福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高三上学期第四次月考数学试卷

厦门市同安实验中学2024-2025学年高三上学期第四次月考 数学试题 考试时间：2024年12月26日15：30-17：30 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号（2B铅笔准确填涂）填写在答题卡上. 2．考试不是拼多多，多人合作酿大祸！！！ 3．作弊的男生不可靠，作弊的女生很无聊！！！ 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效，不写答题卡无情零瓜蛋！！！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，（其中为虚数单位，）. 若是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. 已知平面上两定点A，B，则平面上所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为1的正方体表面上有一动点P满足，则点P在侧面上的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（ ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A. B. 由散点图知变量和正相关 C. 用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 D. 收益的方差为6 10. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（ ） A. B. C. 2 D. 3 11. 如图，在三棱锥中，两两垂直，为上一点，，分别在直线上，，则：（ ）. A. B. C. 若平面且到距离相等，则直线与的夹角正弦值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足且则的通项公式_______. 13. 随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为___. 14. 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的所有正数零点构成递增数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 16. 如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面. （1）求证：； （2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数和有相同的最大值，求的值. 18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组： ，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩． （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望取最大值时正整数n的值． 19. 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. （1）求E的方程； （2）设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 厦门市同安实验中学2024-2025学年高三上学期第四次月考 数学试题 考试时间：2024年12月26日15：30-17：30 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号（2B铅笔准确填涂）填写在答题卡上. 2．考试不是拼多多，多人合作酿大祸！！！ 3．作弊的男生不可靠，作弊的女生很无聊！！！ 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效，不写答题卡无情零瓜蛋！！！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 . 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 取中点，连接， 因为点为线段的中点，所以且， 因为，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为⊥平面，所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，由三线合一得； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）. 【18题答案】 【答案】（1）平均数为123，第60百分位数为125 （2）分布列为： 0 1 2 P 方差为 （3）6 【19题答案】 【答案】（1）； （2）（i）由题意，可设直线，则， 设直线，联立，得， 因为与抛物线相切，所以，则， 所以，令，得， 而，所以，故点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $