精品解析：山东滨州市邹平市第一中学2025-2026学年高二下学期6月期末检测数学试题

邹平一中高二期末检测 数 学 2026.6 一、单选题 1. 设集合A=，B=，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法表示集合，结合并集的定义即得解 【详解】由题意，A= 由并集的定义， 故选：A 2. 已知向量.若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量定理求解. 【详解】解：因为向量， 所以， 因为， 所以， 解得， 故选：B 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线方程的焦点在y轴正半轴，结合抛物线方程即可求得. 【详解】抛物线，，焦点在y轴正半轴， 所以抛物线的焦点坐标是. 故选：A. 4. 已知数列满足：，，，若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n段圆弧所在正方形的面积之和为，第n段圆弧与其所在的正方形所围成的扇形面积为.现有如下命题： ：； ：； ：； ：. 则下列选项为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】命题，可以取、和去验证是否成立；命题，可以通过对n进行取值验证；命题，可通过叠加的方法来进行推导；命题，可以通过题意写出的表达式，然后带入化简验证，判断完四个命题后，再根据四个选项的组合进行选择. 【详解】因为，，， ，， 当时，，而成立， 假设当时，， 那么当时，， 则当时，等式也成立， 所以对于任意，成立，故该命题正确； ，由题意可得，， ， ，，，， ，当时，，该命题错误； ，，，，叠加得：，故该命题正确； ，由题意可知，所以，故该命题正确； 所以选项A，为假命题；选项B，为假命题；选项C，为假命题；选项A，为真命题. 故选：D. 5. 已知正八棱锥，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设底面正八边形的中心为点 ，设，根据，，及，，，，消元求得，，代入即可求解． 【详解】如图： 设底面正八边形的中心为点 ，设． 根据正八边形的性质知点与分别在 和的角平分线上， 且， 由平行四边形法则，与方向相同， 且， 又，故，同理，， 则， ，， 故，即， 同理有， 则，代入得， 即． 故选：A 6. 设是， ，．．．的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为， ， 的顺序数，如在排列 ，，，， ，中，的顺序数为，的顺序数为，则在至 这 个数的排列中， 的顺序数为 ，的顺序数为，的顺序数为的不同排列的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据8和7的特点，分类讨论，再把所有满足的情况加起来. 【详解】因为 的顺序数为 ，所以8一定在第三位，因为8是最大的；因为的顺序数为，7一定在第五位，因为前面除了8以外所有数都比它小. 因为的顺序数为，所以5一定在7后面 这里分两种情况：①6在5前面，此时5一定在第七位，6在前面第一、二、四、六位上，因此有 种；②6在5后面，此时5一定在第六位，6在后面第七、八位上，因此有种；从而一共有故A，B，D错误. 故选：C． 7. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得直线斜率的取值范围，然后利用正切函数的性质可得. 【详解】由题意得，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以. 故选：C． 8. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义得：， ，设， 则在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的离心率的相关计算，涉及到焦点三角形、基本不等式求最值等问题，对学生的计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键点有两个：（1）运用两个曲线的定义，找到离心率之间的关系；（2）在已知条件等式的情况下，活用“1”的妙用求最值. 二、多选题 9. 已知 ，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为16 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】 利用基本不等式可求出，即可判断AB；由利用基本不等式可判断C；将代入可求出最值，判断D. 【详解】 ，，解得，当且仅当 时等号成立，即的最大值为，故A正确；B错误； ，当且仅当，即时等号成立，，，故C错误； ，，可得， ，当时，取的最小值为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10. 已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点，若为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线过点 B. 直线与双曲线有两个公共点 C. 双曲线的一条渐近线的斜率小于 D. 双曲线的离心率取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将点代入双曲线即可判断A选项，然后结合题干信息得到。从而可求出离心率的范围进而可判断D选项，再结合 的范围利用放缩即可判断C选项，联立根据即可判断B选项，进而可得出结果. 【详解】A选项：将点代入双曲线，得到，符合，所以双曲线过点，故A选项正确； D选项：因为是锐角三角形，所以，则，即.因为双曲线中，所以，所以，解得，所以.因为，则，所以双曲线的离心率的取值范围是，D选项正确； C选项：双曲线的一条渐近线为，则斜率为，，又，则，又，所以，即，故C选项正确， B选项：联立，得，即，则，由C选项得，，此时，故B选项错误. 故选：ACD. 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 11. 已知函数且），若，则使不等式成立的解可能是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】BCD 【解析】 【分析】由条件可得是偶函数，当时是增函数，根据奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】且）的定义域为， ∵，∴是偶函数， 若，则，得， ∴当时，是增函数， 不等式，即， ∴，即，即，解得， 故BCD符合题意. 故选：BCD. 三、填空题 12. 设，则为 _______． 【答案】 【解析】 【详解】已知， 则令，有 . 令 ，有， 两式相减得 ． 13. 设向量，的夹角为，，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算法则计算即可． 【详解】解：由得 ， ． 故答案为：5． 14. 已知点是椭圆上一点，为椭圆的一个焦点，且轴，（ 为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，进而可得，即求. 【详解】由题可设，令，代入， 可得，又， ∴， ∴，即，， 解得. 故答案为：． 四、解答题 15. 已知盒子中共有 个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，且红球和黑球的个数比为 ，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． 【答案】（1） （2） （3）由题知随机变量的取值为， 则随机变量的分布列为 所以随机变量的期望 ． 所以． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合排列组合的知识求解； （2）根据已知条件求出红球和黑球的个数，再利用排列组合的知识求出黄球最先被全部取出的概率； （3）先确定随机变量的取值，再求出每个取值的概率，最后根据数学期望的定义证明. 【小问1详解】 记“第二次取出的球是黄球”为事件， 将个黄球的安排情况作为样本空间，则样本点总数为， 事件表示第二次取出的球是黄球，其他个黄球在剩余个位置中随机安排，则事件包含的样本点数为， 故． 【小问2详解】 设红球 个，由题意得，解得． 所以红球5个，黑球有10个． 记“最后一次取出球是红球”为事件，“最后一次取出球是黑球”为事件， 显然事件 互斥，记“黄球最先被全部取出”为事件，则． 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑球， 则． 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时最后取出的是红球， 则． 所以． 【小问3详解】 略 16. 如图，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数； （3）设点 满足，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正、余弦定理运算求解； （2）在中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解； （3）设，其中，根据数量积用表示，根据（2）中的关系，利用三角恒等变换结合正弦函数运算求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理 ， 所以， 由正弦定理可得. 【小问2详解】 连接，由题意可知， 在中，由正弦定理，则， 且为锐角，则， 可得 ， 由正弦定理， 可得， 所以表示为的函数为. 【小问3详解】 设，其中， 由题意可得， 则， ， 即，解得， 又，所以， 可得 ，其中， 构建 ，其中， 当，即时，取到最大值为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问关键是设，其中，再结合（2）的结论用的式子表示出，最后再结合三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出最大值. 17. 已知函数的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高点和最低点，过作 轴的垂线，交 轴于点，点为该部分图象与 轴的交点. （1）求的解析式； （2）将绘有函数部分图象的纸片沿 轴折成的二面角，如图2所示. （i）求直线与平面 所成的角的正弦值； （ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积. 注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由图有先求周期，进而求，最后代点求出即可； （2）（i）法一：如图①，设在平面 上的射影为，连接 、，在平面 上过作 轴的平行线，过点作 交于，交 轴于 ，由在平面 上的射影为，所以在平面 上的射影为，故和平面 所成角为，在计算即可；法二：建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）法一：取线段 的中点，线段的中点为，连，则点在球上，且球被平面 所截的图形是以点的圆，计算圆的半径，同理可得，球被平面 所截的图形也是半径相同的圆，最后利用球缺和球的体积公式即可求解；法二：建立空间直角坐标系， 设线段的中点为，在平面 上的射影为，计算以为球心，半径为的球被半平面 和平面 所截所截的图形为圆的半径，最后利用球缺和球的体积公式即可求解. 【小问1详解】 由图可得，，周期 ，所以， 由，得，所以， 所以，因为，所以当时，， 所以； 【小问2详解】 （i）法一 如图①，设在平面 上的射影为，连接 、，则，，. 在平面 上过作 轴的平行线，过点作 交于，交 轴于 ，则，，，， 因为在平面 上的射影为，所以在平面 上的射影为，故和平面 所成角为， ，所以和平面 所成角的正弦值为. 法二 如图，以的方向为轴的正方向，在平面 内过且垂直轴的直线为 轴，过且垂直平面 的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图②， 设在平面 上的射影为，则，，，，，， 平面 的法向量为 设直线和平面 所成角为，则 （ii）法一 由图①，设 与 轴相交于点，如图③所示，由，得，，则，即与重合，即，，三点共线 取线段 的中点，则，得，，即，则，且，又轴，故轴 设线段的中点为，连，则，且.又平面 ，则平面 ，则点在球上，且球被平面 所截的图形是以点为圆心、为半径的圆.同理可得， 球被平面 所截的图形也是半径为的圆. 所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设其体积为，则 因为，得球缺的高，故，，故. 法二 如图，以的方向为轴的正方向，在平面 内过且垂直轴的直线为 轴，过且垂直平面 的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图⑤所示 设线段的中点为，在平面 上的射影为，则，，，，，，，到平面的距离为 以为球心，半径为的球被半平面 所截的图形为圆，不妨设其半径为，圆心为，则，则， 即，所以所截的圆恰与轴相切，同理可得，球被平面 所截的图形也是半径为的圆. 所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设体积为，则 因为，得球缺的高，故 ，故. 18. 设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点． （1）若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程； （2）设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程； （3）设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2），， （3）直线PQ恒过定点为． 【解析】 【分析】（1）根据所给条件得到关于、的方程组，解得即可； （2）设（或），，则，表示出，，利用点在双曲线上得到，再由三点共线得到，，代入双曲线方程，整理可得； （3）设，，则，即可得到、的方程，表示出、，根据对称性定点在轴上，利用特殊值求出定点坐标，再证明即可. 【小问1详解】 依题意，解得，所以双曲线方程为 ； 【小问2详解】 设（或），则，，，， 则，，所以， 又，即， 所以， 则，， 由， ，三点共线得：； 又，， 由， ，三点共线得：， ，， ， ，即，则，， 直线与直线的交点 的轨迹的方程为， ； 【小问3详解】 设，，则， 直线：，即； 直线：，即． 由得， 所以，即，则， 同理，， 由对称性知，若过定点，则定点在轴上． 取，可得，，则直线PQ： ，过点． 下证明直线恒过定点为． 由且得， 所以直线恒过定点为． 【点睛】方法点睛：处理定点问题的三个常用策略： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，通过等量关系代入化简变形，分析研究出变化的量与参数无关，从而找到定点； （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明存在着动态变化中不受变量影响的该定点； （3）定位分析法：先根据几何性质（如：图形对称性、点线相对性、动态趋势等）探索出定点大致位置，从而确定证明方向再加以证明. 19. 已知函数. （1）若，，判断函数的单调性； （2）若，且对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，令，利用导数求得的单调性质和极小值，进而得到的单调性； （2）根据题意，转化为，恒成立，设，求得，再设，得到在上单调递减，结合，求得的单调性和极大值，进而求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，，其定义域为， 可得， 令，则， 由，可得 ，由，可得， 所以的极小值为， 所以，即 ，所以在上单调递增. 【小问2详解】 解：当时，可得， 由，可得， 即对，恒成立， 设，则， 设，则， 所以在上单调递减， 又因为，所以时，，即； 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值，为， 所以，即实数m的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邹平一中高二期末检测 数 学 2026.6 一、单选题 1. 设集合A=，B=，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量.若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足：，，，若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n段圆弧所在正方形的面积之和为，第n段圆弧与其所在的正方形所围成的扇形面积为.现有如下命题： ：； ：； ：； ：. 则下列选项为真命题的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正八棱锥，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是，，．．．的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为，， 的顺序数，如在排列 ，，，，，中，的顺序数为，的顺序数为，则在至这个数的排列中，的顺序数为， 的顺序数为，的顺序数为的不同排列的种数为（ ） A. B. C. D. 7. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知 ，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为16 D. 的最小值为 10. 已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点，若为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线过点 B. 直线与双曲线有两个公共点 C. 双曲线的一条渐近线的斜率小于 D. 双曲线的离心率取值范围为 11. 已知函数且），若，则使不等式成立的解可能是（ ） A. B. 1 C. D. 3 三、填空题 12. 设，则为 _______． 13. 设向量，的夹角为，，，则______． 14. 已知点 是椭圆上一点，为椭圆的一个焦点，且轴，（ 为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是__________． 四、解答题 15. 已知盒子中共有个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，且红球和黑球的个数比为 ，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． 16. 如图，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数； （3）设点满足，求的最大值． 17. 已知函数的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点. （1）求的解析式； （2）将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示. （i）求直线 与平面 所成的角的正弦值； （ii）求以线段 的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积. 注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为. 18. 设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点． （1）若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程； （2）设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程； （3）设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知函数. （1）若，，判断函数的单调性； （2）若，且对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $