第23讲 不等式恒成立·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式恒成立核心考点，涵盖构造函数、分离参数、端点效应等关键方法，按考情分析、知识清单、分考点典题精练及高考真题的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生系统构建解题框架，突破参数范围求解难点。 资料突出必要性探路与同构法等创新策略，如在端点效应考点中引导学生代入特殊点缩小参数范围再证充分性，培养数学思维与推理意识。设置分层典题与高考真题演练，配合方法总结，确保学生在有限时间内提升解题效率，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

第23讲 不等式恒成立 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 3 考点一：直接法（构造函数法） 3 考点二：分离参数法 5 考点三：端点效应与必要性探路 6 考点四：同构法与构造函数技巧 6 考点五：洛必达法则与max/min函数问题 7 四、高考真题 8 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第18题 解答 17分 直接 利用端点效应（必要性探路）与分离参数法解决不等式恒成立问题 2024 第6题 单选 5分 间接 利用分段函数的单调性转化为不等式恒成立求参数范围 2025 第19题 解答 17分 直接 三角函数不等式恒成立求参数最值，结合特值法（必要性探路） 2026 第6题 单选 5分 间接 已知函数最值求参数，转化为不等式恒成立及极值点问题 近三年全国一卷对不等式恒成立问题的考查较为频繁，常作为压轴题出现，分值较高.考查形式既有直接的函数不等式恒成立求参数，也有结合函数单调性、最值的间接考查. 2. 命题角度与特色 （1）核心考点：不等式恒成立求参数范围、端点效应（必要性探路）、分离参数法、同构法. （2）命题趋势：常作为解答题最后一题或单选最后一题出现，综合性强，常与函数单调性、极值、最值、零点问题交汇考查.近年来对“必要性探路（端点效应/特值法）”的考查频率显著增加. （3）试题特点：计算量大，逻辑推理要求高.往往需要先通过特殊值或端点值缩小参数范围，再进行严格的充分性证明；或者通过分离参数后构造复杂函数求最值. 3. 备考策略 （1）熟练掌握分离参数法和构造函数法，能够根据解析式结构灵活选择解题路径. （2）强化“必要性探路”意识，遇到复杂恒成立问题时，优先尝试代入特殊点（如端点、极值点）获取参数的必要条件. （3） 提升复杂函数的求导与最值分析能力，熟练运用同构、洛必达法则、隐零点等高级技巧处理超越方程和不等式. 二、知识清单 1. 利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1） 通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2） 利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3） 根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 2. 利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1） ，； （2） ，； （3） ，； （4） ，. 3. 不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1） 若，，有成立，则； （2） 若，，有成立，则； （3） 若，，有成立，则； （4） 若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 4. 法则1 若函数和满足下列条件： （1） 及； （2） 在点的去心邻域内，与可导且； （3） ， 那么. 法则2 若函数和满足下列条件： （1） 及； （2） ，和在与上可导，且； （3） ， 那么. 法则3 若函数和满足下列条件： （1） 及； （2） 在点的去心邻域内，与可导且； （3） ， 那么. 【易错提醒】 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1） 将上面公式中的，，，，洛必达法则也成立. （2） 洛必达法则可处理，，，，，，型. （3） 在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限. （4） 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ，如满足条件，可继续使用洛必达法则. 三、典题精练 考点一：直接法（构造函数法） 考法1：利用导数分析单调性与极值求参数范围 例1.（2026·黄山·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 考法2：结合函数奇偶性与对称性求参数范围 例2.（2025·深圳高中园·一模）已知函数，其中． （1） 当时，讨论函数的单调性； （2） 当时，证明：曲线是轴对称图形； （3） 若在上恒成立，求的取值范围． 考法3：结合切线方程与图象上下关系求参数范围 例3.（2025·萍乡实验·三月一模）已知函数． （1） 当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2） 讨论函数的单调性； （3） 设，若，求实数的取值范围． 考法4：结合二次函数、基本不等式或绝对值求参数范围 例4.（2026·新未来·五月测评）已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 考法5：双变量不等式恒成立与极值点偏移 例5.（2025·深圳中学·一阶）已知函数． （1） 当时，求函数的单调区间； （2） 设函数，若函数与函数的图象恰有一个公共点，求实数的值； （3） 若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 考法6：结合存在性问题或反证法证明不等式 例6.（2025·沧州运东·二模）已知关于的函数与在区间上恒有． （1） 若，求的表达式； （2） 若，求的取值范围； （3） 若，求证：． 【考点一 方法总结】 1. 处理双变量不等式恒成立问题时，若能将其转化为两个单调性相同的函数乘积大于等于零的形式，则这两个函数必然具有相同的零点，从而将双变量转化为单变量函数求最值. 2. 面对复杂的乘积形式不等式恒成立，先分析分母或部分因式的符号，将其转化为分子或剩余因式恒大于等于零.再利用两个因式符号必须同步变化的特点，确定参数的临界条件. 3. 解决“两因式乘积恒非正（或非负）”问题，核心在于判断两因式是否可能“同解变号”.若通过代数推导排除同步变号的可能，问题即可降维为两个独立的恒成立问题. 4. 含绝对值的函数问题，首要步骤是去绝对值分段处理.在探究恒成立条件时，若正面求解参数范围较困难，可结合导数分析单调性，并利用放缩法寻找反例. 5. 处理含有指数和对数的混合不等式时，同构法是常用的利器.通过变形将不等式转化为具有相同结构的函数形式，再利用基本不等式进行整体放缩. 6. 处理区间长度的最值问题，常通过反证法或判别式法转化为关于参数的函数最值.在多项式不等式恒成立中，利用特值代入（如）进行必要性探路，能快速确定参数的可能取值. 考点二：分离参数法 考法7：全分离或半分离参数结合导数求最值 例7.（2026·枣庄·五月模拟）若，，则实数的最大值为＿＿＿＿＿＿． 考法8：分离参数结合切线方程或换元法求参数范围 例8.（2025·深圳高中园·适应考）已知函数． （1） 讨论函数的单调性； （2） 求函数的最小值； （3） 当时，证明：． 考法9：分离参数结合存在性问题或三角函数求参数范围 例9.（2026·江门·二模）已知函数． （1） 求曲线在点处的切线方程； （2） 若不等式对恒成立，求的取值范围． 【考点二 方法总结】 1. 处理复杂的指数对数混合不等式，同构变形是首选.通过提取公共结构，将问题转化为外层函数的不等式恒成立，进而确定内层函数的值域范围，实现问题的降维打击. 2. 处理复杂的超越不等式证明，多次求导是常规武器.通过不断构造新函数并求导，直至导函数的符号易于判断，再逐层回推原函数的单调性与最值，从而完成证明. 3. 处理含有三角函数的恒成立问题，利用辅助角公式或和差角公式进行化简，然后分离参数，构造新函数并利用导数求其在闭区间上的最值. 考点三：端点效应与必要性探路 考法10：利用端点恒成立求参数范围 例10. 已知函数与分别是与的导函数． （1） 证明：当时，方程在上有且仅有一个实数根； （2） 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 考法11：利用端点不成立求参数范围 例11. 已知函数． （1） 讨论函数的极值； （2） 当时，不等式恒成立，求的取值范围． 考法12：利用必要性探路缩小参数范围 例12.（2025·衡水中学·综合评价）已知，，当时，，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【考点三 方法总结】 1. 利用端点处的导数值进行必要性探路，是解决恒成立求参数范围问题的常用技巧.通过分析端点导数的符号，可初步筛选出可能的参数范围，再进行严格的充分性证明. 2. 处理复合函数不等式恒成立问题，关键是先通过导数探究外层函数的单调性与最值，将外层函数的不等式转化为内层函数的值域限制，从而实现问题的降维. 3. 处理含有多个变量的最值问题，常通过恒成立条件寻找变量间的等量关系，从而消元转化为单变量函数求最值.利用零点一致性得出变量间的关系是解题的关键. 考点四：同构法与构造函数技巧 考法13：利用同构法构造函数求参数范围 例13.（2025·南阳一中·三模）已知函数．若恒成立，则的最小值是＿＿＿＿＿＿． 考法14：利用特定构造函数技巧求参数范围 例14.（2025·郑州外国语·五月调研）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为＿＿＿＿＿＿． 【考点四 方法总结】 1. 处理含有指数和对数的复杂不等式恒成立问题，通过代数变形，将不等式两边转化为具有相同结构的函数形式，利用该函数的单调性脱去函数符号，从而将问题转化为常规的求最值问题. 2. 利用函数的奇偶性与单调性解不等式，以及利用必要条件探路法求参数的最值，是解决复杂函数不等式的有效手段.证明充分性时，巧妙构造基本不等式进行放缩是关键. 考点五：洛必达法则与max/min函数问题 考法15：利用洛必达法则求参数范围 例15. 已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直． （1） 求实数的值； （2） 若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 考法16：利用max/min函数性质求参数范围 例16. 已知函数． （1） 证明恒成立； （2） 用表示中的最大值．已知函数，记函数，若函数在上恰有个零点，求实数的取值范围． 考法17：双变量最值问题求参数范围 例17. 已知函数，其中． （1） 当时，直线与函数的图象相切，求的值； （2） 当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值． 【考点五 方法总结】 1. 当分离参数后得到的函数在端点处出现“”型未定式时，可利用洛必达法则求出极限值，从而确定参数的临界条件. 2. 处理的零点问题，需分段讨论.先确定其中一个函数恒大于零的区间，排除零点；再在剩余区间内，结合另一个函数的单调性与极值，分类讨论参数以满足零点个数要求. 3. 处理双变量比值的最值问题，可先通过特殊点代入得到比值的一个界限，再通过构造具体函数证明该界限可以取到.这种“猜证结合”的方法在处理复杂恒成立问题时非常有效. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）已知函数． （1） 若，且，求的最小值； （2） 证明：曲线是中心对称图形； （3） 若当且仅当，求的取值范围． 2.（2025·全国一卷）（1） 设函数，求在的最大值； （2） 给定，设为实数，证明：存在，使得； （3） 若存在使得对任意，都有，求的最小值． 