第七章 课时4 空间点、线、面的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间点、线、面的位置关系”核心考点，依据课标要求的三种语言转换、位置关系定义及推理依据，对接高考评价体系。系统梳理平面基本事实、线面位置关系等基础内容，通过近5年高考真题分析，明确位置关系判断（占比约30%）、异面直线所成角（占比约40%）等高频考点，归纳证明题、多选题、计算题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题情境+方法建模+素养提升”，如以2025上海高考正四棱台异面直线判断为例，运用反证法和模型构造培养学生空间观念与推理能力。针对共点共线共面问题总结“先定平面再证线面”步骤，求角问题提炼“作平行线—证角—解三角形”技巧，帮助学生掌握得分关键。教师可利用基础回顾与对点训练，精准定位薄弱环节，提升复习效率。

课时4空 间点、线、 关系 面的位置 一、课标要求 1.初步掌握三种语言：文字语言、符号语言、图形语言之间的转换， 2.从定义、公理和定理出发，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与 判定. 3.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定 理.能证明一些空间位置关系的简单命题. 二、知识梳理 1.平面的基本性质 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本 过不在一条直线 A,B,C三点不 用来确定 事实1 上的三点，有且只 共线→存在唯一的a 有一个平面 一个平面 使得A,B,C∈a 如果一条直线上 A∈1，B∈1， 基本 的两点在一个平 用来证明 事实2 面内，那么这条直 且A∈a, 直线在平 之 面内 线在这个平面内 如果两个不重合 的平面有一个公 B 基本 事实3 共点，那么它们 有且只有一条过 该点的公共直线 平行于同一条 基本 直线的两条直 a 事实4 b 线平行 P∈au,P∈B 用来证明空 →o∩B=1, 间的点共线 且P∈1 和线共点 a∥b,b∥c→ 用来证明两 a∥c 条直线平行 2.空间中直线、平面位置关系 (1)两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在 任何一个平面 内，没有公共点 (2)直线与平面的位置关系 直线a在平面a外 位置关系 直线a在平面a内 直线4与平面a相交 直线a与平面a平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 aCa a∩a=A a∥a 图形表示 a a A (3)两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 有无数个公共点 公共点 没有公共点 (在一条直线上) 符号表示 a∥p anB=1 图形表示 a 【拓展知识】 1.异面直线的判定方法 (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直 线异面 (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两 线异面. 2.判断线、面位置关系时，要利用好长方体（或正方体）这一模型 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V”,错误的打“×”) (1)书桌面是平面 () ×【解析】平面是向四周无限延展的 (2)两个平面相交，它们只有有限个公共点. ( ×【解析】有无数个公共点 (3)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.() √【解析】过不共线三点，有且只有一个平面 (4)圆心和圆上两点可确定一个平面 () ×【解析】三点共线时无法确定平面 2.用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的为() A.A度m,mC0 B.Am,m∈0 C.Adm,mca D.Atm,m∈0 A【解析】由题意用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即 AEm,mCa.故选A. 3.(多选题)如图所示，在正方 CC的中点.下列结论正确的有( A.直线AM与CC是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BW与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 体ABCD-AB1CD1中，M,N分别为棱CD1, D M 9 A B W D C A B CD【解析】因为点A在平面CDDC1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC在 平面CDDC1内，CC1不过点M,所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误； 取DD1的中点E,连接AE(图略)，则BN∥AE,但AE与AM相交，所以AM与 BW不平行，故B错误； 因为点B与直线BN都在平面BCCB1内，点M在平面BCCB,外，BN不过点 B,所以BN与MB1是异面直线，故C正确； 同理D正确.故选CD 4.如图，在长方体ABCD-A′B'CD中，己知 =2,则BC和A′C所成角的大小是，AA'和 C A B D C A B AB=23,AD=23,AA' BC′所成角的大小是 45;60°【解析】连接A'C'(图略)，因为BC∥B'C,所以异面直线BC和 A'C所成的角即为直线BC′和A'C所成的角，为∠A'CB′.在Rt △A′B′C中，A'B'=AB=23,B′C=AD=23,所以tan∠A'CB =1,所以∠A'CB'=45°，即异面直线BC和A'C′所成的角为45°.连接 BC(图略).因为AA'∥BB',所以异面直线AA'和BC′所成的角即为直线 BB'和BC'所成的角，为∠B'BC.在Rt△BB'C'中，B'C'=AD=23, BB'=AA'=2,所以tan∠B'BC'=3,所以∠B′BC'=60°，即异面直线 AA′和BC所成的角为60°. 四、考点扫描 考点一共点、共线、共面问题 例1如图，在正方体ABCD ABIC D中，1 中点，ACOBD=P,A1C∩EF=Q.求证： (1)D,B,F,E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R 已知E,F分别为棱DC1,CB1的 E B R C 三点共线. B 【证明】(1)如图，连接B1D1.因为EF是△DB1C的中位线，所以EF∥B1D1.在 正方体AC中，BD1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面，即D, B,F,E四点共面 E B R D (2)正方体AC中，设平面AACC确定的平面为a,又设平面BDEF为p.因为 Q∈AC1,所以Qea.又QeEF,所以QeB.则Q是a与的公共点，同理P是a 与B的公共点，所以∩B=PQ.又AC∩B=R,所以R∈AC.所以R∈a,且R∈B, 则RePQ.故P,Q,R三点共线. 规律方法： 共面、共线、共点问题的证明 (1)共面：先确定一个平面，然后再证其 (2)共线：先由两点确定一条直线，再证 (3)共点：先证其中两条直线交于一点， 余的线（或点）在这个平面内. 其他各点都在这条直线上. 再证其他直线经过该点 对点训练如图，在空间四边形ABCD中，E,F分别是边AB,AD的中点，G, H分别在边BC,CD上，且 E (1)求证：E,F,G,H四点共面； B D (2)设EG与FH交于点P,求证：P,A,C三点共线 【证明】(1)因为E,F分别为AB,AD的中点，所以☑2.在中，因 KYII1 为2月 以三所以a,所以压所以E,F, G,H四点共面 (2)因为马，所以区.由已知，得M,,平面ABC, 及之平面ABC,所以C交平面ABC,所以P∈平面ABC.同理，TE平 面ADC,P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的一个公共点.又平面 @T平面，所以？4，所以P,A,C三点共线 考点二空间位置关系的判断 例2(1)( 2025·湖北华师一附中月考)已知a, 列三个命题： ①若a,b是异面直线，b,c是异面直线，则a, ②若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； ③若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面 其中，真命题的个数是( A.0 B.1 C.2 b,c是三条不同的直线，有下 c也是异面直线； D.3 A【解析】对于①，若a,b是异面直线，b,c是异面直线，则a,c相交，不是 异面直线，如图，故①为假命题； D' B' a D b C B 对于②，若a和b相交，b和c相交，则a和c可能相交、平行、异面，故②为 假命题； 对于③，若a和b共面，b和c共面，则a和c共面，错误，如上图，AA'(@与 AB(b)共面，AB(b)与BC(c)共面，但AA'(与BC(c)异面，故③为假命题.故真命 题的个数为0.故选A (2)(2025春·上海高考)如图， 属于异面直线的是 D A B A. 和 B. 和 C. 是正四棱台，则下列各组直线 和 D. 和 D【解析】根据题意，依次分析选项：对于选项，因为 是正四 棱台，所以 ,故错误； 对于选项，棱台的侧棱延长后交于一点，所以 与 相交，故错误； 对于选项，同理，与 也相交，所以，，， 四点共面，所以 与相交，故 错误； 对于选项， 与 既不相交，也不平行，是异面直线，故正确.故选· 规律方法： 1.要判断空间中两条直线的位置关系（平行、相交、异面，可利用定义，借助空 间想象并充分利用图形进行思考判断空间直线的位置关系，一般有两种方法： 一是构造几何体（如正方体、空间四边形等）模型来判断；二是利用排除法 2.