空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦空间点、直线、平面位置关系核心考点，依据高考评价体系梳理平面基本性质、线线/线面/面面位置关系、异面直线所成角、截面与动态问题等考查要求，分析异面直线判定与计算、截面多边形探究等高频考点权重，归纳证明（点共面、线共点）、计算（角的余弦值）、多选等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识体系构建+题型方法提炼+高考真题演练”，如通过正方体模型解析异面直线所成角的平移法（作角、证角、求角），结合截面问题的延长线法、平行线法培养空间观念与逻辑推理素养。含易错点警示（如异面直线判定误区）和变式训练，帮助学生掌握解题技巧，教师可依托其系统框架实施精准复习，提升学生高考冲刺效率。

空间点、直线、平面之间的位置关系 平行 相等或互补 D C C 30°或150° A BCD BCD D D 45° ABD D BCD BCD [知识梳理] 1．平面的基本性质 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间中直线与直线的位置关系 (1)位置关系分类 (2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 ． (3)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ． 3．空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与 平面α相交 直线a与 平面α平行 公共点 有无数个 公共点 有且只有 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形 表示 4.空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点 (在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 5．常用结论 (1)唯一性定理 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)异面直线的2个结论 ①平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面． [热身训练] 1．已知点A∈直线l，又A∈平面α，则( ). A．l∥α　　　 B．l∩α＝A C．l⊂α　　　 D．l∩α＝A或l⊂α 2．空间不重合的四个点，“无任何三点共线”是“四点不共面”的( ). A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图7.2­1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为( ). 图7.2­1 A．30°　　　 B．45° C．60°　　　 D．90° 4．(易错题)已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝ ． 5．如图7.2­2，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AA1＝2AB＝2BC，则直线A1C与B1C1所成角的余弦值为 ． 图7.2­2 题型1　平面的基本性质及应用 【例1】已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，求证：P，Q，R三点共线； (3)求证：DE，BF，CC1三线交于一点． 【证明】(1)如答图7.2­1，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． 答图7.2­1 (2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，所以R∈α，且R∈β，所以R∈PQ，所以P，Q，R三点共线． (3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1.同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1，所以DE，BF，CC1三线交于一点． (1)证明点或线共面的2种方法 ①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； ②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． (2)证明点共线的2种方法 ①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； ②直接证明这些点都在同一条特定直线上． (3)证明线共点的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【变式】如图7.2­3，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证： 图7.2­3 (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 【证明】(1)连接EF，CD1，A1B．因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥BA1.又A1B∥D1C，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面． (2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P.由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理可得P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA，所以CE，D1F，DA三线共点． 题型2　空间两条直线的位置关系 【例2】(1)已知a，b，c是三条不同的直线，有下列三个命题： ①若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线； ②若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； ③若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面． 其中真命题的个数是( ). A．0　　　 B．1 C．2　　　 D．3 (2)(多选)如图7.2­4，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是( ). 图7.2­4 A．AB1　　　 B．A1C C．A1A　　　 D．AD1 (1)判断空间两条直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体进行判断，如正方体、四面体等模型；二是利用排除法． (2)在证明两条直线为异面直线时，多用反证法． 【变式】(多选)如图7.2­5，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，E，F分别是棱PD，PA的中点，则下列说法正确的有( ). 图7.2­5 A．多面体ABF­DCE是三棱柱 B．直线BF与PC互为异面直线 C．平面ADP与平面BCP的交线平行于EF D．四棱锥P­ABCD和四棱锥P­BCEF的体 积之比为8∶3 题型3　异面直线所成的角 【例3】如图7.2­6，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( ). 图7.2­6 A．　　　 B． C．　　　 D． 【解析】如答图7.2­2，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为的中点，设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝，所以AE＝＝.连接ED，则ED＝.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角).在△EAD中，os ∠EAD＝＝，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为. 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角(或其补角)是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形，求出所作的角． 【变式】(1)如图7.2­7，已知直三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为( ). 图7.2­7 A．　　　 B． C．　　　 D． (2)如图7.2­8，圆台OO1的上底面半径O1A1＝1，下底面半径OA＝2，母线长AA1＝2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为 ． 图7.2­8 【解析】在直角梯形OO1A1A中，因为B为OA的中点，OA＝2，所以O1A1＝OB＝AB＝1，连接A1B，易知四边形OO1A1B为矩形，所以OO1∥A1B，所以∠BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角，在Rt△AA1B中，AA1＝2，AB＝1，所以A1B＝.连接OC，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2，得BC＝.在Rt△A1BC中，BC＝A1B，所以∠BA1C＝45°. 空间几何体的截面问题 “截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力．求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解． 角度1　截面问题 【例1】(多选)已知在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，过棱BC，CD的中点E，F作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有( ). A．截面多边形可能是五边形 B．若截面与直线AC1垂直，则该截面多边形为正六边形 C．若截面过AB1的中点，则该截面不可能与直线A1C平行 D．若截面过点A1，则该截面多边形的面积为 【解析】对于B项，如答图7.2­3①，连接A1D，A1B，BD，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，易证AC1⊥平面A1BD． 答图7.2­3① 分别取棱DD1，D1A1，A1B1，B1B的中点为G，H，I，J，将其顺次连接，连接GF，EF，EJ，由中位线的性质可得平面A1BD∥平面EFGHIJ，故AC1⊥平面EFGHIJ，易知六边形EFGHIJ为正六边形，故B正确；对于C项，如答图7.2­3②，连接AC，BD交于点O，记侧面ADD1A1和侧面ABB1A1的中心分别为G，H，连接GH，HE，EF，GF， 答图7.2­3② 易知点G，H，E，F共面(即在符合要求的截面内)，连接A1O交GH于N，设CO∩EF＝M，连接MN，可得N，M分别为A1O，CO的中点，故A1C∥MN，又因为MN⊂平面GHEF，A1C⊄平面GHEF，所以A1C∥平面GHEF，故C错误；对于A，D项，如答图7.2­3③，连接EF，双向延长EF分别与直线AB，AD交于P，Q两点， 答图7.2­3③ 连接A1Q，A1P，分别交棱D1D，B1B于T，S两点，连接TF，SE，则五边形A1SEFT为所得截面，故A正确；易知BP＝BE＝DF＝DQ＝1，所以A1P＝A1Q＝，PQ＝3，sin ∠QA1P＝，所以该截面多边形面积S＝S△A1PQ－S△SEP－S△TQF＝，故D正确． 作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接这两点即可作出几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程． (2)延长线法：同一个平面内有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点． (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线． 【变式】在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，E，F，G分别是AA1，A1B1，B1C1的中点，则过点E，F，G的平面截正四棱柱ABCD­A1B1C1D1所得截面多边形的周长为( ). A．2＋3　　　 B．2＋3 C．2＋4　　　 D．2＋4 角度2　动态问题 【例2】(多选)在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折得到△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE从起始到结束的翻折过程中( ). A．存在某位置，使得DE⊥A1C B．存在某位置，使得CE⊥A1D C．MB的长为定值 D．MB与CD所成角的正切值的最小值为 【解析】如答图7.2­4，对于A，假设存在某个位置，使得DE⊥A1C．由题意知∠AED＝∠BEC＝45°，所以∠DEC＝90°，即DE⊥CE，又DE⊥A1C，A1C∩CE＝C，A1C，CE⊂平面A1CE，所以DE⊥平面A1CE，因为A1E⊂平面A1CE，所以DE⊥A1E，与∠A1ED＝∠AED＝45°矛盾，故A错误；对于B，在△ADE的翻折过程中，当平面A1DE⊥平面ABCD时，易证CE⊥平面A1DE，此时CE⊥A1D，故B正确； 答图7.2­4 对于C，取CD的中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D，MF＝A1D，易知BF∥DE，且BF＝DE，所以∠A1DE＝∠MFB＝45°，由余弦定理可得MB的长为定值，故C正确；对于D，MB与CD所成的角即MB与AB所成的角，亦即∠ABM(或其补角)，在平面ABCD内作M的射影M1，由最小角定理知∠ABM≥∠ABM1，当M1为AC与BD的交点时，∠ABM1取最小值，此时tan ∠ABM1＝，故所求正切值的最小值为，D正确． (1)在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用思路如下： ①直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值． ②函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值． (2)解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法如下： ①几何法：根据平面的性质进行判定． ②定义法：转化为平面轨迹问题，结合圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算． ③特殊值法：根据空间图形中线段长度取特殊值或特殊位置进行排除． 【变式】(多选)如图7.2­9，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为AC1，A1B1的中点，点T在正方体的表面上运动，满足PT⊥BQ，则下列结论正确的有( ). 图7.2­9 A．点T可以是棱DD1的中点 B．线段PT长度的最小值为1 C．点T的轨迹是矩形 D．点T的轨迹围成的多边形的面积为2 $