3.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　） A. B. C. D. 4.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　） A. B. C. D. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 不等式恒成立 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精讲 3 考点一：直接法（构造函数法） 3 考点二：分离参数法 13 考点三：端点效应与必要性探路 18 考点四：同构法与构造函数技巧 21 考点五：洛必达法则与max/min函数问题 23 四、高考真题 27 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 第18题 解答 17分 直接 利用端点效应（必要性探路）与分离参数法解决不等式恒成立问题 2024 第6题 单选 5分 间接 利用分段函数的单调性转化为不等式恒成立求参数范围 2025 第19题 解答 17分 直接 三角函数不等式恒成立求参数最值，结合特值法（必要性探路） 2026 第6题 单选 5分 间接 已知函数最值求参数，转化为不等式恒成立及极值点问题 近三年全国一卷对不等式恒成立问题的考查较为频繁，常作为压轴题出现，分值较高.考查形式既有直接的函数不等式恒成立求参数，也有结合函数单调性、最值的间接考查. 2. 命题角度与特色 （1）核心考点：不等式恒成立求参数范围、端点效应（必要性探路）、分离参数法、同构法. （2）命题趋势：常作为解答题最后一题或单选最后一题出现，综合性强，常与函数单调性、极值、最值、零点问题交汇考查.近年来对“必要性探路（端点效应/特值法）”的考查频率显著增加. （3）试题特点：计算量大，逻辑推理要求高.往往需要先通过特殊值或端点值缩小参数范围，再进行严格的充分性证明；或者通过分离参数后构造复杂函数求最值. 3. 备考策略 （1）熟练掌握分离参数法和构造函数法，能够根据解析式结构灵活选择解题路径. （2）强化“必要性探路”意识，遇到复杂恒成立问题时，优先尝试代入特殊点（如端点、极值点）获取参数的必要条件. （3） 提升复杂函数的求导与最值分析能力，熟练运用同构、洛必达法则、隐零点等高级技巧处理超越方程和不等式. 二、知识清单 1. 利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略： （1） 通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2） 利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； （3） 根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 2. 利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1） ，； （2） ，； （3） ，； （4） ，. 3. 不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1） 若，，有成立，则； （2） 若，，有成立，则； （3） 若，，有成立，则； （4） 若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 4. 法则1 若函数和满足下列条件： （1） 及； （2） 在点的去心邻域内，与可导且； （3） ， 那么. 法则2 若函数和满足下列条件： （1） 及； （2） ，和在与上可导，且； （3） ， 那么. 法则3 若函数和满足下列条件： （1） 及； （2） 在点的去心邻域内，与可导且； （3） ， 那么. 【易错提醒】 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： （1） 将上面公式中的，，，，洛必达法则也成立. （2） 洛必达法则可处理，，，，，，型. （3） 在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限. （4） 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ，如满足条件，可继续使用洛必达法则. 三、典题精讲 考点一：直接法（构造函数法） 考法1：利用导数分析单调性与极值求参数范围 例1.（2026·黄山·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】观察不等式两边，发现含有两个变量，且结构具有一定的对称性.将不等式展开并移项，尝试将含有的项和含有的项分离，或者提取公因式.转化为两个单调性相同的函数具有相同零点的问题，从而得到的关系式，最后构造单变量函数求值域. 【解析】由，则，即对于恒成立.而函数和在上均为增函数，则函数和在上有共同的零点，即，则，即.设，则，令，得或，令，得，∴函数在和上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，且，则，即的取值范围是.故选D. 【规律】处理双变量不等式恒成立问题时，若能将其转化为两个单调性相同的函数乘积大于等于零的形式，则这两个函数必然具有相同的零点.利用这一性质可大幅简化运算，将双变量转化为单变量函数求最值. 考法2：结合函数奇偶性与对称性求参数范围 例2.（2025·深圳高中园·一模）已知函数，其中． （1） 当时，讨论函数的单调性； （2） 当时，证明：曲线是轴对称图形； （3） 若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 在上单调递增 （2） 见解析 （3） 【思路】第（1）问直接代入，去绝对值分段求导判断单调性.第（2）问代入，利用偶函数定义进行证明.第（3）问不等式恒成立，由于含有绝对值，必须分和两段讨论.在每一段中，利用导数分析函数的单调性，结合端点值进行放缩或寻找反例，从而确定参数的唯一取值. 【解析】（1） 当时，函数，求导得：； 当时，， ∵，∴，∴， 当时，. ∴当时，函数在上单调递增. （2） 当时，函数 ， ∴为偶函数，关于轴对称； 所以当时，曲线是轴对称图形. （3） ∵在上恒成立，∴， 当时，有， 又， 当时，在上恒成立， 故在上为减函数，故，此时不等式恒成立， 若，， 此时当时，， 故不成立， 故当时，若不等式恒成立，则. 若，则， 又， 当时，，故 若，此时在上恒成立，故在上减函数， 故在上恒成立，与题设矛盾； 若，当时，有， 这与题设矛盾， 若，则，故在上为增函数， 故恒成立， 综上所述：的取值范围. 【规律】含绝对值的函数问题，首要步骤是去绝对值分段处理.在探究恒成立条件时，若正面求解参数范围较困难，可结合导数分析单调性，并利用放缩法寻找反例，这是排除不符合条件参数的有效手段. 考法3：结合切线方程与图象上下关系求参数范围 例3.（2025·萍乡实验·三月一模）已知函数． （1） 当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2） 讨论函数的单调性； （3） 设，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 见解析 （3） 【思路】第（1）问常规求导代入切点坐标即可.第（2）问求导后提取公因式，转化为讨论的符号，需对参数进行分类讨论.第（3）问将不等式转化为恒成立，利用同构思想将分子部分凑成的形式，再利用基本不等式进行放缩求最值. 【解析】（1） 当时，，， 当时，， 函数在处的切线方程为. （2） 函数的定义域为，， ①当时，恒成立，令，则， 若；若， ∴在单调递减，在单调递增； ②当时，，令，则， （i） 当，即时，若或；若， ∴在上递增，在上递减，在上递增. （ii） 当，即时，恒成立，在上递增. （iii） 当，即时，若或；若， ∴在上递增，在上递减，在上递增. 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在上递增，在上递减，在上递增； 时，在上递增；当时，在上递增，在上递减，在上递增. （3） 由得恒成立 ∵，即恒成立. 设，则，∵ 同构可得令，∵，∴， 下面先证. 设，于是，令，则，当时，： 当时，∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，即，当且仅当时等号成立.∴， 即，∴，即. 故实数取值范围为. 【规律】处理含有指数和对数的混合不等式时，同构法是常用的利器.通过变形将不等式转化为具有相同结构的函数形式，再利用基本不等式进行整体放缩，可有效避开复杂的求导过程，快速求出参数范围. 考法4：结合二次函数、基本不等式或绝对值求参数范围 例4.（2026·新未来·五月测评）已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】题目要求两个因式乘积恒非正.假设两个因式存在共同的变号零点，通过代数推导（如韦达定理）寻找矛盾，从而排除同步变号的可能.确定不能同步变号后，结合其中一个因式在处的正负性，将问题转化为两个独立的恒成立问题：一个因式恒非负，另一个因式恒非正.利用存在性量词，求出参数的范围. 【解析】由题意，若对任意恒成立，即恒成立. 令，. 若在上存在变号零点，则其必然从正变负再变正（因且时），即存在两个相异的正根. 为保证恒成立，必须在上与拥有完全相同的变号零点. 由得，即；同理. 两式相减得：. 因，等式两边同除以，可得，即. 但由于且，必然有，这与等于产生绝对矛盾. 这说明与绝不可能存在共同的相异变号零点. 既然不能同步变号，且，那么为了满足整体乘积恒非正，必须要求在上： 恒成立，且恒成立. ①先看恒成立的条件： 求导得. 当时，，在上单调递增，显然成立. 当时，令解得极小值点. 需保证极小值，即，解得. 综合可知，恒成立的条件是. ②再看恒成立的条件： 由，分离参数得在上恒成立. 令，求导得. 当时；当时. 故在处取得最大值. 因此，必须满足，即. 题目要求“存在”使得不等式成立， 这意味着只要在的范围内，找到一个使得成立即可. 这等价于要求实数大于或等于函数在上的最小值. 由于是关于的减函数，当时取得最小值. 故实数必须满足. 所以，实数的取值范围为. 【规律】解决“两因式乘积恒非正（或非负）”问题，核心在于判断两因式是否可能“同解变号”.若通过代数推导排除同步变号的可能，问题即可降维为两个独立的恒成立问题. 考法5：双变量不等式恒成立与极值点偏移 例5.（2025·深圳中学·一阶）已知函数． （1） 当时，求函数的单调区间； （2） 设函数，若函数与函数的图象恰有一个公共点，求实数的值； （3） 若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） （3） 【思路】第（1）问代入，求导后因式分解即可得单调区间.第（2）问将图象交点问题转化为方程根的问题，分离参数后利用同构和基本不等式求最值.第（3）问是极值点偏移的变形，先利用换元法将指数方程转化为一元二次方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积.再将双变量不等式转化为关于参数的单变量函数求最值. 【解析】（1） 由函数解析式，可得在定义域为， 当时，，则，令，可得，即，解得. 所以当变化时，的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2） 设，则，在区间单调递减， 在区间单调递增， 所以，所以(当且仅当时等号成立). 依题意，直线与的图象只有一个交点，而，当且仅当时，等号成立.因为函数在上单调递增，，所以存在，使得成立.而当时，；且当时，. 所以. （3） 因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实数根. 设，则有两个不相等的正实数根，故，且， 所以，又恒成立，即恒成立，设， 则，在恒成立，故在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 【规律】处理极值点偏移或双变量不等式问题时，若导函数方程可通过换元转化为一元二次方程，则利用韦达定理将双变量转化为单变量（通常是参数）是标准解法. 考法6：结合存在性问题或反证法证明不等式 例6.（2025·沧州运东·二模）已知关于的函数与在区间上恒有． （1） 若，求的表达式； （2） 若，求的取值范围； （3） 若，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明见解析 【思路】第（1）问利用特值法代入求出，再利用判别式求出.第（2）问同样利用特值法代入确定的符号，再结合判别式求出范围.第（3）问是区间长度的最值问题，利用反证法假设区间长度大于，从而推导出包含特定区间，代入端点值寻找矛盾，证明过程严密. 【解析】（1） [方法一]:判别式法 由可得在上恒成立， 即和， 从而有， 即， ∴， 因此，．∴． [方法二]【最优解】：特值+判别式法 由题设有对任意的恒成立. 令，则，∴. 因此即对任意的恒成立， ∴，因此. 故. （2） [方法一] 令，.又. 若，则在上递增，在上递减，则，即，不符合题意. 当时，，符合题意. 当时，在上递减，在上递增，则， 即，符合题意. 综上所述，. 由 当，即时，在为增函数， ∵， 故存在，使，不符合题意. 当，即时，，符合题意. 当，即时，则需，解得. 综上所述，的取值范围是. [方法二]【最优解】：特值辅助法 由已知得在内恒成立； 由已知得， 令，得，∴()， 令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，∴当时在内恒成立； 由在内恒成立，由()知，∴，∴，解得. ∴的取值范围是. （3） [方法一]：判别式+导数法 ∵对任意恒成立， ①对任意恒成立， 等价于对任意恒成立. 故对任意恒成立. 令， 当，， 此时， 当，， 但对任意的恒成立. 等价于对任意的恒成立. 的两根为， 则， ∴. 令，构造函数，， ∴时，，递减，. ∴，即. [方法二]：判别式法 由，从而对任意的有恒成立，等价于对任意的①，恒成立. （事实上，直线为函数的图像在处的切线） 同理对任意的恒成立，即等价于对任意的恒成立.② 当时，将①式看作一元二次方程，进而有，①式的解为或（不妨设）； 当时，，从而或，又，从而成立； 当时，由①式得或，又，∴. 当时，将②式看作一元二次方程，进而有. 由，得，此时②式的解为不妨设，从而. 综上所述，. [方法三]【最优解】：反证法 假设存在，使得满足条件的有. ∵，∴. ∵，∴. ∵对恒成立，∴有 .则有 ，③ ，④ 解得. 由③+④并化简得，. ∵在区间上递增，且， ∴. 由对恒成立，即有⑤ 对恒成立，将⑤式看作一元二次方程，进而有. 设，则， ∴在区间上递减，∴，即. 设不等式⑤的解集为，则，这与假设矛盾.从而. 由均为偶函数.同样可证时，也成立. 综上所述，. 【规律】处理区间长度的最值问题，常通过反证法或判别式法转化为关于参数的函数最值.在多项式不等式恒成立中，利用特值代入（如）进行必要性探路，能快速确定参数的可能取值. 【考点一 方法总结】 1. 处理双变量不等式恒成立问题时，若能将其转化为两个单调性相同的函数乘积大于等于零的形式，则这两个函数必然具有相同的零点，从而将双变量转化为单变量函数求最值. 2. 面对复杂的乘积形式不等式恒成立，先分析分母或部分因式的符号，将其转化为分子或剩余因式恒大于等于零.再利用两个因式符号必须同步变化的特点，确定参数的临界条件. 3. 解决“两因式乘积恒非正（或非负）”问题，核心在于判断两因式是否可能“同解变号”.若通过代数推导排除同步变号的可能，问题即可降维为两个独立的恒成立问题. 4. 含绝对值的函数问题，首要步骤是去绝对值分段处理.在探究恒成立条件时，若正面求解参数范围较困难，可结合导数分析单调性，并利用放缩法寻找反例. 5. 处理含有指数和对数的混合不等式时，同构法是常用的利器.通过变形将不等式转化为具有相同结构的函数形式，再利用基本不等式进行整体放缩. 6. 处理区间长度的最值问题，常通过反证法或判别式法转化为关于参数的函数最值.在多项式不等式恒成立中，利用特值代入（如）进行必要性探路，能快速确定参数的可能取值. 考点二：分离参数法 考法7：全分离或半分离参数结合导数求最值 例7.（2026·枣庄·五月模拟）若，，则实数的最大值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】观察不等式，左边有指数，右边有幂函数.利用对数恒等式将转化为，然后将不等式两边同除以，尝试构造出形如的同构形式.提取出整体变量，通过研究外层函数的单调性确定的取值范围，最后转化为内层函数求最值. 【解析】由题意知，不等式对任意恒成立. 由于，原不等式可变形为： 等式两边同除以，得到： 令，则原不等式转化为对于的所有可能取值恒成立. 构造函数，求导得. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又∵，∴当时，； 而当时，. 由此可知，要使（即）恒成立，必须要求变量的取值范围不能包含任何大于（且充分小）的数. 换言之，的最大值必须满足. 再来求（）的最大值. 令，求导得. ∵，令解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ∴在处取得最大值： 根据前面的分析，必须满足，即： ∵，不等式两边同除以得，即. 解得，从而. 故实数的最大值为. 【规律】处理复杂的指数对数混合不等式，同构变形是首选.通过提取公共结构，将问题转化为外层函数的不等式恒成立，进而确定内层函数的值域范围，实现问题的降维打击. 考法8：分离参数结合切线方程或换元法求参数范围 例8.（2025·深圳高中园·适应考）已知函数． （1） 讨论函数的单调性； （2） 求函数的最小值； （3） 当时，证明：． 【答案】（1） 见解析 （2） （3） 见解析 【思路】第（1）问和第（2）问常规求导分析单调性与最值.第（3）问证明不等式，直接代入后发现常规求导无法判断符号.需要不断进行代数变形，尝试将不等式转化为更易处理的形式.若多次求导仍无法解决，可考虑将对数项与有理项分离，或者构造全新的辅助函数，通过多次求导直至导函数符号明确，再逐层回推. 【解析】（1） 函数的定义域为，， 当时，由得，由，得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由得，由，得或， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由得或，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2） 函数的定义域为，， 由，得，由，得，即在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得最小值. （3） 当时，等价于， 即，即， 即，即， ∵，∴只需证明， 即，即， 令，则， 易知在上单调递增，且当时，， ∴在上恒成立，∴在上单调递增， 又，∴当时，，即成立， 当时，，∴， 此时无法判断的符号，故上述证法行不通. 重新变形：要证，即证， 即证，即证， 令， 则， 令， 则， 令， 则， 令， 则， 易知在上单调递增，且，， ∴，使得， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴，又，， ∴，使得， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴，又，， ∴在上的符号无法确定，故上述证法也行不通. 最终解法：要证，即证， 即证， 令， 则， 令， 则， 令， 则， 令， 则， 由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 又，， ∴，使得， ∴当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， ∴，又，， ∴在上恒成立，∴在上恒成立， ∴在上单调递增，又， ∴当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， ∴，即成立， ∴成立. 【规律】处理复杂的超越不等式证明，多次求导是常规武器.通过不断构造新函数并求导，直至导函数的符号易于判断，再逐层回推原函数的单调性与最值，从而完成证明. 考法9：分离参数结合存在性问题或三角函数求参数范围 例9.（2026·江门·二模）已知函数． （1） 求曲线在点处的切线方程； （2） 若不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【思路】第（1）问求导代入切点即可.第（2）问利用辅助角公式将不等式右侧的三角函数展开化简，分离参数，将问题转化为求函数在闭区间上的最小值.求导后分析三角函数的符号，确定单调区间，代入极小值点即可求出的范围. 【解析】（1） 函数的导函数. 则，又. 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2） . 由，得. 设，则. . 令，得，则在上单调递减. 令，得，则在上单调递增. 所以. 故的取值范围为. 【规律】处理含有三角函数的恒成立问题，利用辅助角公式或和差角公式进行化简，然后分离参数，构造新函数并利用导数求其在闭区间上的最值. 【考点二 方法总结】 1. 处理复杂的指数对数混合不等式，同构变形是首选.通过提取公共结构，将问题转化为外层函数的不等式恒成立，进而确定内层函数的值域范围，实现问题的降维打击. 2. 处理复杂的超越不等式证明，多次求导是常规武器.通过不断构造新函数并求导，直至导函数的符号易于判断，再逐层回推原函数的单调性与最值，从而完成证明. 3. 处理含有三角函数的恒成立问题，利用辅助角公式或和差角公式进行化简，然后分离参数，构造新函数并利用导数求其在闭区间上的最值. 考点三：端点效应与必要性探路 考法10：利用端点恒成立求参数范围 例10.已知函数与分别是与的导函数． （1） 证明：当时，方程在上有且仅有一个实数根； （2） 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 见解析 （2） 【思路】第（1）问求导后作差，构造函数利用零点存在性定理证明.第（2）问将不等式转化为恒成立，由于，考虑利用端点处的导数值进行必要性探路.求出，分和两种情况讨论.当时，通过寻找特殊点证明存在区间使得，从而产生矛盾，排除该情况. 【解析】（1） ，当时，，令，令，则，显然在上是单调递增函数，且，∴在上有唯一零点，且时，单调递减，时，单调递增，又，，∴在上有唯一的根，∴在上有唯一零点，即在上有且仅有一个实数根. （2） ∵，令，则，等价于：，，令，则，令，则，故在上单调递增，，故即在上单调递增，，当时，，∴在上单调递增，∴；当时，，取，则，，∴，∴，使得，时，单调递减，此时，不符合题意.综上可知：的取值范围为. 【规律】利用端点处的导数值进行必要性探路，是解决恒成立求参数范围问题的常用技巧.通过分析端点导数的符号，可初步筛选出可能的参数范围，再进行严格的充分性证明. 考法11：利用端点不成立求参数范围 例11.已知函数． （1） 讨论函数的极值； （2） 当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 见解析 （2） 【思路】第（1）问常规求导讨论极值.第（2）问是不等式恒成立问题，观察不等式结构，发现可以整体构造复合函数.先通过导数探究外层函数的单调性与最值，结合图象发现等价于，从而将问题转化为内层函数恒成立，再利用导数求出的最大值即可求解. 【解析】（1） 由题意可得：的定义域为，且. ①当时，则，可得. 所以在上单调递减，无极值. ②当时，令，解得；令，解得. 则在上单调递增，在上单调递减. 所以有极大值，无极小值. 综上所述：当时，无极值； 当时，有极大值，无极小值. （2） 因为，则. 构建，则. ①当时，则，则，等号不能同时取到. 所以在上单调递减. ②当时，构建，则. 因为，则. 所以在上单调递增. 且. 故在内存在唯一零点. 当时，则；当时，则. 即当时，则；当时，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：在上单调递减，在上单调递增. 则，且. 的图象大致为： 对于函数，由（1）可知： ①当时，在上单调递减. 且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于. 即的值域为，则不恒成立，不合题意. ②当时，在上单调递增，在上单调递减. 