精品解析：贵州遵义市播州区新南高级中学2026届高三下学期考前质量检测数学试卷

遵义新南高中2026年春期第10次质量检测 高三数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故，故. 2. 若命题p：，，则命题P的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定，将存在改任意并否定原结论，即可确定答案. 【详解】由特称命题的否定为全称命题， 所以原命题的否定为，. 故选：D 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合 ，然后求并集即可. 【详解】，， 所以. 故选：B. 4. 在 中，” “是” “成立的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理完成边角互化，分别证明充分性与必要性，判定两个命题的等价关系. 【详解】在 中，因，，则 , 先证充分性： 等价于，由正弦定理得 ，化简得. 再证必要性： 由可得 ,由正弦定理得 ，即，进而可得. 综上，“ ” 是“  ”成立的充要条件. 5. 某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ） 参考数据：若，则，． A. 75人 B. 77人 C. 79人 D. 81人 【答案】C 【解析】 【分析】，，由概率计算人数即可. 【详解】，，， 因为， 所以， 所以数学成绩在分以上的人数约为人. 故选：C． 6. 已知直线 过抛物线 的焦点 ，且直线 与抛物线交于 ， 两点，若直线 的方程为，则 ( ) A. 16 B. 8 C. 12 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先利用焦点在已知直线上求出参数，联立直线与抛物线方程得到交点横坐标之和，结合抛物线焦点弦长公式直接计算弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为. 直线过点 ，将代入直线方程得 ， 解得，抛物线方程化为. 联立，消去得 ， 展开整理 ， . 设，，由一元二次方程根与系数关系得 . 抛物线焦点弦长公式 ， 代入数值 . 7. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 　　 A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【详解】4项工作分成3组,可得：=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种． 故选D. 8. 已知函数有唯一零点，则 A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】因为，设，则 ，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当 时，才满足题意，即 是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C. 【点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法： （1）利用零点存在性定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 10. 甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 两两互斥 B. C. 事件 与事件相互独立 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确； 因为，，故B项错误； 又，所以，故D项正确. 从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误. 故选：AD 11. 已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（ ） A. B. C. 的渐近线方程为 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线定义计算可判断A；根据计算可判断B；根据双曲线定义结合B可得，再根据双曲线渐近线方程计算可判断C；根据三角形面积公式计算可判断D. 【详解】对于A，双曲线，则 ， 不妨设 点在第一象限，由双曲线定义可知， 因为，所以，，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 故，所以，故B正确； 对于C，由B可知，， 因为，所以，所以，即， 所以，即， 所以的渐近线方程为，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， ， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的内角 ， ，所对的边分别为， ，.已知，则________． 【答案】#### 【解析】 【分析】运用余弦定理解三角形即可. 【详解】在 中，由余弦定理知， 又，所以， 又，所以. 故答案为：. 13. 已知数列，若，则数列的前 项和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式，求得通项公式，进而利用裂项法求其前n项和． 【详解】因为 所以 两式相减得 所以 设数列的前 项和为Sn 则 【点睛】本题考查了通项公式的求法，裂项求和法的简单应用，属于基础题． 14. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 圆锥内半径最大的球是圆锥的内切球，设球与底面相切于 ，与侧面相切于点B，利用相似三角形即可求出内切球的半径，从而求出内切球的表面积. 【详解】如图，由题意可知，， 圆锥内半径最大的球满足与底面相切于 ，与侧面相切于点B， 则 ， 所以 ， 设球的半径为r，则， 所以， 解得，故. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆锥内切球的表面积的求法，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共69分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在 中，已知，． （1）求 的面积； （2）若，求 的周长． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）由数量积以及三角形的面积公式求解即可. （2）由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 设角的对边分别为 ，则由已知，， 因为，所以， 故 的面积． 【小问2详解】 由余弦定理， 所以， 所以 的周长． 16. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，且． （1）证明：； （2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取 中点 ，连接，，可证得平面 ，利用线面垂直的性质可证结论； （2）利用体积可得，进而可证，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值． 【小问1详解】 取 中点 ，连接，， 又因为 是等边三角形，所以 ， 又因为，，所以 是等边三角形，所以 ， 又因为，平面 ，所以平面 ， 又平面 ，所以. 【小问2详解】 由三棱柱的体积为3．可知三棱锥的体积为1． 即, 解得，即，所以，又 ， 所以以 为原点．以 方向为 轴，以方向为轴，以方向为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 又 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为， . 即平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知椭圆C：（ ），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）四点中恰有三点在椭圆C上. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点. 【答案】(1) . (2)证明见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入 ，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出 和的关系，从而判断出直线恒过定点. 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点. 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 因此，解得. 故C的方程为 . （2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2， 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知 ，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）. 则，得，不符合题设. 从而可设l：（）.将代入 得 由题设可知. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=. 而 . 由题设，故. 即. 解得. 当且仅当 时， ，欲使l：，即， 所以l过定点（2，） 点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简. 18. 设函数，其中． (1)若 ，求函数的单调递减区间． (2)求函数的极值． (3)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）. （2）的极大值为，无极小值． （3）. 【解析】 【分析】（1）先求定义域，由，由可求得单调递减区间． （2）由于m>0,，由的根为>,可求得极值． （3）由（）可知，因为 ，且，所以只需． 【详解】（）依题意，函数的定义域为， 当时，，， 令，得，解得 或， 又∵， ∴函数的单调递减区间是． （），，∵ ，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，无极小值， 综上，的极大值为，无极小值． （）由（）可知， 当 时，，又，∴ 为的一个零点， ∴若在恰有两个零点， 则，即， 解得． 【点睛】求函数零点问题，一般利用导数分析函数单调性与极值等图像特征，再根据零点存在性定理分析函数零点个数，数形结合更有利于解题． 19. 某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次． （1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望； （2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止． ①求至少发射3次的概率； ②定义为第 次发射成功的概率，是否存在实数 使得数列为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的分布列为 1 2 3 4 期望为 （2）① ；②存在； 【解析】 【分析】（1）依题意，确定的取值可能为1，2，3，4，分别求出其对应的概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可； （2）①记第 次发射成功为事件，第 次发射失败后修复成功为事件，至少发射3次为事件，则，根据概率乘法公式求解； ②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功，或第 次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，则，再构造等比数列求解. 【小问1详解】 由题知，的所有可能取值分别为1，2，3，4， 则， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 ． 【小问2详解】 ①记第 次发射成功为事件，第 次发射失败后修复成功为事件， 则，，， 记至少发射3次为事件，则， 所以 ． ②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功， 或第 次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功， 所以， 设，则， 所以，解得，或， 因为，，所以时， 是等比数列， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义新南高中2026年春期第10次质量检测 高三数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 5 D. 2. 若命题p：，，则命题P的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在 中，” “是” “成立的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ） 参考数据：若，则，． A. 75人 B. 77人 C. 79人 D. 81人 6. 已知直线 过抛物线 的焦点，且直线 与抛物线交于， 两点，若直线 的方程为，则 ( ) A. 16 B. 8 C. 12 D. 4 7. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 　　 A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 8. 已知函数有唯一零点，则 A. B. C. D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 10. 甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 两两互斥 B. C. 事件 与事件相互独立 D. 11. 已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（ ） A. B. C. 的渐近线方程为 D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的内角， ，所对的边分别为，，.已知，则________． 13. 已知数列，若，则数列的前 项和为__________． 14. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共69分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在 中，已知，． （1）求 的面积； （2）若，求 的周长． 16. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，且． （1）证明：； （2）若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知椭圆C：（ ），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）四点中恰有三点在椭圆C上. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点. 18. 设函数，其中． (1)若 ，求函数的单调递减区间． (2)求函数的极值． (3)若函数在区间上恰有两个零点，求 的取值范围． 19. 某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次． （1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望； （2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止． ①求至少发射3次的概率； ②定义为第 次发射成功的概率，是否存在实数 使得数列为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $