2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务十一·指数运算、指数函数 课件

这是一份高一数学期末复习课件，共46页，聚焦指数运算与指数函数。包含知识梳理（定义、性质、幂运算规则）、典型习题（求值化简、比较大小）、解题原则总结及能力达标训练，为学生搭建系统复习支架。 资料特色显著，通过表格分类梳理指数幂运算性质，结合具体例题（如已知a^(1/2)+a^(-1/2)=3求a+a^(-1)）培养数学抽象与推理能力，利用图象分析指数函数单调性提升几何直观，助力学生巩固基础、提升解题能力，也为教师提供结构化教学资源。高一学生正处于适应高中数学思维的关键期，该资料能帮助他们系统梳理知识，应对期末检测需求。

高一数学期末复习课程 任务十一·指数运算、指数函数 一、指数知识梳理 1.指数及指数运算 根式 定义 如果xn=a,那么x叫做a的n次方根(其中n>1,n∈N*),记为,n称为根指数,a称为根底数 性质 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数 指数幂 指数 定义 指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数,a为底数,n为指数,指数位于底数的右上角 有理 指数 幂的 分类 正整数指数幂an=a·a·a·…·a(n∈N*) 零指数幂a0=1(a≠0) 负整数指数幂a-n=(a≠0,n∈N*) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 有理指 数幂运 算性质 aman=am+n(a>0,m,n∈Q) (am)n=amn(a>0,m,n∈Q) (ab)m=ambm(a>0,b>0,m∈Q) 根式与有理 指数幂的关系 (a>0,m,n∈N*,n>1) 1.已知=3,则a+a-1=　 　,a2+a-2=　　　　. 7 47 解析 由=3,得()2=9,所以a+a-1+2=9, 因此a+a-1=7,所以(a+a-1)2=49,即a2+a-2+2=49,于是a2+a-2=47. 指数习题 2.已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　) A.25 B.5 C. D. C 解析 由log83=b,得8b=3,即23b=3,则2a-3b=,所以4a-3b=,故选C. 3.求值与化简: (1)+(+(-6)0+; 解 原式=+(+(-6)0+ +(+1+|2-| =+1+-2=2+ (2)(a>0,b>0); 解 原式= (3)(a>0). 解 原式=(÷(=a÷a=1. 及时练：化简求值: (1)(a>0); 解 原式= (2)(+2(e-1)0-; 解 原式=[()3]+2-=()-1++2-2= (3)()-2+(0.002-10(-2)-1+()0; 解 原式=()2+(+1 =+10+1=+10-10-20+1=- (4)已知=2,求()(a+a-1-2). 解 ∵()2=a+a-1-2=4,∴a+a-1=6, ∴()2=()2+4=8. >0, =2,原式=()(a-1+a-1)(a+a-1-2)=40 二、指数函数知识梳理 1.指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域为R. [知识深化] 形如y=kax,y=akx+b+h(a>0,且a≠1,k≠0)等的函数称为指数型函数,不是指数函数. 2.指数函数的图象与性质 y=ax 0<a<1 a>1 图象 “撇增 捺减” 图象     定义域 R 值域 　　 　  性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1 当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1 比较幂值大小的重要依据 在定义域R上是　　　　　  在定义域R上是　　　　　  (0,+∞) 减函数 增函数 [知识深化] 1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象, 应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,). 2.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低,不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高,即“底大图高”. 3.f(x)=ax与g(x)=a-x=()x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称. 4.指数函数的图象以x轴为渐近线. 1.已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点(　　) A.(-2,) B.(-1,) C.(1,2) D.(3,) D 解析:设f(x)=ax(a>0,且a≠1), 则a-1=2,得a=,∴f(x)=()x,则f(3)= 三、基础检测 2.如图,①②③④中不属于函数y=2x, y=6x,y=()x的一个是(　　) A.①　　　　B.②　　　　 C.③　　　　D.④ B 3.已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b C 解析:因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7, 故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a. 4.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为3, 则a的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D. A 解析:当0<a<1时,y=ax在[0,1]上单调递减,最大值、最小值分别为1,a, ∴1+a=3,a=2(舍去);当a>1时,y=ax在[0,1]上单调递增,最大值、最小值分别为a,1,∴1+a=3,a=2. 5.若函数f(x)=(a2-2a-2)·ax是指数函数,则a的值是(　　) A.-1 B.3 C.3或-1 D.2 B 解析:根据指数函数的定义,形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数,得到若函数f(x)=(a2-2a-2)·ax是指数函数,则解得a=3. ①.指数函数的图象及应用 四、能力达标 例1 (1)函数f(x)=·3x的图象大致形状是(　　) A 解析:当x>0时,f(x)=3x,f(x)在(0,+∞)上单调递增,C,D错误;当x<0时, f(x)=-3x,f(x)在(-∞,0)上单调递减,B错误,A正确.故选A. 例1(2)(多选题)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为(　　 ) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b ABC 解析 由题意,在同一平面直角坐标系内分别 画出函数y=3x和y=6x的图象,如图所示, 由图象知,当a=b=0时,3a=6b=1,故选项A正确; 作出直线y=k,当k>1时, 若3a=6b=k,则0<b<a,故选项B正确; 作出直线y=m,当0<m<1时, 若3a=6b=m,则a<b<0,故选项C正确; 当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b=6b,故选项D错误. (2)巧用图象变换 常见的变换有:①函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象可由函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到; ②函数y=ax+b的图象可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到. 及时练1 (1)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、三、四象限,则g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为(　　) A.(0,) B.(-∞,) C.(-∞,) D.(0,) A 解析:由函数f(x)=3x+b的图象经过第一、三、四象限,可得b<-1, 所以g(b)=f(b)-f(b-1)=3b-3b-1=3b·(1-)=3b<3-1=, 又因为3b>0,所以g(b)=f(b)-f(b-1)的取值范围为(0,).故选A. (2)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　. (0,2) 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示. ∴当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点. ∴实数b的取值范围是(0,2). (3)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值 范围是　　　　. (0,) 解析 ①当0<a<1时,y=|ax-1|的图象如图1. 因为y=2a与y=|ax-1|的图象有两个交点, 所以0<2a<1,所以0<a<; ②当a>1时,y=|ax-1|的图象如图2, 而此时直线y=2a不可能与y=|ax-1|的图象有两个交点. 综上,a的取值范围是(0,). 图1 图2 ②.指数函数的性质及应用 例2 (1)已知函数f(x)=ex,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(ln 2), 则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a C 解析:依题意,21.99>21.98=40.99>20=1>ln 2,而函数f(x)=ex在R上单调递增, 因此f(21.99)>f(21.98)>f(ln 2),即c<a<b,故选C. 比较指数式的大小 (2)若ea+πb≥e-b+π-a,下列结论一定成立的是(　　) A.a+b≤0 B.a-b≥0 C.a-b≤0 D.a+b≥0 D 解析:∵ea+πb≥e-b+π-a,∴ea-π-a≥e-b-πb(*),令f(x)=ex-π-x,则f(x)是R上的增函数,(*)式即为f(a)≥f(-b),∴a≥-b,即a+b≥0. 及时练2：(1)设a=0.50.4,b=0.41.1,c=1.10.5,则下列关系正确的是(　　) A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c D 解析 因为指数函数y=0.5x是减函数,所以0.51.1<0.50.4<0.50=1, 又由幂函数y=x1.1在(0,+∞)内单调递增,所以1=11.1>0.51.1>0.41.1, 又因为指数函数y=1.1x是增函数,所以1.10.5>1.10=1. 综上可得,b<a<c,故选D. (2)已知a=()-0.3,b=1.10.7,c=(,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a C 解析 因为函数y=()x在R上单调递减,所以a=()-0.3=()0.3<()0=1,即a∈(0,1);c=(<()0=1,即c∈(0,1),又>0.3,则(<()0.3,即a>c. 因为函数y=1.1x在R上单调递增,则b=1.10.7>1.10=1.综上,b>a>c,故选C. 例3 不等式的解集为(　　) A.(-1,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞) B 解简单指数方程或不等式 解析:当x>0时,由,得3x+3-x-2>,即3·(3x)2-10·3x+3>0,解得3x>3或3x<,所以x>1或x<-1,又因为x>0,所以x>1;当x<0时,=-(3x+3-x-2),由,得3x+3-x-2<-,即3·(3x)2-2·3x+3<0,无解.综上所述,不等式的解集为(1,+∞). 解指数不等式的常用方法 性质法 解形如ax>ab的不等式,可借助函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论 隐含性 质法 解形如ax>b的不等式,可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解 图象法 解形如ax>bx的不等式,可利用对应的函数图象求解 及时练3： 已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围是(　　) A.[2,4] B.(-∞,0) C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2] D 解析:∵y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],∴1≤4x-3·2x+3≤7,且2x>0, ∴0<2x≤1或2≤2x≤4,∴x≤0或1≤x≤2. 例3(1)函数y=(的值域是(　　) A.(-∞,0) B.(0,1] C.[1,+∞) D.(-∞,1] B 解析 令t=,则t≥0,∵y=()t在区间[0,+∞)上单调递减,∴()t≤()0=1,又()t>0,∴y=(的值域为(0,1],故选B. ③.指数型函数的值域问题 (2)高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为“高斯函数”,例如:[-2.5]=-3,[2.7]=2.已知函数f(x)=,则函数[f(x)]的值域是(　　) A.{-1,1} B.{-1,0} C.(-1,1) D.(-1,0) B 解析 (方法一)函数f(x)==1-,因为ex>0,所以1+ex>1,所以0<<1.因此-2<-<0,所以-1<1-<1,即-1<f(x)<1. 当-1<f(x)<0时,[f(x)]=-1;当0≤f(x)<1时,[f(x)]=0, 因此[f(x)]的值域为{-1,0},故选B. (方法二)由f(x)=,得ex=,因为ex>0,所以>0,解得-1<f(x)<1.当-1<f(x)<0时,[f(x)]=-1;当0≤f(x)<1时,[f(x)]=0, 因此[f(x)]的值域为{-1,0},故选B. 及时练：使函数f(x)=|ex-a|的值域为[0,+∞)的一个a的值为　　　　. 1 解析 令f(x)=|ex-a|,由题意得f(x)的值域为[0,+∞), 又y=ex的值域为(0,+∞),所以-a<0,解得a>0,故a的取值范围为(0,+∞). 例4 (1)(2023·全国新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) D 解析:函数y=2x在R上是增函数,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则函数y=x(x-a)=(x-)2-在区间(0,1)上单调递减,因此1,解得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞). 求参数的值或范围 (2)若函数f(x)=(有最大值3,则a=　　　　　. 1 解析:令h(x)=ax2-4x+3,y=()h(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1. 例5(多选题)若函数f(x)=(的图象经过点(3,1),则(　　) A.a=1 B.f(x)在(-∞,1)上单调递减 C.f(x)的最大值为81 D.f(x)的最小值为 AC 指数型函数的综合应用 解析 对于A,由题意得f(3)=()9a-6-3=1,得a=1,故A正确; 对于B,令函数u=x2-2x-3,则该函数在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,因为y=()u在定义域R上为减函数,所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,故B错误; 对于C,D,因为f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=81,f(x)无最小值,故C正确,D错误,故选AC. 及时练：已知函数f(x)=,则(　　) A.f(0.1)>f(0.2) B.函数f(x)有一个零点 C.函数f(x)是偶函数 D.函数f(x)的图象关于点()对称 D 解析:函数f(x)=的定义域为R,对于A,函数f(x)==1-,函数y=4x在R上为增函数,易得f(x)在R上为增函数,则有f(0.1)<f(0.2),故A错误; 对于B,由于4x>0,则f(x)>0,因此f(x)没有零点,故B错误; 对于C,f(1)=,f(-1)=,所以f(1)≠f(-1),因此f(x)不是偶函数,故C错误; 对于D,因为f(x)=,所以f(1-x)=,所以f(x)+f(-x)=1,所以函数f(x)的图象关于点()对称,故D正确.故选D. 任 务 完 成 $