则，且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于. 即的值域. 若恒成立，则恒成立. 即，解得. 综上所述：的取值范围. 【规律】处理复合函数不等式恒成立问题，关键是先通过导数探究外层函数的单调性与最值，将外层函数的不等式转化为内层函数的值域限制，从而实现问题的降维. 考法12：利用必要性探路缩小参数范围 例12.（2025·衡水中学·综合评价）已知，，当时，，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】题目给出两个因式乘积恒非负，且.分析第一个因式在上单调递增，必然存在唯一零点.为了保证乘积恒非负，第二个因式必须在同一个零点处变号.利用这种“零点一致性”，可以建立参数和之间的等量关系，从而将双变量的最值问题转化为单变量函数求最值. 【解析】因为，所以在为增函数，由与图象知，在有唯一的零点， 当时，，当时，， 若，则在恒成立，与矛盾，故. 显然的定义域为，且 因为，所以均在单调递增， 所以当时，，因为，所以； 当时，，因为，所以， 所以当时，， 即， 令，得， 所以当时，，单调增， 当时，，单调减， 故， 所以，当且仅当即时等号成立； 故选D. 【规律】处理含有多个变量的最值问题，常通过恒成立条件寻找变量间的等量关系，从而消元转化为单变量函数求最值.本题中利用零点一致性得出与的关系是解题的关键. 【考点三 方法总结】 1. 利用端点处的导数值进行必要性探路，是解决恒成立求参数范围问题的常用技巧.通过分析端点导数的符号，可初步筛选出可能的参数范围，再进行严格的充分性证明. 2. 处理复合函数不等式恒成立问题，关键是先通过导数探究外层函数的单调性与最值，将外层函数的不等式转化为内层函数的值域限制，从而实现问题的降维. 3. 处理含有多个变量的最值问题，常通过恒成立条件寻找变量间的等量关系，从而消元转化为单变量函数求最值.利用零点一致性得出变量间的关系是解题的关键. 考点四：同构法与构造函数技巧 考法13：利用同构法构造函数求参数范围 例13.（2025·南阳一中·三模）已知函数．若恒成立，则的最小值是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】观察不等式两边，左边含有指数和对数，右边含有对数.尝试通过代数变形，将不等式两边凑成结构相同的形式.利用对数运算法则和指数运算法则，将不等式转化为的形式，然后利用函数的单调性脱去函数符号，转化为常规的求最值问题. 【解析】恒成立，即， 令，则易知单调递增， ∴， 令，则， 令，解得，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，故，即. 则的最小值是. 【规律】处理含有指数和对数的复杂不等式恒成立问题，同构法是常用的利器.通过代数变形，将不等式两边转化为具有相同结构的函数形式，利用该函数的单调性脱去函数符号，从而将问题转化为常规的求最值问题. 考法14：利用特定构造函数技巧求参数范围 例14.（2025·郑州外国语·五月调研）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【思路】观察函数的解析式，发现其主体部分具有奇偶性特征.构造辅助函数，证明其为奇函数且单调递增.利用这些性质将抽象的函数不等式转化为具体的不等式.分离参数后，由于直接求最值困难，采用“必要性探路”策略，代入特殊值求出参数的可能最大值，通过构造基本不等式证明充分性. 【解析】设，则其定义域为，且 ，故为奇函数. 而，且仅在时，所以为增函数. 同时，不等式可化为， 即. 而是奇函数，故原不等式又等价于， 因为是增函数，所以等价于. 当时，这可化为，故条件即为对任意成立. ①一方面，在条件中取，即可得到，从而一定有； ②另一方面，当时，我们证明对任意的，都有. 首先，代入，然后两边同乘正数，可知该不等式等价于. 设，则，故对有，对有. 从而在上递减，在上递增，所以对均有. 这就意味着，所以 . 从而由即可得到. 即当时，不等式对恒成立. 综合①②两方面，可知的最大值为. 故答案为：. 【规律】利用函数的奇偶性与单调性解不等式，以及利用必要条件探路法求参数的最值，是解决复杂函数不等式的有效手段.证明充分性时，巧妙构造基本不等式进行放缩是关键. 【考点四 方法总结】 1. 处理含有指数和对数的复杂不等式恒成立问题，通过代数变形，将不等式两边转化为具有相同结构的函数形式，利用该函数的单调性脱去函数符号，从而将问题转化为常规的求最值问题. 2. 利用函数的奇偶性与单调性解不等式，以及利用必要条件探路法求参数的最值，是解决复杂函数不等式的有效手段.证明充分性时，巧妙构造基本不等式进行放缩是关键. 考点五：洛必达法则与max/min函数问题 考法15：利用洛必达法则求参数范围 例15.已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直． （1） 求实数的值； （2） 若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【思路】第（1）问利用极值点导数为0和切线斜率关系列方程组求解.第（2）问分离参数后得到，求导分析的单调性，发现其在上单调递减.由于时函数无意义，且呈现“”型，利用洛必达法则求出时的极限，从而确定的取值范围. 【解析】（1） ∵，∴； ∵函数在处取得极值， ∴； 又∵曲线在点处的切线与直线垂直，∴； 解得：； （2） 不等式恒成立可化为，即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令，则； 令，则； 令，则； 得在是减函数，故，进而 (或，， 得在是减函数，进而)． 可得：，故，所以在是减函数， 而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义， 变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为． 【规律】当分离参数后得到的函数在端点处出现“”型未定式时，可利用洛必达法则求出极限值，从而确定参数的临界条件. 考法16：利用max/min函数性质求参数范围 例16.