福建漳州市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年下学期期中考 数学参考答案 1.A2.B3.C4.A5.C 6.D7.B8.D9.AD 10.ABD 11.ABD 12.913.V6 14. 15.解：(1)f'(x)=1-2cosx 2分 lim 则Ar-→0 △-f@-m0+9f0=ro=1-2=-1 △x △x0 △x 5分 、x∈0，） 7分 .π 令)k0,得0< 3,f(x)东0,3)上单调递减 9分 11分 13分 16.(1)证明：取BD的中点M,连接AM,MC.1分 易证MAC,且4M= ,2分 又H为AC的中点，所以AMHC,且AM=HC, 3分 则四边形AMCH是平行四边形，所以AHMC 4分 因为AH￠平面B,CD,MCc平面B,CD,所以AH∥平面B,CD. 6分 (2)解：以A为坐标原点，AB,AD,AA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图 所示. 设AB=2,则0,00)，B(2,02),H(41,0）,A(0,0,2).BH=(-1,1-2)A6=(20,2)」 4B=(2,0,0). 8分 BH·m=-x+y-2z=0, 设平面AB,H的法向量为m=(化少2)，则48·m=2x+2z=0,令x=1,得m=(山，-山-).10 分 BH·i=-a+b-2c=0, 设平面4BH的法向量为i=(a,6c),则4耳万=2a=0, 令b=2,得i=(02,1).12分 m列_-2-1_5 设二面角A-B,H-A的平面角为&，则 cosa-cos(m,园+1+1x4+15,14分 所以二面角A-BH-A的正弦值 VI-lcosap-v1o .15分 17.解：a)当a=2时，f)=8x-nm,则6)=8-是 x,2分 则'(0)=7， 3分 因为(0)=8,4分 所以曲线y=f()在点f0》处的切线方程为)-8=7(x-), 即y=7x+1. 6分 (2)f()的定义域为(0，+∞)，7分 f- x 8分 当a≤0时，∫'(x)<0,则f()在(0，+∞)上单调递减. 10分 与0>0时.了国-0，骨-立 11分 0.角0位. 12分 13分 15分 18.(1)证明：因为MPA,1⊥BE,所以PA⊥BE. 1分 因为PA⊥AB,AB∩BE=B,ABC底面ABCD,BEc底面ABCD,2分 所以PA⊥底面ABCD.3分 (2)(i)解：以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系，则B(2,00),E(0L,0),F(,1,存B配=(-2,10)，F=(10,1).5分 n.BE=-2x+y=0, 设平面BEF的法向量为i=(x,少2)，则万，EF=x+z=0, 6分 令x=1,则y=2,z=-1,得元=(1,2，-1) 7分 易得平面PAB的一个法向量为历=(01,0). 8分 cosa 历万=6 则 3 9分 sina-v-cosa=3 10分 (i)证明：设(0,2，a）,得B0=(-2,2a）, 11分 BO.n 2-a sinB= 则 Bg园Va2+8V6, 13分 因为0， 6e02. 元 数y=sinr在L”2上单调递增，所以要证a>B,只需证sina>sinB,即证 v3、l2-a4 3√a2+8V6, 15分 即证a+4a+12>0.16分 因为△=42-4×12=-32<0，所以a2+4a+12>0恒成立.故0>B .17分 19.1)证明：当a=2,x∈0，)时，f)=e-e-2x,1分 f'(x)=e+e-2之2-2=0，当且仅当e=e,即x=0时，等号成立， 2分 所以f()20,f()在[D,+切)上单调递掉。 3分 又f(0)=e°-e°-0=0，所以当x≥0时，f(x)≥f(0)=0,即f()20, 4分 2)解：因为()=e-e+a=-f(,所以f()为R上的奇函数. 5分 f()=e+e-a.当a≤2时，f'()≥2-a≥0，f()在(0，+∞)上单调递增， 又f(0)=0,所以f()的零点个数为1.7分 +=a 当a>2时，令f(=0,即e+e=a,设=e(>0,则/+=a,即2-ai+1=0,解得 t=a±va2-4 5=ha+v-4 2 =ma-va2-4 ，即 2 2 a-G-4.a+层-4-1a+2-4g1 > 又因为 2 2 0<a-v2-4<1 所 2 ,即X<0,>0,8分 则当<时，f()>0,f()单调递增，当<x<时，f()<0,f()单调递减。 当x>时，'(>0，f()单调递增， 所以6)m=f()>f(o)-=0,f(✉)=f(,)Kf0)=0.9分 又因为当x→0时，f()→0，f(0)=0,当x→+0时，f()→+0，所以f()的零点个数 为3 综上，当Q≤2时，(0)的零点个数为1，当a>2时，f()的零点个数为3.10分 a=e%-e (3)证明：由f(x)=0,得e-e5=,即。.1分 e+1>e-e% 要证e+1>a,只需证 而，即证(e+)小>e-e,即证 xe+x0-e+e%>0,12分 设k()=e+x-e+e,x>0,则kK()=e+e+l-e-e=e+l-e.13分 因为x>0,所以xe>0,1-e>0,14分 所以K(x)>0,k()在(0，+o)上单调递增 15分 又k(0)=0+0-1+1=0,且>0，所以k(3)>k(0)=0,即e+-e+e>0,故 e0+1>a得证.17分 2025-2026学年下学期期中考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第二册第一章（导数）、第二章（空间向量与立体几何）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间直角坐标系中，点，，则 A． B． C． D． 2．已知函数，则的导函数 A． B． C． D． 3．已知函数的极值点为，则 A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为 A． B． C． D． 5．若函数为减函数，则必有 A． B． C． D． 6．某企业的一个产品的月均产量（单位：百件）与月份数的关系式为，则该企业这个产品的月均产量的最小值为 A．56件 B．63件 C．5600件 D．6300件 7．在平行六面体中，，，，，，则 A． B． C． D． 8．函数的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在四面体中，，，则 A． B． C． D． 10．若，，则的取值可以为 A． B． C． D． 11．在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则 A． B．的最大值是最小值的2倍 C．四面体外接球的体积为 D．当取得最小值时，点的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在标准正交基下，已知向量，，则向量在上的投影为 ▲ ． 13．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为 ▲ ． 14．若，则的取值范围是 ▲ ． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 15．（13分） 已知函数． （1）求的值； （2）求在上的极值． 16．（15分） 将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 17．（15分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，，，底面是正方形，，分别为，的中点．过点的直线与平行，且． （1）证明：底面． （2）已知平面与平面的夹角为． （i）求； （ii）若是上的一个动点，直线与平面所成的角为，证明：． 19．（17分） 已知函数． （1）证明：当，时，． （2）讨论的零点个数． （3）若，正数满足，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $