 令,解得;所以时,是单调递增函数; 所以,即,所以;综上可知, .故选：D. 10.已知 ( 为自然对数的底数), ，则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 解：，构造函数，则， 由，得， 当时，是减函数，当时，是增函数， 当时，取最大值，，..故选 C. 11.已知，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 解：构造函数 ，由函数图像可知： 在时，，即，， 又，，故选：C. 12.设,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 解：构造函数,则, 当时, ,则在上为增函数,,即, ,即,则;设,则, 当时,,在上为增函数,则,即,则. 又..故选：B. 2.7.4 函数放缩比较大小 常见放缩 1.与相关的放缩： （1）； （2）； （3）；. （4）泰勒二阶展开放缩：. 2.与相关的放缩： （1）； （2）； （3）；； （4）飘带放缩：，当时，不等号方向相反. 3.与三角函数相关的放缩： （1）； （2）； （3）. 例1.已知是自然对数的底数，设，则（ ） A. B. C. D. 解：设，则. 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 又，故，即. 又 结合得：，而 ，，故.综上，.故选：A. 例2.已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解：设，，则 所以在上单调递增.于是 故，即.再设，则. 当时，；而此处考虑，但注意： 由于，且，当，故在上单调递减， 因此即，所以故. 综上：，即，故选：． 例3.已知实数分别满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 解：由，得.令则. 当时，，故 在 上单调递增，因定义域为 ，且 在 处有定义，）.于是即 所以.又由 ，得 .令 则令，则 故在上单调递增；又，所以当时，，故在上单调递增.因此即综上，，故选：D. 例4.设，则的大小关系为 （从小到大顺序排）． 解：，。故答案为：。 因此 .故答案为：. 1.设，则( ) A. B. C. D. 解：，飘带放缩 ，代入得，两端仅取等，此处严格不等，故。故选：B. 2.已知，，排序正确的是( ) A. B. C. D. 解：三角函数放缩： 时 ，，严格成立，，即 。故选：A. 3.已知，，则( ) A. B. C. D. 无法比较 解：，放缩，；取等条件，，严格小于，，。故选：B. 4.已知，，则( ) A. B. C. D.不确定 解：放缩 ，仅 取等， 时严格大于，，。 故选：A. 5.已知，，大小关系( ) A. B. C. D. 解：时飘带放缩不等号反向：， 代入：，即 。故选：A. 6.设，，则（ ） A. B. C. D. 解：由不等式：令 ，得 两边同乘 ，得：即. 又由不等式，故选：． 7.已知，则（ ） A. B. C. D. 解：因为，又当时，，所以，即，故； 又当时，，取，得，故，因此.故选：A. 8.已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：由，当时等号成立，知； ，，.故选：B. 9.已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解：由（当），得 又由不等式（对成立），得： 故，即，所以最大者为，最小者为，顺序为，故选：． 10.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解：，，因此.故答案为：C. 11.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 解：由. 设,则, 设,则,所以函数在上单调递增, 所以, 即,即, 即,所以, 则函数在上单调递增,所以, 即, 即 , 即 ; 设,则, 所以函数在上单调递减,则, 即, 即, 即,所以, 又,所以, 即,所以.故选：B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $