浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一下学期数学期末统测模拟试卷一

高一数学期末统测模拟试卷一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的4个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1、已知复数z满足i·z=3-i,则z= () A.1-31 B.-1+31 C.1-3i D.1+3i 2、记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=45°，a=3,c=2,则b= () A.2 B.√5 C.√17 D.√21 3、在△OAB中，AD=2DB,记OA=d,OB=,则O元= () A号a+号6 B.号a+号6 c}i-号6 n.号i-号6 4、一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地 随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为 () A子 B. c D.3 5、设α，B是两个平面，m,n是两条直线，则下列命题为真命题的是 A.若m∥a,∥B,则m∥B B.若∥B,m⊥a,n⊥B,则m⊥n C.若a⊥B,m⊥&，m⊥n,则n⊥BD.若m∥&，mcB,a∩B=n,则m∥n 6、一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事 件A=两张标签标号之积大于15”，事件B=第一张标签标号小于3”，则 () AP(A=是 B.PB)=号 C.A与B互斥 D.A与B相互独立 7、在三棱台ABC-A1BC1中，平面ABC⊥平面ACCA1,△ABC是以B为直角顶点的 等腰直角三角形，且AC=2AC1=2AA1=2CC,则二面角B-AC-C的正切值为（) A. 6 R号 C.25 D.2 5 8、若不等式x十√cy十yz≤k(c十y+z)对任意正实数x,y,z恒成立，则实数k的 最小值为(). A.1 B. c D.2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题所给的选项中，有多项符合题目要 ·1 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分， 9、气象台预报杭州市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中 2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24,28,23,25， 26,26,29,则以下说法正确的是 () A.该组数据的极差为6 B.该组数据的众数为26 C.该组数据的中位数为25.5 D.该组数据的第70百分位数为26 10、记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点P是边BC上的一个动点，点M 是边AC的中点，且(2b-c)cosA=acos C,则 () A.A=T 3 B.若△ABC的面积为√3，则ABA乙=2 C.若b=1,c=2,AP平分∠BAC,则AP=3 3 D.若b=1,c=2,当∠APM最大时，CP=② 11、如图，已知正八面体S-ABCD-T(围成八面体的八个三角形均为等边三角形)的棱 长为2，其中四边形ABCD为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为O, 则以下结论正确的是 () A.点O到平面CDT的距离等于1 B.点O到直线CT的距离等于1 C.球0在正八面体外部的体积小于（告一务6）： D.球0在正八面体外部的面积大于氵√6-2√6元 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、若复数z=(1+i)·(2-),则z=, 13、记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 acosB=bsinA=2,则a= 14已知函数f)=ln2++ar+b(z+1(a≠0，be),f(四+f(--2)=一： f〔2024)+f〔2025)+f(-2026)+f(-2027)-日+9的最小值是 ·2· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程， 15、已知向量a,满足a=1,=(1,√3) (1)若d∥，求d的坐标： (2)若(8d-)⊥(a-),求d与的夹角0的余弦值 