已知函数． （1） 证明恒成立； （2） 用表示中的最大值．已知函数，记函数，若函数在上恰有个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） 见解析 （2） 【思路】第（1）问提取公因式后求导证明恒成立.第（2）问处理的零点问题，需分段讨论.先确定的符号，在的区间内排除零点；在的区间内，问题转化为的零点问题.结合的单调性与极值，分类讨论参数以满足零点个数要求. 【解析】（1） 由题得的定义域为， 则在上恒成立等价于在上恒成立，记，则， 当时，；时，， 故在上单调递减，上单调递增， 所以，即恒成立． （2） 由题得， ①当时，，此时无零点． ②当时，， a. 当，即时，是的一个零点； b. 当，即时，不是的一个零点； ③当时，恒成立，因此只需考虑在上的零点情况． 由， a. 当时，，在上单调递增，且， 当时，，则在上无零点，故在上无零点； 当时，，则在上无零点，故在上有1个零点； 当时，由，，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点； 所以． b. 当时，由得， 由时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 由，，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点； 所以． 综上所述，时，在上恰有两个零点． 【规律】处理的零点问题，需分段讨论.先确定其中一个函数恒大于零的区间，排除零点；再在剩余区间内，结合另一个函数的单调性与极值，分类讨论参数以满足零点个数要求. 考法17：双变量最值问题求参数范围 例17.已知函数，其中． （1） 当时，直线与函数的图象相切，求的值； （2） 当时，若对任意，都有恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【思路】第（1）问利用切点处函数值相等且导数值相等列方程求解.第（2）问是双变量比值的最值问题.先通过特殊点代入（如）得到比值的一个界限.然后猜测该界限可以取到，即当时，构造具体函数证明不等式恒成立.这种“猜证结合”的方法在处理复杂恒成立问题时非常有效. 【解析】（1） 当时，直线与函数的图象相切于， 因为，所以， 则且，即，解得：． （2） 若对任意，都有恒成立，得． 假设，则当时，， 而当时，． 取，则当时，， 而，矛盾；故． 当时，由，得，即． 下证：能取到． 当时，． 记，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 所以． 即对任意，恒成立， 故的最小值为． 【规律】处理双变量比值的最值问题，可先通过特殊点代入得到比值的一个界限，再通过构造具体函数证明该界限可以取到.这种“猜证结合”的方法在处理复杂恒成立问题时非常有效. 【考点五 方法总结】 1. 当分离参数后得到的函数在端点处出现“”型未定式时，可利用洛必达法则求出极限值，从而确定参数的临界条件. 2. 处理的零点问题，需分段讨论.先确定其中一个函数恒大于零的区间，排除零点；再在剩余区间内，结合另一个函数的单调性与极值，分类讨论参数以满足零点个数要求. 3. 处理双变量比值的最值问题，可先通过特殊点代入得到比值的一个界限，再通过构造具体函数证明该界限可以取到.这种“猜证结合”的方法在处理复杂恒成立问题时非常有效. 四、高考真题 1.（2024·全国一卷）已知函数． （1） 若，且，求的最小值； （2） 证明：曲线是中心对称图形； （3） 若当且仅当，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明见解析 （3） 【解析】（1） 时，，其中. 则. ∵，当且仅当时等号成立. 故，而成立，故即. ∴的最小值为. （2） 的定义域为. 设为图象上任意一点. 关于的对称点为. ∵在图象上，故. 而. ∴也在图象上. 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3） ∵当且仅当，故为的一个解. ∴即. 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立. 设，则在上恒成立. 设. 则. 当时，. 故恒成立，故在上为增函数. 故即在上恒成立. 当时，. 故恒成立，故在上为增函数. 故即在上恒成立. 当时，则当时，. 故在上为减函数，故，不合题意，舍去. 综上，在上恒成立时. 而当时，由上述过程可得在递增，故的解为. 即的解为. 2.（2025·全国一卷）（1） 设函数，求在的最大值； （2） 给定，设为实数，证明：存在，使得； （3） 若存在使得对任意，都有，求的最小值． 【答案】（1） （2） 证明见解析 （3） 【解析】（1） . ∵，故，故. 当时，即. 当时，即. 故在上为增函数，在为减函数. 故在上的最大值为. （2） 由余弦函数的性质得的解为. 若任意与交集为空. 则且，此时无解. 矛盾，故无解.故存在，使得. 故存在，使得成立. （3） 记. ∵. 故为周期函数且周期为，故只需讨论的情况. 当时，. 当时，. 此时. 令，则. 而. ，故. 当，在（2）中取，则存在，使得. 取，则，取即. 故，故. 综上，可取使得等号成立. 综上，. 3.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在上单调递增，且时，单调递增. 则需满足，解得. 即的范围是. 故选B. 4.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知，求导得. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 假设在处取得最大值，则必有，即. 同时，即. 将代入得. 若，则，此时，代入原函数得，矛盾. ∴，从而，解得. 此时. 检验：当时，，. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. ∴在处取得最大值，符合题意. 故选B. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $