第28天 椭圆的基本问题 每日专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦椭圆定义与几何性质，通过分层题型构建从基础到综合的认知逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义应用|2题|轨迹方程、焦点距离|从圆到椭圆的概念迁移，强化定义的几何本质| |离心率计算|4题|焦点三角形、参数范围|离心率与a,b,c关系的多角度推导| |综合应用|5题|动态最值、圆与椭圆交汇|代数运算与几何直观的转化，体现数学建模思想| |创新拓展|3题|旋转椭圆、空间轨迹|解析几何与空间几何的综合，发展空间观念|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第28天 椭圆的基本问题 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.(2025·广州天河区一模)已知曲线C:x2+y2=16,从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足(若P在x轴上,P'即为P),则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2.(2025·西安中学二模)在矩形ABCD中,AB=2BC,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 3.(2025·广东模拟)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=120°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 4.(2025·海南诊断)若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C:+y2=1上,则C的焦距为(　　) A.2 B. C. D. 5.(2025·陕西适考)设M是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,P是C上的一个动点.当P运动到下顶点时,|PM|取得最大值,则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6.(2025·福建适考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),中心为O.C是E上的动点,P是以CF为直径的圆上的动点,且|OP|的最大值为4,则E的离心率为(　　) A. B. C. D. 7.(2025·河南五市联考)将椭圆C1:+=1(a>b>0)上所有的点绕原点旋转θ(0<θ<)角,得到椭圆C2的方程:x2+y2-xy=9,则下列说法中不正确的是(　　) A.θ= B.a=3 C.椭圆C2的离心率为 D.(-,-)是椭圆C2的一个焦点 二、多选题(每小题6分,共12分) 8.(2025·湖南教研联盟一模)设椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上,则(　　) A.C的离心率为 B.△PF1F2的周长为5 C.|PF1|的最大值为3 D.|PF1|2+|PF2|2的最小值为8 9.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin双球”).在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,截面分别与球O1,球O2切于点E,F(E,F是截口椭圆C的焦点).设图中球O1,球O2的半径分别为4和1,球心距|O1O2|=,则(　　) A.椭圆C的中心不在直线O1O2上 B.|EF|=4 C.直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 D.椭圆C的离心率为 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.(2025·武汉二调)直线3x+2y=6经过椭圆m2x2+n2y2=1的两个顶点,则该椭圆的离心率为　　　　.  11.(2025·南宁二模改编)已知A,B分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右顶点,直线x=(c为椭圆E的半焦距)上存在点C,使得△ABC是顶角为120°的等腰三角形,且△ABC的面积为4,则椭圆E的方程为　　　　.  12.(2025·信阳高级中学二模改编)如图,已知异面直线a,b成60°角,公垂线段MN(MN⊥a,MN⊥b,M∈a,N∈b)长度为2.线段AB两个端点分别在直线a,b上移动,且线段AB的长度为4,则线段AB中点T的轨迹的离心率为　　　　.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.(2025·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4. (1)求C的方程; (2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|. 14.(2025·北京卷)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4, (1)求椭圆E方程; (2)设O为原点,M(x0,y0)(x0≠0)为椭圆E上一点,直线x0x+2y0y-4=0与直线y=2,y=-2分别交于A,B两点.设△OAM与△OBM的面积分别为S1,S2,猜想与的数量关系并求证. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第28天 椭圆的基本问题 1.答案　A 解析　设M(x,y),则P(x,2y),因P(x,2y)在曲线C上,故x2+4y2=16,即+=1,故选A. 2.答案　A 解析　由题知:|AB|=2|BC|=2c, 则|AC|==c, 因为点C在椭圆上,所以由椭圆的定义知:|CA|+|CB|=2a,即c+c=2a, 所以e===.故选A. 3.答案　A 解析　因为|PF1|=3|PF2|, 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=4|PF2|=2a,所以|PF2|=,|PF1|=, 因为∠F1PF2=120°,由余弦定理可得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2 所以4c2=a2+a2+2×××, 整理可得4c2=, 所以e2==, 即e=.故选A. 4.答案　B 解析　由对称性可知,正方形的四个顶点必在直线y=±x上,由于椭圆C在y轴上的两顶点间的距离为2, 所以正方形的边长只能为1,因此点在C上,代入C的方程得+=1, 解得m2=, 故C:+y2=1, 所以C的焦距为2=.故选B. 5.答案　B 解析　设P(x0,y0),M(0,b),因为+=1,a2=b2+c2, 所以|PM|2=+(y0-b)2=a2+(y0-b)2=-++a2+b2,-b≤y0≤b, 由题意知当y0=-b时,|PM|2取得最大值,所以-≤-b,可得a2≥2c2,即e2<,则0<e≤.故选B. 6.答案　B 解析　如图设C(x0,y0),以CF为直径的圆的圆心为H, 则|CF|= =, 又+=1,得到=b2-, 所以|CF|=, 因为c=1,得到|CF|===a-, 又|OH|= = = = 因为|OP|的最大值为4,所以 +=a=4, 所以E的离心率为e==,故选B. 7.答案　C 解析　椭圆C1:+=1(a>b>0)上所有的点绕原点旋转θ角,得到椭圆C2的方程:x2+y2-xy=9, 设点P(x,y)在该椭圆上,则其关于y=x的对称点(y,x)代入椭圆方程有y2+x2-yx=9,即x2+y2-xy=9,则该对称点位于椭圆方程上, 同理可得其关于y=-x的对称点(-y,-x)代入椭圆方程有 (-y)2+(-x)2-(-y)(-x)=9,即x2+y2-xy=9,则该对称点位于椭圆方程上, 所以x2+y2-xy=9关于直线y=±x,所以θ=,故A正确; 将y=x代入x2+y2-xy=9,可得x2=9,所以x=±3, 所以椭圆长轴的顶点为(3,3),(-3,-3),所以a==3,故B正确; 将y=-x代入x2+y2-xy=9,可得x2=3,所以x=±, 所以椭圆短轴的顶点为(,-),(-,), 所以b==, 所以c==2, 所以e===,故C不正确; 焦点在y=x上,结合c=2,可得焦点坐标为(,),(-,-),故D正确. 故选C. 8.答案　ACD 解析　A.由题意得,a=2,b=,c==1,故离心率为e==,A正确; B.由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a=4, 故△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+2=6,B错误; C.当点P在椭圆的右顶点处时,|PF1|的最大值为a+c=3,C正确; D.因|PF1|2+|PF2|2≥==8, 当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立, 故|PF1|2+|PF2|2的最小值为8,D正确. 故选ACD. 9.答案　ACD 解析　 依题意,截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交,椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体,得圆锥的轴截面及球O1,球O2的截面大圆,如图,点A,B分别为圆O1,O2与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点,线段MN是椭圆长轴,可知椭圆C的中心(即线段MN的中点)不在直线O1O2上,故A正确; 椭圆长轴长2a=|MN|=|MF|+|FN|=|MF|+|ME|=|MB|+|MA|=|AB|,过O2作O2D∩O1A于D,连O2B,显然四边形ABO2D为矩形,又|O2B|=1,|O1A|=4,|O1O2|=,则2a=|AB|=|O2D|===5,过O2作O2C⊥O1E交O1E延长线于C,显然四边形CEFO2为矩形,椭圆焦距2c=|EF|=|O2C|== =3,故B错误; 所以直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为sin∠CO2O1===,故C正确; 所以椭圆的离心率e==,故D正确.故选ACD. 10.答案　 解析　当x=0时,由3x+2y=6,则y=3;当y=0时,由3x+2y=6,则x=2,由题意可得(0,3),(2,0)为椭圆m2x2+n2y2=1的顶点, 则椭圆的方程为+=1, 所以a=3,b=2, 可得c==, 所以离心率e==. 11.答案　+=1 解析　如图: ∠ABC=120°,故∠MBC=60°, |BM|=-a, 故|CB|=2|BM|=2, 故|CB|=|AB|⇒2=2a, 解得2c=a, 由于S△ABC=·2a·=4⇒a=4, 故a=2,c=1,故b==,故椭圆方程为+=1. 12.答案　 解析　设线段MN中点为O,过点O分别作直线a'∥a,b'∥b, 以O为坐标原点,直线a',b'所成角的平分线所在直线作x轴,直线MN所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系, 其xOy平面如图, 则M(0,0,1),N(0,0,-1), 设A(m,-m,1),B(t,t,-1), 则|AB|==4,即3(m-t)2+(m+t)2=12, 设线段AB中点T坐标为(x,y,z),则 所以3(m-t)2+(m+t)2=12y2+=12,整理得+y2=1, 所以T的轨迹为椭圆,离心率e===. 13.解　(1)由题意得2a=4,解得a=2. 由e==,得c=a=, 又b2=a2-c2,所以b=. 所以C的方程为+=1. (2)由题意得l的斜率存在且不为0,设斜率为k,则直线l的方程为y=kx-2, 联立消去y并化简得 (1+2k2)x2-8kx+4=0, 由Δ=16(2k2-1)>0,得k2>, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 设直线l与x轴交于点M,则M, S△AOB=|OM||y1-y2| =|(kx1-2)-(kx2-2)| =|x1-x2| = ==, 解得k2=. 所以|AB|=|x2-x1|=×=. 14.解　(1)由椭圆可知2a=4,所以a=2, 又e==,所以c=,b2=a2-c2=2, 故椭圆E方程为+=1. (2)=,证明如下: 联立消去x得, +2y2=4,整理得(2+4)y2-16y0y+16-4=0, ① 又+=1, 所以2+4=8,16-4=8, 故①式可化简为8y2-16y0y+8=0, 即(y-y0)2=0,所以y=y0, 所以直线x0x+2y0y-4=0与椭圆相切,M为切点. 法一　设A(x1,y1),B(x2,y2),易知, 当x1=x2时,由对称性可知=. 当x1≠x2时,设x2<x0<x1, 易知===, 联立 解得 联立 解得 所以=== ==, == ===, 故=. 法二　不妨设A(x1,y1),B(x2,y2), 易知,当x1=x2时, 由对称性可知,=. 当x1≠x2时,设x2<x0<x1, 联立 解得 联立 解得 则kOA===, kOB===-,kOM=, 又+=1,所以+2=4, 所以tan∠AOM= = =-=-=, tan∠BOM= = ===, 则tan∠AOM=tan∠BOM,即∠AOM=∠BOM, 所以==. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $