第七章 课时6 直线、平面垂直的判定与性质 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线、平面垂直的判定与性质”核心考点，依据课标要求和高考评价体系，系统梳理线面、面面垂直的判定定理与性质定理，分析近三年高考中“线面垂直判定”“面面垂直性质”等高频考点权重，归纳选择、证明、存在性探究等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“定理应用+真题训练+思维建模”的备考策略，如以2025浙江高考模拟题为例，通过符号语言转化和逻辑推理，解析线面垂直判定的“线线垂直→线面垂直”方法，培养学生的数学思维和空间观念。总结“垂直关系转化”规律方法，设“易错点警示”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此高效组织复习，提升备考效果。

课时6 直线、平面 与性质 垂直的判定 一、课标要求 1.掌握空间直线和平面、平面和平面的位置关系. 2.掌握线面、面面垂直的判定定理和性质定理 3.会灵活运用定理实现线线、线面、面面垂直之间的转化. 二、知识梳理 1.直线与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 条直线与一个平面内 abca 判定 a∩b=O 的两条相交直线都垂直， →l⊥a l⊥a 定理 ab 则该直线与此平面垂直 1⊥b 性质 垂直于同一个平面的两 a ala =仍 定理 条直线平行 Bla 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判定 一个平面过另一个平面的垂线， 定理 则这两个平面垂直 两个平面垂直，则一个平面内垂 性质 直于交线的直线与另一个平面 定理 垂直 图形语言 符号语言 10 a⊥B 1cB a >→lLa a∩B=a 10 l⊥a 【拓展知识】 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条 (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)若一条直线垂直于两平行平面中的 (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面 直线垂直于这个平面内的任意直线. 面，则另一条也垂直于这个平面. 个，则这一条直线与另一个平面也垂直. ,则它们的交线也垂直于第三个平面. 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V”,错误的打×”） (1)如果平面a⊥平面B,那么平面a内所有 ×【解析】存在其他情形，如平行. 直线都垂直于平面B. (2) 如果平面a⊥平面B,那么平面a内 √【解析】平行于两个平面的交线即可. 定存在直线平行于平面B. (3) 如果平面a不垂直于平面B, ( ) V【解析】若平面a内存在直线垂直 那么平面α内一定不存在直线垂直于平面B. 于平面B,平面a垂直于平面B, 2.已知m,n表示两条不同的直线，表示平面.下列说法正确的是() A.若m∥a,n∥，则m∥n B.若m⊥a,nCa,则m⊥n C.若m⊥a,m⊥n,则n∥o D.若m∥a,m⊥n,则n⊥ B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.故选 B. 3.(多选题)设m,n是两条不同的直线，u, 确的有( A.若m⊥n,mCa,nCf,则a⊥B B.若m⊥a,m∥n,n∥B,则a⊥B C.若aWf,mCa,n⊥B,则m⊥n D.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥f B是两个不重合的平面.下列说法正 BCD【解析】对于选项A,若m⊥n,mCu,nCB,不能推出m⊥B或n⊥a,则 不能推出aLB,故A错误； 对于选项B,若mLa,m∥n,则nLa,又n∥B,所以a⊥p,故B正确； 对于选项C,若a∥p,nLp,则n⊥a,又mCa,所以m⊥n,故C正确； 对于选项D,若mLa,n⊥P,m⊥n,说明与和β垂直的法向量互相垂直，则a ⊥B,故D正确.故选BCD 4.已知直线a,b和平面a,且a⊥b,a⊥a, bco或b/a【解析】分析线面位置关系可知. 则b与的关系是 四、考点扫描 考点一直线与平面垂直的判定与性质 例1(1)(2025·浙江慈溪市模拟)己知α，B是两个不重合的平面，a,b是两 条不同的直线.下列条件中，一定能得到1L的是() A.a⊥p,1∥B B.l⊥a,a∥oa C.l∥a,a⊥oa D.1⊥a,1⊥b,aca,bCa C【解析】对于选项A,aLB,I∥B,则I与a相交、平行或1ca,故A错误； 对于选项B,I⊥a,a∥u,则l与相交、平行或ICu,故B错误； 对于选项C,I∥a,a⊥u,由线面垂直的性质知ILa,故C正确； 对于选项D,I⊥a,I⊥b,aCa,bCa,则I与a相交、平行或IC,故D错误.故 选C. (2)(2025·河南开封市模拟节选)如图，已知四棱锥P一ABCD的底面ABCD是 正方形.给出下列三个论断：①PC=PD;②AC⊥PD:③BD⊥平面PAC.以其中 的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并给出证明. A 【解】①②→③：如图，连接AC,BD交于点O,连接OP.因为底面ABCD是 正方形，所以AC⊥BD.又AC⊥PD,PD∩BD=D,PD,BDC平面PBD,故 AC⊥平面PBD.又OPC平面PBD,故AC⊥OP.由于OP=OP,OD=OC,PD =PC,故△POD2△POC,因此OD⊥OP,又OC∩OD=O,OC,ODC平面 ABCD,故OP⊥平面ABCD(可得四棱锥P-ABCD是正四棱锥).又BDC平面 ABCD,故OP⊥BD.又AC⊥BD,AC∩OP=O, AC,POC平面PAC,故BD⊥平面PAC. ②③→①：如图，连接AC,BD交于点O,连接OP.因为底面ABCD是正方形， 所以AC⊥BD.又AC⊥PD,PD∩BD=D,PD,BDC平面PBD,故AC⊥平面 PBD.又OPC平面PBD,故AC⊥OP.又BD⊥平面PAC,OPC平面PAC,故 BD⊥OP,又AC∩BD=O,AC,BDC平面ABCD,故OP⊥平面ABCD,结合 底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，所以四棱锥P一ABCD是正四棱锥， 故PC=PD. ①③→②：如图，连接AC,BD交于点O,连接OP.因为BD⊥平面PAC,OP C平面PAC,故BD⊥OP.由于OP=OP,OD=OB,故△POD≌△POB.又OP =OP,OD=OC,PD=PC,故△POD≌△POC,故∠POD=∠POC=∠POB= 因此PO⊥OB,PO⊥OC,且OC∩OB=O,OC,OBC平面ABCD,故OP ⊥平面ABCD,故四棱锥P一ABCD是正四棱锥.由于AC⊥BD,AC⊥OP,OP∩BD =O,OP,BDC平面PBD,故AC⊥平面PBD,又PDC平面PBD,故AC⊥PD. 规律方法： (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b, a⊥u→b⊥)：③面面平行的性质(a⊥a,u∥f→a⊥f):④面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性 质 对点训练 (1)已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A, B两点的任一点，则下列关系不正确的是( A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC C【解析】由PA⊥平面 由BC⊥PA,BC⊥AC, D正确.故选C. ABC→PA⊥BC,故A正确； PA∩AC=A,可得BC⊥平面 PAC,则BC⊥PC,故B, (2) (2025·上海杨浦区期末节选)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且∠ABC=PB=PA=4,PC=6,求PD的长. D B (2)【解】取线段AB的中点E,连接CE,PE,AC.因为四边形ABCD是边 长为2的菱形，则BC=2,B弧=1.因为∠BC-子所以△4BC是等边三角形， 所以CE⊥AB.又因为PB=PA且E是AB的中点，所以PE⊥AB.因为PE∩CE =E,PE,CEC平面PCE,所以AB⊥平面PCE.因为PCC平面PCE,所以PC ⊥AB.因为CD∥AB,所以PC⊥CD.因为PC=V6,所以PD=PC2+CD2=10. 考点二平面与平面垂直的判定与性质 例2 (1)(2025·广东一模)若空间中四 一，则下列结论 A. ￥LG C.O既不垂直也不平行 个不同的平面至②多满足 定正确的是() B.&1∥4 D.C,O的位置关系不确定 D【解析】如图，在正方 平面C为平面，， ☑，此时￥a, 由此可得，C的位置 体中，记平面A孕A为平面，平面Z为平面2， 满足生，若平面聚为平面“4，满足 若平面L平为平面x4,满足G,此时qG 关系不确定故选D. A B D C B (2)(2025·安徽黄山市模拟节选)如图， =CD=2BE=2,BE∥CD,∠BCD= 元 2 中点.求证：平面AEC⊥平面AFD. 在四棱锥A一-BCDE中，AB=BC=AC 平面ABC⊥平面BCDE,F为棱BC的 E B C A 【证明】因为F为BC的中点，所以FC=1.又CD=2BE=2,∠BCD=元，BE ∥CD,所以∠EBC=元，BE=1,所以△EBC≌△FCD,可得∠ECB=∠FDC.易 知∠DFC+∠FDC-元，所以∠DFC+∠ECB=元，即DFLEC.由AB=BC=AC, F为BC的中点，可得AF⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE =BC,AFC平面ABC,所以AF⊥平面BCDE.又ECC平面BCDE,所以AF⊥ EC.又AF∩DF=F,AF,DFC平面AFD,所以EC⊥平面AFD,因为ECC平 面AEC,所以平面AEC⊥平面AFD. 对点训练 (2025·广东深圳中学月考节选)如图 边形ABCD是菱形，平面ABCD⊥平面PAD,点M AD=AP,∠PAD=120°.求证：BD⊥平面ACM. 在四棱锥P一ABCD中，四 在棱DP上，且DM=2MP, B D M 【证明】不妨设AD=AP=3,因为∠PAD=120°，DM=2MP,所以DP=33, DM=2/3,PM=1V/3.由余弦定理得AM=AP2+MP2-2AP·Pcos.30°=V3.在 △ADM中，AD2+AP=DP,所以MA⊥AD.因为平面ABCD⊥平面PAD,平 面ABCD∩平面PAD=AD,MAC平面PAD,所以MA⊥平面ABCD.因为BDC 平面ABCD,所以MA⊥BD.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为 AC∩MA=A,且ACC平面ACM,MAC平面ACM,所以BD⊥平面ACM. 规律方法： 1.面面垂直判定的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥B,aC a→a⊥B) 2.面面垂直的转化：①面面垂直的判定定理通常是通过线线垂直→线面垂直面 面垂直来实现的；②面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据， 运用时要注意“平面内的直线”. 考点三垂直关系的综合应用 例3(2025·云南临沧市期中联考)如图所示，在四棱锥P一ABCD中，底面 4BCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂 直于底面ABCD,若G为棱AD的中点. (1)求证：BG⊥平面PAD (2)求证：AD⊥PB. 3)若E为棱BC的中点，能否在棱PC上找到一点F,使得平面DEF⊥平面 ABCD？并证明你的结论 (1)【证明】在菱形ABCD中， 平面PAD⊥平面ABCD,平面 BG⊥平面PAD ∠DAB=60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又 PAD∩平面ABCD=AD,BGC平面ABCD,所以 (2)【证明】如图，连接PG 因为△PAD为等边三角形，G为线段AD的中点，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD, 又PG∩BG=G,PG,BGC平面PGB,所以AD⊥平面PGB.因为PBC平面PGB, 所以AD⊥PB. (3)【解】能，当F为线段PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：如 图，取线段PC的中点F,连接DE,EF,DF在△PBC中，FE∥PB,在菱形ABCD 中，GB∥DE.而FEC平面DEF,DEC平面DEF,EF∩DE=E,PBC平面PGB, GBC平面PGB,PB∩GB=B,所以平面DEF∥平面PGB.因为平面PAD⊥平面 ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PGC平面PAD,PG⊥AD,所以PG⊥平 面ABCD.又PGC平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平 面ABCD. 规律方法： 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在， 关系的相关定理、性质进行推理论证！ 然后在该假设条件下，利用线面 对点训练如图，在△BCD中，已知∠BCD=90°，BC=CD=1,AB⊥平面BCD, ∠4DB=60,万，下分别是线段AC,AD上的动点，■4g4=0<<I). AC AD (1)求证：无论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC; (2)当为何值时，平面BEF⊥平面ACD? B (I)【证明】因为AB⊥平面BCD,CDC平面BCD,所以AB⊥CD.因为CD⊥BC, ABOBC-=B,所以CDL平面4BC.又因为4g-45=0<1),所以无论2为何 AC AD 值，恒有EF∥CD,所以EF⊥平面ABC.又因为EFC平面BEF,所以无论为 何值，总有平面BEF⊥平面ABC. (2)【解】由(I)知BE⊥EF,因为平面BEF⊥平面ACD,平面BEF∩平面ACD= EF,所以BE⊥平面ACD.又因为ACC平面ACD,所以BE⊥AC.因为BC= CD=1,∠BCD=∠ABD=90°，∠ADB=60°，所以BD=V2,所以AB=V2tan60° =6,所以AC=AB2+BC2=7.由Rt△AEB∽Rt△ABC,得AB2=AEAC, 所以AE=6 所--今拉以-，平面871平面.