16、如图，平面四边形ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，且AD=2√3， ∠ADB=90°，E为AB的中点，将△CBD沿BD翻折至△PBD. (1)证明：BD⊥PE: (2)若AP=2√5，求直线EP与平面PBD所成角的余弦值. D 17、随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品 质，该市文旅100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以 上为良好等级，根据评分成绩成如图所示的频率分布直方图， (1)求直方图中x的值，并估计评分数据的上四分位数； 频率 (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在[60,70)，[80,90) 个组距 0.040- 的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交 流，求选取2人的评分等级都为良好的概率. 某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进 0.015 行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率0.010 分布直方图. 0.005 5060708090100分数 ·3 18、记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2. (1)若A=45°，b=√6，求B: (2)若D是BC的中点，且AD=W3,∠ABC=2∠DAC,求c: (9)若sin(A-B)=子，C=30,求△4BC的面积 19、已知函数f如)=2-4o-acos(受) (1)若a=-1,判断函数f(x)在[0,1]上的单调性（无需证明），并求f(c)在[0,1]上的值域： (2)若关于x的方程f(x)=a-4恰有三个不等实根D1,x2,D3,且D1<x2<D3. (i)求D1+x3的值： (ii)求f(2c1)-7fx3)-8w1-5的最大值.（参考公式：cos2a=2cos2a-1) …4 高一数学期末统测模拟试卷一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的4个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1、已知复数z满足i·z=3-i,则z= A.1-31 B.-1+31 C.1-3i D.1+3i 【答案】A 【解析】：iz=3-i,.z= 3-i(3-i)(-i) i i-i -1-31 2、记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=45°，a=3,c=√2，则b= A.2 B.√5 C.√17 D.√2I 【答案】B 【解析】由余弦定理可得2=a2+c2-2acc0sB=9+2-2×3×V2×2=5, 所以b=√5.故选：B 3、在△OAB中，AD=2DB,记OA=d,OB=b,则OD= （) 吉a+号5 .号a+6c吉a-号5 n.号d-}5 【答案】A 【解析】因为AD=2DB,所以D为线段A,B的三等分点，如图所示， 0i=0i+Ad=0A+号A正=0A+号0店-0A=专0A+号0i-}i+号 D 4、一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地 随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为 () 点贵 c D.3 【答案】B 【解析】由设红球为A,B,黄球为1,2， 从袋中不放回地随机摸出2个球，共有6种结果：{A,B},{A,1},{A,2},{B,1,{B, 2,{1,2] 这2个球颜色相同的有2种结果：{A,B}与{1,2 2个球颜色相同的概率为P-看-号 ·1 5、设α，B是两个平面，m,n是两条直线，则下列命题为真命题的是 () A.若m∥a,a∥B,则m∥B B.若a∥B,m⊥&，n⊥B,则m⊥n C.若a⊥B,m⊥a,m⊥n,则n⊥BD.若m∥a,mcB,a∩B=n,则m∥n 【答案】D 【解析】对于A,若m∥a,&∥B,则m∥B或mCB,故A错误； 对于B,若a∥B,m⊥a,n⊥B,则m∥n,故B错误： 对于C,若&⊥B,m⊥，m⊥n,则n∥B或nCB或n⊥B,故C错误； 对于D,由线面平行的性质定理可知D正确 故选：D 6、一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事 件A=两张标签标号之积大于15”，事件B=第一张标签标号小于3”，则 () APA)=是 BPB)=号 C.A与B互斥 D.A与B相互独立 【答案】C 【解析】根据题意可知所有的样本点共有： (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (4,1),(4,2),(4,3),（4,4),(4,5), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)共25个， 事件A包含的样本点有：（1，，(4,5)，5,4.5,5，共4个，所以P(A)=去，故 A错误； 事件B包含的样本点有：（1,1)，（1,2)，（1,3)，(1,4)，（1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2， 4,2,5),共10个，所以P(B)=碧=号，故B错误： 因为A∩B=必，所以A与B互斥，故C正确： 因为rA=PAnB)-0,P(A-PB)-考×号-S,所以PAB)≠P(A 5125 P(B),所以A与B不相互独立，D错误 7、在三棱台ABC-ABC1中，平面ABC⊥平面ACC1A1,△ABC是以B为直角顶点的 等腰直角三角形，且AC=2AC=2AA1=2CC,则二面角B-AC-C的正切值为（) 、要 R支 C.25 D.2 5 【答案】D 【解析】设AC=2A1C1=2AA1=2CC1=2,易知ACCA1为等腰梯形，故AC1=√5， 所以AC+CCR=AC,故AC⊥CC, 若D,E分别为AC,AC的中点，连接BD,DE,BE,则DE∥CC,即AC1⊥DE, ·2 B B 由△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则AC⊥BD, 平面ABC⊥平面ACCA1,平面ABC∩平面ACC1A1=AC,BDC平面ABC, 所以BD⊥平面ACCA1,而AC1C平面ACC1A1,故BD⊥AC, 由DE∩BD=D且都在平面BDE内，则AC1⊥平面BDE, 由BEC平面BDE,则AC⊥BE, 综上，二面角B-AC1-C的平面角为∠BED,且△BED为直角三角形， 由DE=号0C=号，BD=}AC=1,所以an∠BsD=器-2 2 8、若不等式x+√xy+xz≤k(x+y十z)对任意正实数x,y,z恒成立，则实数k的 最小值为( A.1 B. C. 3 D.2 【答案】C 【解析】依题意，对任意正实数，，2，不等式k≥++c班恒成立. x+y+z 只需求出当，，z为正数时，m=x++的最大值. x+y+z 因为x,y,z为正实数， 所以c++z=3证+（径x+3到）+（任+g+z ≥3a+2V得3g+3径ryz 31 =3(x+√cy+9xyz), 当且仅当 ∫2x=3g 1x=y=4 ,即x=4划=162时，等号成立， 所以c+√g+xyz≤(x+y+z), 所以m-+可十亚≤青， x+y+z 又当x=4划=16z>0时，m=+y+驱-16z+82+业= x+y+2 16z+4z+z 3 所以m=c+yg+@yz 的最大值为.所以飞的最小值为 x+y+z 3 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题所给的选项中，有多项符合题目要 ·3 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分， 9、气象台预报杭州市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中 2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24,28,23,25， 26,26,29,则以下说法正确的是 （) A.该组数据的极差为6 B.该组数据的众数为26 C.该组数据的中位数为25.5 D.该组数据的第70百分位数为26 【答案】ABD 【解析】将这组数据按照从小到大的顺排列得23,24,25,26,26,28,29， 则该组数据的极差为29-23=6，故A正确； 该组数据的众数为26，故B正确： 该组数据的中位数为26，故C错误： 因为70%×7=4.9， 所以该组数据的第70百分位数为第5个数据，即26，故D正确 故选：ABD 10、记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点P是边BC上的一个动点，点M 是边AC的中点，且(2b-c)cosA=acosC,则 () A.A=8 B.若△ABC的面积为√5，则AB·AC=2 C.若b=1,c=2,AP平分∠BAC,则AP=5 D.若6=1，c=2,当∠APM最大时，CP=2 【答案】ABD 【解析】对于A,因为(2b-c)cosA=acosC, 由余弦定理有：(2b-c).b+c2-a2 =a.a2+b-c2 2bc 2ab 整理得：62+c2-a2=bc,即+c2-a=1, 2be 所以cosA=之，又因为A∈(0，，所以A=吾，所以A正确： 对于B,因为SAc=2 ABACsin-5=VB,解得AAC=4, 所以A应AC-ABACco号=4×号=2，所以B正确： 对于C,根据角平分线定理有： 阅=子消以驴=号d 所以A正-店+B丽-A店+子BC=店+号(AC-A)=号A店+号AC, 且AB=c=2,AC=b=1, ·4· 所以A=(A=(号A店+号AC =日A甙+lAC+告Ai-ACas晋-号+告+号-号， 所以4=2，所以C错误： 3 B(O) P C主 对于D,因为6=1，e=2,A=否， 所以a2=b2+c2-2 becosA=1+4-2=√5， 所以c2-a2+b,所以△ABC为为直角三角形，∠ACB-5, 建立如图所示平面直角坐标系，设CP=c,x∈[0，√]， A,1M53)P-,0, 所以A=(,1,P成=(，号)， 令∠APM=0, PA.PM x2+号 cos= >0,所以0为锐角， PA PM V2+1√公2+ 则cos0= PA-PM x2+号 x+2+日 PA PM V2+1V2+ (x2+1)(x2+） x++星 2+x2+- N 1 x+x2+ x+ax2+ V x4+ax2+1 即cos0= +女+ 5 +证+ 因为9e(0号》所以y=cos9在(0，)上单调递减， 所以cos0越小0值越大， 因为cos0=1 1 /1- -V5 x+证+星 V 2V证+量 3, 1 当且仅当x2= 坏，因为x0,V,所以当=时等号成立， 2 所以当∠APM最大时，CP=竖，D正确 故选：ABD ·5· 11、如图，已知正八面体S一ABCD一T(围成八面体的八个三角形均为等边三角形)的棱 长为2，其中四边形ABCD为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为O, 则以下结论正确的是 A.点O到平面CDT的距离等于1 B.点O到直线CT的距离等于1 C球O在正八面体外部的体积小于（告一多6）女 D.球0在正八面体外部的面积大于氵√6-2√6x 3 【答案】BCD 【解析】对于A,由对称性可知棱切球球心O就是正八面体的中心， 而BO=1BD=√2， 2 所以OA=OB=OC=OD=OS=OT=√2， 设点O到平面CDT的距离为T,则有 }0r号00-0n-6cm=r8r-}r9×2=9, 4 3, 故=号0T0000=怎万：万-雪，故A错说： 对于B,由于TA=TB=TC=TD=2,故T在平面ABCD上的投影就是正方形ABCD 的中心， 故OT⊥平面ABCD,而OC在平面ABCD内，故OC⊥OT 又因为0C=0T=√2，知点0到直线CT的距离h=2Scr=0C0I=22- CT CT 2 1,故B正确： 对于C,根据上面的分析，球O的半径R等于点O到直线CT的距离，即R=1. 从而平面C①r截楼切球所得圆的半径d=VR-下-V一号-怎，设这个园为圆P 设球O的体积为V,而以O为顶点、圆P为底面的圆锥的体积为， 则棱切球在正八面体内部的体积大于8 从而球O在正八面体外部的体积小于 V-8-青n-8吉，青-89=（告源加放C正确 6… 对于D,球O在正八面体外部的面积等于正八面体外8个球冠的表面积 而对于一个球冠而言，由其顶点和底面可以确定一个圆锥，而该圆锥的侧面积一定小于 球冠的表面积 从而，每个球冠的表面积都大于由该球冠顶点和底面圆确定的圆锥的侧面积 该园锥的底面半径d=9,高1=R--15,故母线长1=V原 V/2-2⑥ 3 所以每个球冠的表面积都大十该圆维的侧面积d-写·V2一2x=合V626 3 所以8个球冠的表面积之和大于氵√6-2√元，故D正确， 3 故选：BCD 关键点点睛：本题的关键在于使用恰当的方式对球冠的表面积和体积进行估计， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12、若复数z=(1+i)·(2-i),则z= 【答案】√10 【解析】.z=(1+i)(2-i), ∴.展开得z=2-i+2i-i2+i+1=3+i. ∴.z=√32+1=√10 13、记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 acosB=bsinA=2,则a= 【答案】√5 【解析】由正弦边角关系及已知有2 sin AcosB=sinBsinA,又A,B均为三角形内角， 所以2cosB=sinB,即tanB=2,2 acosB=2>0,易知cosB>0, 所以co8B=后；则2ax店=2→a=v5 √5 故答案为：√5 14、己知函数f()=l2平元+ac+b1z+1(Q≠0，beR,f)+f(--2)=一： F(2024+f(2025)+f(-2026)+f(-2027)-+6的最小值是」 a 【答案】 -2a4 【解折】由平元>0，得+2)>0.解得<-2或五>0 所以函数/m-h7平2十am+b+1a+0.5eR的定义城为(o,2)U(0,+m) f(-x-2)=1n-0-2+a(-x-2)+b(-x-2+1)°=1n2+2-ar-2a-b(x+1月. 所以f+f--2)-n2”。22)-2a=-a …7 所以f(2024)+f(-2026)=f(2024)+f(-2024-2)=-2a,f(2025)+f(-2027)= f(2025)+f(-2025-2)=-2a. 所以f(2024)+f(2025)+f(-2026)+f(-2027)=[f(2024)+f(-2026)]+ [f(2025)+f(-2027)]=-4a, 因为4a与1同号， 所以f2024)+f(2025)+f-2026)+f-2027)-=-4-&=41a+a≥ 2/4a日 -4, 当且仅当4a=丹，即a=分，即a=±号时，等号成立 因为≥0所以当且仅当a=+号，b=0时， F(2024+f2025)+f-2026)+f-2027)-0 十b取得最小值，最小值是4. 故答案为：①-2a;②4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程， 15、已知向量d,满足=1，=(1，√5) (1)若d∥，求d的坐标： (2)若(8d-1（a-,求d与的夹角0的余弦值 【答案11d=(侵，)或=(-2，-)月 2号 【解析】(1)设d=(c,),因为d〃，所以V3c=, 因为园=1，所以+=1，解得0=分或红=一 所以=（号，罗或=（号） (2)因为(8d-1(d-,所以(8d-·(a-=0, 所以82-9a6+=0,代入得，8-9×2×cos0+4=0, 所以c0s0=号，所以a与5的夹角8的余弦值为号 16、如图，平面四边形ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，且AD=2√3， ∠ADB=90°，E为AB的中点，将△CBD沿BD翻折至△PBD (1)证明：BD⊥PE: (2)若AP=2W5,求直线EP与平面PBD所成角的余弦值 【答案】(1)证明见解析 25 【解析】(1)如图，取BD的中点O,连接PO,OE, ·8… 因为△BCD为等边三角形，所以PO⊥BD, 因为∠ADB=90°，所以BD⊥DA, 又因为O,E分别是BD,BA的中点，所以OE∥DA,所以BD⊥OE, 因为PO∩OE=O,PO,OEC平面POE所以BD⊥平面POE, 因为PEC平面POE,所以BD⊥PE (2)在△ABD中，AD=2W3,BD=2,BD⊥DA, 所以AB=√(2W3)+22=4, 在△ABP中，BP=2,AB=4,AP=25, ! 由BP+BA=AP2可得BP⊥BA, 在Rt△PBE中，BP=2,BE=2,则PE=2√2， B 因为BD⊥平面POE,BDC平面PBD, 所以平面POE⊥平面PBD, 又因为平面POE∩平面PBD=PO, 所以∠EPO为直线EP与平面PBD所成角， 在AEP0中，PB=2W2,P0=9×2=,OE=号AD=3, 所以cos∠BP0=2√2+(V3P-(B2= 2×2√2×√5 3 所以直线EP与平面PBD所成角的余弦值为Y⑤ 3 17、随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品 质，该市文旅100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以 上为良好等级，根据评分成绩成如图所示的频率分布直方图， 频率 个组距 0.04 0.015 0.010 0.005 5060708090100分数 (1)求直方图中x的值，并估计评分数据的上四分位数： (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在[60,70)，[80,90)的两组中共抽取4人，再从这4 人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率， 某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分）， 根据评分，制成如图所示的频率分布直方图 【答案】【(1)z=0030,上四分位数为93,75：(2)号 【解析】(1)，频率分布直方图中各组频率之和为1，组距为10， ·9… ∴.10×(0.005+0.010+0.015+x+0.040)=1, 化简得0.7+10x=1,∴.x=0.030. 计算各组累计频率： 评分在[50,60)的频率为10×0.005=0.05，累计频率为0.05： 评分在[60,70)的频率为10×0.010=0.1，累计频率为0.15； 评分在[70,80)的频率为10×0.015=0.15，累计频率为0.3： 评分在「80,90)的频率为10×0.030=0.3，累计频率为0.6： 评分在「90,100]的频率为10×0.040=0.4，累计频率为1. .上四分位数即第75百分位数，对应累计频率为0.75，且0.6<0.75<1， .上四分位数位于区间[90,100]内， .上四分位数为90+0.75-0.6×10=93.75. 0.4 (2).评分在[60,70)的人数为100×0.1=10，评分在[80,90)的人数为100×0.3= 30, 两组人数之比为10：30=1：3， .分层随机抽样抽取4人时，从[60,70)组抽取1人，记为a,从[80,90)组抽取3人， 记为b1,b2,b3,其中b1,b2,b3为良好等级 从4人中随机抽取2人的所有基本事件为(a,b1),（a,b),（a,b3),(b1,b2),(b,b3),(b2, b3),共6种， 其中2人评分等级都为良好的基本事件为(b1,b),(b1,b),(b2,b3),共3种， :所求概本P=昌=号 18、记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2. (1)若A=45°，b=√6，求B; (2)若D是BC的中点，且AD=√3，∠ABC=2∠DAC,求c: (3)若sin(A-B)=,C=30,求△4BC的面积 【答案】(1)B=60°或B=120°： (2)2: (3)5+V3 6 sinA"sinB'即2。-v6 【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理一a，=b sin46simB,解得sinB= √3 2, 所以B=60°或B=120°. (2)因为os∠ADB+cos∠ADC=0,即1+3c+1+3-方=0，化简得+ 2×1×√32×1×√5 c2=8① ·10 法一：在△ACD中，由正弦定理，sin∠CAD-sinLADC' b 在△ABD中，由正弦定理，S sin/ABD-sin∠ADB' 又sin∠ADC=sinZADB,∠ABC=2∠CAD,所以2cos∠CAD=√Bb 在△4CD中，由余弦定理可得cos∠CAD=+,所以2×-色，则6+2= 2√5b 2√3b 36② c 联立①②得c3-3c2-10c+24=0,即(c-2)(c-4)(c+3)=0,解得c=2或c=4(舍) 或c=-3(舍). 所以c=2. 法二： B D 延长DB至点E,使得BE=BA,连接AE, 由题意△ACD~△ECA,则CD AC 6=2+ 整理得b2=2+c③. 联立①③，c+c-6=0,解得c=2或c=-3(舍). 所以c=2. (3)在∠BAC内作∠BAH=∠ABC,所以HA=HB,设AH=t, 在△AHC中，由正弦定理知CH AH sin(A-B) mA⊙B，即2t=，知三4 1 3, 42 所以sin/AHC=sin(A-B+30)°=√5+V3 8 所以S△ABC=3SAAC=3×号 -√15+√3 3 8 6 19、已知函数fm=--aco(受) (1)若a=-1,判断函数f(x)在[0,1]上的单调性（无需证明），并求f(x)在[0,1]上的值域： (2)若关于x的方程f(c)=a-4恰有三个不等实根如，x2,x,且x1<2< (1)求x1+c3的值： (ii)求f(2)-7f(3)-81-5的最大值.（参考公式：cos2a=2cos2a-1) 【答案】(1)在[0,1]上单调递减，[-3,1] (2)(i)4(i2)7 .11 【解】(1)若a=-1,f)=(-2+cos()-4, 因为函数y=(m-22-4和y=cos5x均在[-2，-1，[0,1】上单调递减， 所以函数f(ax)在[-2，-1]，[0,1]上单调递减，故f(xc)min=f(1)=-3,f(c)max=f(0)= 1,值域为[-3,1]： (2)(i)证明：f()=a-4e(x-2P=a(cos5x+1, 显然：当x≠2时，(c-2°>0,0≤c0s5x+1≤2， 由于方程f(c)=a-4有三个不等实根x1,x2,x3,所以必有a>0, 令F)=j）-a+4,则F()=心2-4r-acos5x-a+4,即F)=e-2P a(cos+1). 显然有F(2)=0,由F4-x)=(4-D-22-a[cos5(4-)+1]=(x-2P a(cos+1) 得到F(4-x)=F(x),所以函数F(x)关于直线x=2对称， 由F(c1)=F(x2)=F(x3)=0,可得：x1+x=2x2=4, ()由F(x)=0得：(-2=a(cos5+1由（得：西+=4， 于是f()=f4-如)=-4如-acos50=a-4,f(2m)=4-8m-a0osm,令t ∴.f(2)-7f(x3)-8x1-5=4c1-16x1-acosπD-7a+23 =4(-2)}-acosπ1-7a+7 =4a(os受+1）-a2cos受-l-7a+7 =-2at+4at-2a+7=-2a(t-1)2+7≤7 当且仅当cos5如=1时等号成立，故f(2m)-7f(,)-8a-5的最大值为7. ·12