5.2 平面向量基本定理及坐标表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量基本定理及坐标表示”专题，依据高考评价体系梳理了基底表示、坐标运算、共线条件三大核心考点，通过教材改编题和模拟题分析，明确了基本定理应用（45%）、坐标运算（35%）的高频考查权重，归纳了向量线性表示、坐标求点、共线参数等常考题型。 课件亮点在于“知识清单+命题点突破+跟踪训练”的系统备考策略，如以向量线性表示题型为例，通过“基底法”结合几何性质（例1用AB、CB表示PC）培养数学思维，以坐标运算题型（例2分情况求P点坐标）强化数学语言表达。特设学霸笔记和易错诊断，帮助学生掌握“坐标法”“方程思想”等得分技巧，教师可据此精准定位学生薄弱点，提升复习效率。

第二节　平面向量基本定理及坐标表示 1 知识清单 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__________． 若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的 一个基底． 把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量作正交分解． 不共线 λ1e1＋λ2e2 不共线 互相垂直 返回导航 2 2．平面向量的坐标运算 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝______________，a－b＝____________， λa＝________． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝______________，＝______________________． 剖析　向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的． (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (x2－x1，y2－y1) 返回导航 3 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. a∥b⇔________________． x1y2－x2y1＝0 返回导航 4 【常用结论】 (1)已知点P为线段AB的中点，若，则点P的坐标为. (2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)， . 返回导航 5 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都可以用这个基底唯一表示．(　　) (2)若两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成.(　　) √ × √ × 返回导航 6 2．(人教A版必修二P36习题T1改编)如图，在△ABC中，AD＝AB，点E是CD的中点，＝b，则＝(　　) A．＋b B． C． D． 答案：B 解析：在△ABC中，AD＝AB，点E是CD的中点，＝)＝)＝a＋b.故选B. 返回导航 7 3．(人教A版必修二P60复习参考题T5)已知A(1，1)，B(－1，0)，C(0，1).若，则点D的坐标为________． (－2，0) 解析：设D(x，y)，由题意知(－2，－1)＝(x，y－1)，所以x＝－2，y＝0，所以点D的坐标为(－2，0)． 返回导航 8 4．(人教A版必修二P31例7)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y ＝________． 3 解析：因为a∥b，所以4y－2×6＝0，解得y＝3. 返回导航 9 命题点一　平面向量基本定理的应用 例1 (1)在△ABC中，P是边AB上靠近A的四等分点，已知＝b，则＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：B 返回导航 10 解析：由题意可知，＝，则＝＝＝)－＝－＝－a－b．故选B. 返回导航 11 (2)(2026·吕梁模拟)在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，点P在线段BD上．若，则λ＋μ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 返回导航 12 解析：设＝m(0≤m≤1)，所以＝＝m＝m()－＝－m＋(m－，则λ＝－m，μ＝m－，故λ ＋μ＝－m＋m－＝－.故选B. 返回导航 13 学霸笔记：(1)选定基底后，根据向量的加、减、数乘运算法则以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一个基底表示出来． (2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等． 返回导航 14 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版必修二P27练习T2改编)平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，＝b，G是CD上靠近D的三等分点，则＝(　　) A．＋b B． C． D．－ 答案：D 解析：＝＝a－(a－b)＝－a＋b.故选D. 返回导航 15 (2)(2026·宁波模拟)在△ABC中，，若，则实数x的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－1 答案：D 解析：因为＝3，可得＝，所以＝＝，又因为＝x，所以x＝－1.故选D. 返回导航 16 命题点二　平面向量的坐标运算 例2 (1)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且＝2，则点P的坐标为(　　) A．(3，1) B．(1，－1) C．(3，－1)或(－1，1) D．(3，1)或(1，－1) 答案：D 返回导航 17 解析：∵A(2，0)，B(4，2)，∴＝(2，2)．∵点P在直线AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1)．故选D. 返回导航 18 (2)在∠A＝90°的等腰直角△ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，，则λ＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－1 答案：A 返回导航 19 解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设B(2，0)，C(0，2)，则F(1，1)，E(1，0)，则＝(－2，2)，＝(1，－2)，λ＋μ＝λ(1，1)＋μ(1，－2)＝(λ＋μ，λ－2μ)， ∴∴λ＝－.故选A. 返回导航 20 学霸笔记： (1)若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用． (2)若已知问题中的图形易建立平面直角坐标系，可以建立平面直角坐标系，用坐标运算求解，使问题简单化． 返回导航 21 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版必修二P33练习T5改编)已知点O，向量＝(2，3)，＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标为_________________． (，－1)或(，1) 返回导航 22 解析：因为＝(2，3)，＝(6，－3)，所以＝＝(4，－6)．因为点P是线段AB的三等分点，所以＝＝(，－2)或 ＝＝(，－4)，所以＝＝＝(2，3)＋(，－2)＝(，1)或＝＝＝(2，3)＋(，－4)＝(，－1)，故点P的坐标为(，－1)或(，1)． 返回导航 23 (2)如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ－μ＝(　　) A． B． C．－1 D．1 答案：D 返回导航 24 解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，则M(1，)．故＝(1，1)，＝(1，)，＝(－1，1)，故由＝λ＋μ得解得故λ－μ＝1.故选D. 返回导航 25 命题点三　平面向量共线的坐标表示 例3 (1)(2026·六安模拟)已知向量a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，若(2a－b)∥(a＋kb)，则k＝(　　) A． B．－ C．－ D． 答案：B 解析：2a－b＝(－4，7)，a＋kb＝(－1＋2k，3－k)．因为(2a－b)∥(a＋kb)，所以－4(3－k)＝7(－1＋2k)，解得k＝－.故选B. 返回导航 26 (2)已知平面向量＝(－1，1)，＝(－2，2)，＝(k＋1，k－3)，若A，B，C 三点不能作为三角形的三个顶点，则实数k 满足的条件是(　　) A．k＝－16 B．k＝16 C．k＝－1 D．k＝1 答案：D 解析：因为＝(－1，1)，＝(－2，2)，＝(k＋1，k－3)，所以＝(－1，1)，＝(k＋2，k－4)．若A，B，C 三点不能作为三角形的三个顶点，则A，B，C 三点共线，则∥，即2＋k＝4－k，解得k＝1.故选D. 返回导航 27 学霸笔记：已知向量共线(平行)求参数值时，主要利用“＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则∥的充要条件为x1y2＝x2y1”这一结论进行求解． 返回导航 28 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版必修二P33练习T2改编)若向量a＝(2，3)，b＝(x，6)共线，则x＝(　　) A．9 B．－9 C．4 D．－4 答案：C 解析：因为向量a＝(2，3)，b＝(x，6)，且a∥b，所以2×6－3×x＝0，解得x＝4.故选C. 返回导航 29 (2)平面上三点A(2，3)，B(－3，2)，C(1，y)共线，则y＝________． 解析：由题意＝(－5，－1)，＝(－1，y－3)，平面上三点A(2，3)，B(－3，2)，C(1，y)共线，即∥，所以－5(y－3)＝1，解得y＝. 返回导航 30 1．若＝(1，－2)，＝(－1，3)，则的坐标为(　　) A．(0，1) B．(2，－5) C．(－2，5) D．(2，5) 答案：C 解析：因为＝(1，－2)，＝(－1，3)，所以＝(－1，3)－(1，－2)＝(－2，5)．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 31 2．(2026·邯郸一模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，t)，若a∥b，则实数t＝(　　) A．－ B．－6 C． D．6 答案：B 解析：向量a＝(－1，2)，b＝(3，t)，若a∥b，则有－1×t－2×3＝0，解得t＝－6.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 32 3．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c为(　　) A． B． C． D． 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 33 解析：由题意得－2b＝(8，6)，3c＝(3x，3y)，因为a－2b＋3c＝0，所以⇒故c＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 4．设向量绕点O逆时针旋转得向量，且＝(7，9)，则向量＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 解析：设＝(m，n)，则＝(－n，m)，所以2＝(2m－n，2n＋m)＝(7，9)，即解得因此，＝＝.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且，若＝b，则用a，b表示为(　　) A．－ B． C．－ D．－ 答案：D 解析：由题图知，－．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 6．已知＝(－6，3)，＝(3，9)，若，则＝(　　) A．(5，－3) B．(6，－2) C．(－3，5) D．(－2，6) 答案：C 解析：因为，所以，解得(3，9)＋(－6，3)＝(1，3)＋(－4，2)＝(－3，5)．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 7．(2026·驻马店模拟)已知平面向量＝(m－2，n－2)，＝(n－m－1，2m－n)，m，n∈R，若A，B，C三点共线，则m的取值范围为(　　) A． B．∪ C．∪ D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 解析：因为A，B，C三点共线，所以与共线，因为平面向量＝(m－2，n－2)，＝(n－m－1，2m－n)，m，n∈R，故可得(m－2)(2m－n)－(n－2)(n－m－1)＝0，整理可得2m2－n2－6m＋5n－2＝0，化为关于n的一元二次方程为n2－5n＋6m－2m2＋2＝0，因为n存在实数解，故Δ＝25－4(6m－2m2＋2)≥0，即8m2－24m＋17≥0，解得m≤或m≥，即m≤或m≥.