异面直线的判定方法：(1)反证法；(2)直接法 对点训练(1)在底面圆半径为1的圆柱OO1中， ABCD,其中母线AB=2,E是BC的中点，F是 A.AE=CF,AC与EF是共面直线 B.AE≠CF,AC与EF是共面直线 C.AE=CF,AC与EF是异面直线 D.AE≠CF,AC与EF是异面直线 过旋转轴OO1作圆柱的轴截面 AB的中点，则( D【解析】如图，由题意知，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是BC 的中点，F是AB的中点，所以ACC平面ABC,EF与平面ABC相交，且与AC 无交点，所以AC与EF是异面直线.又CF=V12+22=5,AE=22+(N2)2=V6, 所以AE≠CF.故选D. E 0 B D (2)（多选题)2025·重庆名校联考)如图，在正方体ABCD-一A1B1CD1中，O为 正方形ABCD的中心，则当点P在线段BC1上（不包含端点）运动时，下列直线一 定与直线OP异面的有( B D O. B A.AB BA C CAA DAD BCD【解析】对于选项A,如图①，连接AB1,CD, B C A B 图① 当P为BC的中点时，OP∥DC1∥AB,故A不正确： BD, 对于选项B,如图②， AA1C1C,O年A1C,P年 故B正确； 连接A1C,A1C1,AC,因为A1CC平面AA1C1C,O∈平面 平面AAC1C,所以直线AC与直线OP一定是异面直线， D C By D C B 图② 对于选项C,如图②，因为AAC平面 A 平面AA1C1C,所以直线AA与直线OP A1C1C,O∈平面AA1C1C,O庄AA,P年 一定是异面直线，故C正确； D C A B D D B 图③ 对于选项D,如图③，连接AD1,DC,AC,因为AD1C平面ADC,O∈平面 ADC,O庄AD1,Pt平面ADC,所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故 D正确.故选BCD 考点三求两条异面直线所成的角 例3(1)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD一AB1CD 中，AA1=2AB=2,则异面直线AB与AD所成角的余弦值为() B D B 5 D【解析】连接BC1,易证BC∥AD1,则∠ABC1即为异面直线AB与AD所成 的角.连结A1C1.由AB=1,AA1=2,易得A1C1=√2，A1B=BC1=V5,故coS∠A1BC1 _41B2+BCi-AiCt_4. 即异面直线AB与AD所成角的余弦值为。故选D 2×AB×BC B (2)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧 与BC所成角的余弦值为( B C E A D 3 5 B C. 30 3 5 6 6 BC的中点，则异面直线AE (2)D【解析】如图，过点 为AD的中点， E作圆柱的母线交下底面于点F,连接AF,易知F B C E 设四边形ABCD的边长为2，则EF=2,AF=2,所以AE=VZ2=6 连接ED,则ED=6.因为BC∥AD,所以异面直线AE与BC所成的角即为 ∠E1D或其补角).在△FA1D中，cos∠FAD-6+4-6-6,所以异面直线AE与 2×2×1/66 BC所成角的余弦值为6故选D 规律方法： 综合法求异面直线所成角的步骤： (1)作：通过作平行线得到相交直线： (2)证：证明所作角为异面直线所成的角（或其补角）： 3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求 的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 对点训练（1)如图所示组合体是由正四棱锥与正四棱台 组合而成，空孕，则PA与B所成角的余弦值为 () D B D B v A. 1一1 B. 2 c. D. 2 A【解析】延长AA,BB,CC,DD交于Q,易知：2 D D B C 故是正八面体，故3，≌&睡，∠APD即为所求异面直线 所成角，余弦值为，.故选A. (2)在三棱锥P-ABC中， AC的中点，则异面直线BM AC=3,BC=1,PA=PB=PC=AB=2,M为棱 与PA所成角的余弦值是 5V7 【解析】如图，取PC的中点D,连接MD,BD.因为M为AC的中点，所以 28 DM∥PA,且DM=PA=1,所以∠DMB为异面直线BM与PA所成的角或其补 2 角.在△ABC中，AC=3,BC=1,AB=2,所以AB=BC2十AC2,则AC⊥BC.又 8=iM-C- 2,所以BM=BC2-+MC2=7 · 在△PBC中，BC=1,PB =PC=2,由余弦定理可得0s∠DCB-22+1P-2_1 2X2×1 4 在△BDC中，DC=BC=1,由余弦定理可得BD2=DC2+BC2-2DC·BC·Cos ∠DCB=1+1-2X1X1×!=3. 在△BMD中，由余弦定理可得cos∠DMB= 42 DMP+BMP-BD2 1+73 42_5V7 所以异面直线BM与PA所成角的余弦值为 2XDMXBM 2X1X7 28 2 5V7 D 28 M C