第28讲 平面向量基本定理及坐标表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量基本定理及坐标表示”专题，依据课标要求覆盖平面向量基本定理、坐标表示与运算、共线及垂直条件等核心考点，通过知识要点系统梳理和基础检测，明确基底表示、坐标运算、共线参数求解等高频考查方向，构建从概念辨析到综合应用的完整备考体系。 课件亮点在于“真题引领+题型建模+素养提升”的复习策略，如结合2025年全国一卷帆船风速问题，运用向量分解与坐标运算解决实际情境，培养学生数学思维和数学语言表达能力。通过考点突破实例（如直角梯形中向量坐标化求参数范围），总结“建系转化—方程求解—几何意义分析”三步法，帮助学生掌握答题技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第5章 平面向量、复数 第28讲 平面向量基本定理及坐标表示 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内的两个　 　向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.  不共线 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，设与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面上任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y)，把a=(x，y)叫做向量的坐标表示，|a|=叫做向量a的长度(模). 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 3.平面向量坐标运算 向量的加减 法 若，，则 ________________， ________________. 实数与向量 的积 若，，则 __________. 向量的坐标 若起点，终点，则 ________________. 4.两向量平行和垂直的坐标表示 （1）设<m></m>，<m></m>，则<m></m>. （2）设<m></m>，<m></m>，则<m></m>. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 【重要结论】 1.若a与b不共线，且λa+μb=0，则λ=μ=0. 2.已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为(). 3.已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G(). 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　　) (2)设{a，b}是平面内的一个基底，且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，则λ1=λ2，μ1=μ2.(　　) (3)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成=.(　　) (4)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(　　) (5)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变.(　　) × √ × × √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 教材改编 2.[必修2p33T3]已知A，B，C三点共线，则x的值为(　　) A.-7 B.-8 C.-9 D.-10 B [解析] 因为A，B，C， 所以==， 因为A(-3，1)，B，C三点共线，所以∥， 即2(x-2)=-4×5，解得x=-8.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 3.[必修2p31例7]已知向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+nb与a-2b共线，则=(　　) A. B.2 C.- D.-2 C [解析] 由向量a=(2，3)，b=(-1，2)，得ma+nb=(2m-n，3m+2n)，a-2b=(4，-1).由ma+nb与a-2b共线，得=，所以=-，故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 4.如图，e1，e2是相互垂直的单位向量，则向量a-b=(　　) A.e1-3e2 B.e1+3e2 C.-3e1+e2 D.-e1+3e2 D [解析] 如图所示，a-b=-=+==-e1+3e2.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 5.[必修2p30例5]已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为　　　　.  (1，5) [解析] 设D(x，y)，则=， 得(5-x，6-y)=(3-(-1)，-1-(-2))=(4，1)， 即解得即D(1，5). 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 考点1 平面向量基本定理的应用 例1　(1)已知e1与e2不平行，且a=-e1+3e2，b=4e1+2e2，c=-3e1+12e2，若以b，c为一组基底，则a用b，c可表示为　　　　 　.  -b+c [解析] 设a=λb+μc(λ，μ∈R)，则-e1+3e2=λ(4e1+2e2)+μ(-3e1+12e2)， 所以(4λ-3μ+1)e1+(2λ+12μ-3)e2=0，又e1与e2不平行，所以 解得所以a=-b+c. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 (2)在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点G，则=(　　) A.- 　　　 B.+ C.-+ 　　　 D.-- B 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 [解析] 如图， 过点F作BC的平行线交DE于H，则H是DE的中点，且HF=EC=BC， ∴HF= AD，又△AGD∽△FGH， 所以= ，即FG= AG，所以= ， 又=+=+，∴= = = +. 故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 [小结]用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决. (2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 1.△ABC中，D为BC中点，设向量=a，=b，=，则=(　　) A.-2a+b B.2a-b C.a-2b D.-a+2b A [解析] =-=-(+)=(-)-(+)=-2=-2a+b.故选A. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 2.如图，在6×6的方格中，已知向量a，b，c的起点和终点均在格点，且满足向量a=xb+yc(x，y∈R)，那么x-y=(　　) A.0 B.-2 C.1 D.2 A 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 [解析] 设m为向右的单位向量，n为向上的单位向量. 则a=2m-n，b=2m+2n，c=2m-4n. 因为a=xb+yc，所以2m-n=x(2m+2n)+y(2m-4n)， 即2m-n=(2x+2y)m+(2x-4y)n. 所以解得所以x-y= - =0.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 考点2 平面向量的坐标运算 例2　(1)已知向量=(4，3)，=(-3，-1)，点A(-1，-2)，若=.则与向量方向相同的单位向量a的坐标为　　　　;点M的坐标为　　　　 　.  [解析] 因为=(4，3)，所以||==5，与向量方向相同的单位向量a===; 因为=，所以-=(-)，得=(+)=， 因为点A(-1，-2)，所以M. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 (2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ，μ∈R)，则的值为　　　　.  -4 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 [解析] 根据题意建立如图所示的平面直角坐标系， 则a=(0，4)-(1，6)=(-1，-2)，b=(7，2)-(1，6)=(6，-4)，c=(2，0)-(7，2)=(-5，-2)， 所以λa+μb=λ(-1，-2)+μ(6，-4)=(-λ+6μ，-2λ-4μ)， 因为c=λa+μb(λ，μ∈R)，所以(-5，-2)=(-λ+6μ，-2λ-4μ)， 所以解得λ=2，μ=-，所以=-4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 [小结](1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 3.已知点A(2，3)，B(3，0)，点P在线段AB上，且||=3||，则点P的坐标是(　　) A. B. C. D. B [解析] 由点P在线段AB上，且||=3||知=3， 设P点坐标为(x，y)，则(x-2，y-3)=3(3-x，-y)，即 解得即P点坐标为，故选B. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 4.已知正方形PQRS两对角线交于点M，坐标原点O不在正方形内部，=(0，3)，=(4，0)，则向量等于(　　) A. B. C. D. D [解析] 由=(0，3)，=(4，0)，则P(0，3)，S(4，0). 由坐标原点O不在正方形内部，作出如图的正方形， 过R作RN⊥x轴，垂足为N，则Rt△OSP与Rt△NRS全等， 所以|SN|=|OP|=3，|RN|=|OS|=4，则|ON|=7. 所以R(7，4)，所以= = (-7，-1)=，故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 考点3 平面向量共线的坐标表示 角度1.利用向量共线求参数 例3　已知=(-4，-9)，=，与向量+2同方向的单位向量为，则实数a=　　　　　.  6 [解析] 由题意=(-4，-9)，=，所以+2=(3，2a-11)， 因为与向量+2同方向的单位向量为， 所以3∶(2a-11)=∶，解得a=6. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 角度2.向量共线及应用 例4　在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(2，4)，B(3，1)，C(1，2)，∥，||=5.已知=λ+(1-λ)，且|||-|||=||，则实数λ的值为　　　　.  - [解析] 设D(x，y)，则=(x-1，y-2)， 由∥，得x-1=3(y-2)，即x=3y-5. 又因为||==5， 解得或 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 根据三角形的三边关系可知，若O，M，D三点不共线， 则|||-|||<||和条件|||-|||=||矛盾， 故O，M，D三点共线，且M在OD或DO的延长线上，或与点D重合. =λ+(1-λ)=λ(2，4)+(1-λ)(3，1)=(3-λ，1+3λ). 当=(4，3)时，根据O，M，D三点共线可得，3(3-λ)=4(1+3λ)， 解得λ=，此时==，M在线段OD上，不符题意; 当=(-5，0)时，根据O，M，D三点共线可得，0(3-λ)=-5(1+3λ)， 解得λ=-，此时==-，M在射线DO上，符合题意. 综上，λ=-. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 [小结]向量共线充要条件的2种形式: (1)a∥b⇔a=λb(b≠0); (2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)). 当涉及向量或点的坐标问题时一般利用上述第(2)条比较方便. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5.已知=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)，∥，则x+2y的值为(　　) A.-1　 　　 B.0　 　　C.1　 　　 D.2 B [解析] 因为=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)， 所以=++=(4+x，y-2)， 所以=(-x-4，2-y). 因为∥，所以x(2-y)=y(-x-4)， 所以2x+4y=0，即x+2y=0. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 6.O为坐标原点，A(6，3)，若点P在直线OA上，且||=||，P是OB的中点，则点B的坐标为　　　　 .  (4，2)或(-12，-6) [解析] 由题可知，A(6，3)，点P在直线OA上，则∥， 又∵||= ||，∴=±. 设点P(m，n)，B(a，b)，则=(m，n)，=(6-m，3-n)， ①当=时，则(m，n)=(6-m，3-n)， ∴解得:∴P(2，1)， 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 ∵P是OB的中点，∴解得:∴B(4，2). ②当=-时，则(m，n)=-(6-m，3-n)，∴ 解得:∴P(-6，-3)，∵P是OB的中点，∴ 解得:∴B(-12，-6)， 综上可得，点B的坐标为(4，2)或(-12，-6). 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 考点4 向量问题坐标化 例5　在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上运动(如图所示).若=λ+μ，其中λ，μ∈R，则2λ-μ的取值范围是(　　) A.[-2，1] B.[-1，1] C.[-1，2] D.[-2，2] B 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，E(1，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(1，1)， F(1.5，0.5) ，设P(cos θ，sin θ)，0≤θ≤. 则=(cos θ，sin θ)，=(-1，1)，=(1.5，0.5). 因为=λ+μ，所以(cos θ，sin θ)=λ(-1，1)+μ(1.5，0.5). 化简得:解得:λ= (3sin θ-cos θ)，μ= (sin θ+cos θ). 所以2λ-μ= (3sin θ-cos θ)- (sin θ+cos θ)=sin θ-cos θ=sin. 因为0≤θ≤，所以-≤θ-≤，所以-1≤2λ-μ≤1.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 [小结]题设情境为在特殊几何图形(如矩形、直角三角形、直角梯形、等腰三角形、圆等)中进行向量运算问题，可选择建立平面直角坐标系，用向量的坐标运算法则解决问题. 名师导学第一轮总复习 高三数学 7.如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹 角为120°，与的夹角为30°，且==1，=2.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ=　　　　.  6 [解析] 以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(1，0)，B，C. 由=λ+μ，得解得 所以λ+μ=6. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 8.如图，在△AOB中，已知=2，=2，∠AOB=，单位圆O与OA交于C，=λ，λ∈(0，1)，P为单位圆O上的动点. 若+=，则λ的值为　　　　;记的最小值为f(λ)，则f(λ)的的最小值为　　　　.  -1 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 [解析] 如下图，以O为原点，OA，OB所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系， 则A(2，0)，B(0，2)，C(1，0)，记∠POC=α，则P(cos α，sin α)， 所以=(cos α，sin α)，=(1，0)， 所以=+λ=(2，0)+λ=， 即D， 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 因为+=，所以=(1+cos α，sin α)，所以 又sin2α+cos2α=1，所以16λ2-4λ=0，解得λ=0(舍去)或λ=. 因为≥-=-1，当且仅当P在线段OD上时等号成立， 所以f(λ)=-1，因为16λ2-8λ+4=16+3≥3， 当且仅当λ=时取等号，所以f(λ)min=f=-1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 走进高考 1.(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同)，单位(m/s)，则真风为(　　) 等级 风速大小m/s 名称 2 1.6~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.7 劲风 图1 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 [解析] 由题意及图得，视风风速对应的向量为:n=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速和船行风速的向量为相反向量，设真风风速对应的向量为n1，船行风速对应的向量为n2， ∴n=n1+n2，船行风速:n2=-[(3，3)-(2，0)]=(-1，-3)， ∴n1=n-n2=(-3，-1)-(-1，-3)=(-2，2)，|n1|==2≈2.828， ∴由表得，真风为轻风，故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 $