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 8．(2026·孝感模拟)在平行四边形ABCD中，，点F是线段DE的中点，若，则μ＝(　　) A．1 B． C． D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 解析：＝＝＝，∴λ＝. 故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 9．以A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是(　　) A．(－2，3) B．(2，－1) C．(4，1) D．(－2，－1) 答案：AB 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 解析：设D(x，y)，若，则(1，－1)＝(x－3，y－2)，即解得即D(4，1)；若，则(1，－1)＝(3－x，2－y)，即解得即D(2，3)；若，则(－2，－2)＝(x，y－1)，即解得即D(－2，－1)．故选AB. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 10．(2026·临沂模拟)在△ABC中，点M，N分别在BC和AC上，且满足＝0，点D在线段MN上，且，则下列各组数据适合的是(　　) A．λ＝，μ＝0 B．λ＝ C．λ＝0，μ＝ D．λ＝ 答案：ACD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 解析：∵点D在线段MN上，∴设＋(1－x)，0≤x≤1.又点M，N分别在BC和AC上，且满足＝0，∴，∴.又，∴即3λ＋2μ＝1.故ACD正确，B错误．故选ACD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 11．在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为__________． 解析：因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 12．已知向量＝(2，2)，＝(－1，k－3)，若A，B，C三点共线，则k＝________． 2 解析：因为A，B，C三点共线，所以∥，又＝(2，2)，＝(－1，k－3)，所以2×(k－3)－2×(－1)＝0，解得k＝2. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 13．(13分)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝c，且＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 (2)方法一　∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 方法二　∵a＋b＋c＝0， ∴a＝－b－c， 又a＝mb＋nc，b和c不共线， ∴mb＋nc＝－b－c， ∴ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 (3)设O为坐标原点，∵＝3c， ∴＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． ∴M(0，20)． 又∵＝－2b， ∴＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴N(9，2)，∴＝(9，－18)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 14．(15分)如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且＝＝1，＝，若(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 解析：方法一　以λ和μ为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则. 因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°，在Rt△OB1C中，＝2，所以＝2，＝4，所以＝＝4，所以，所以λ＋μ＝6. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 方法二　以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(1，0)，Ccos 30°，2，B(cos 120°，sin 120°)．即A(1，0)，C，B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 由＝λ(1，0)＋μ，即＝，得所以所以λ＋μ＝6. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 15．(5分) (2026·南京模拟)解决平面向量问题一个重要的定理：，λ＋μ＝1的充要条件是A，B，C三点共线．如图所示，B，D分别是AM，BC的中点，则＝(　　) A．1 B．2 C． D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 解析：由B，D，C三点共线，D是BC的中点，得　①，令，由M，D，N三点共线，B是AM的中点，可得＋(1－y)＋x(1－y)　②，比较①②，得解得∴，则＝2.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 16．(5分)(2026·张家口模拟)如图，在△ABC中，已知 ，P是线段AD与BE的交点，若，则m＋n的值为________． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 解析：由A，P，D三点共线，设(0<λ<1)，由得，故＝λ＝λ＝λ＝，由得，故　①，再由B，P，E三点共线， 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 设(0<μ<1)，所以＝μ，即＝(1－μ)　②，由①②及向量与不共线，由平面向量基本定理，得解得λ＝. 故得，又，故m＝，所以m＋n＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 $