精品解析：四川省达州市宣汉县新华中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

宣汉县新华中学初二下学期下学期半期数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟，测试内容：第1-3章） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 如图中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设（ ） A. 一个三角形中有两个角是直角 B. 一个三角形中有两个角是钝角 C. 一个三角形中有两个角是锐角 D. 一个三角形中有一个角是直角 3. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个等腰三角形的周长是8，则它的腰长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在直角坐标系中，点关于原点的对称点是（　　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知 的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为 、，则 （ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1.5 7. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 中， ，，将 绕点C逆时针旋转 ，得到，连接 ，则 的长是（ ） A. B. C. D. 3 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. “5与x的和大于x的3倍”用不等式表示为___________ ． 10. 已知点A的坐标是，则点A向右平移2个单位长度后的坐标是_____． 11. 若是关于x的不等式 的一个解，则m的取值范围是________． 12. 如图， 中，平分 ， ， ，若 ，，则 的长为______． 13. 如图，在 中，已知，，点D在边 上， 若点E在边 上，满足，则 的长是__________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 15. 如图，将 绕点B逆时针旋转得到 ，点C的对应点E恰好落在 上． （1）若，，求线段 的长． （2）连接 ，若， ，求 的度数． 16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形， 的顶点均在格点上． （1）将 绕点A顺时针旋转 ，得到（点，分别是B，C的对应点），在图中画出； （2）在图中画出 关于点O中心对称的（点，分别是B，C的对应点），点的坐标是 ； （3）在（1）、（2）的基础上，我们发现点，关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 ． 17. 如图，在四边形 中， ，点 是 的中点，连接并延长交 的延长线于点 ，点 在线段 上，且，连接．求证： （1） ； （2）垂直平分． 18. 如图，直线分别交x轴，y轴于点，．直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知． （1）求直线的表达式； （2）求 的面积； （3）直接写出时，x的取值范围． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 不等式的非负整数解有_________个． 20. 在平面直角坐标系中，四边形 与四边形关于原点 成中心对称，则点的对称点 的坐标是______． 21. 关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是_________． 22. 如图，在等边 中，，点E为高 上的一动点，以 为边作等边，连接，则的最小值为 ________________． 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第______个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是__________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，中，， 的平分线 和 的外角平分线 相交于点 ，分别交 和 的延长线于 ， ．过 作交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ． 求证下列结论： （1） ； （2） ； （3） ； 25. 某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． （1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元? （2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案? （3）售出一部甲种型号手机，利润率为 ，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值． 26. 综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合．则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图3-1， 与 都是等腰三角形，其中，则 （边角边）． 【初步把握】如图2， 与 都是等腰三角形， ，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知 ，以 为边分别向外作等边和等边 ，交于点Q，求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角 和 中， ， ，，连接交于点 ，请判断 和 的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣汉县新华中学初二下学期下学期半期数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟，测试内容：第1-3章） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 如图中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：D． 2. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设（ ） A. 一个三角形中有两个角是直角 B. 一个三角形中有两个角是钝角 C. 一个三角形中有两个角是锐角 D. 一个三角形中有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时， 第一步先假设三角形中有两个内角是直角， 故选：A． 3. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式在数轴上表示为一些区间，大于等于小于等于为实心点，大于和小于为空心点即可解答． 【详解】解：∵不等式的解集为 ， ∴符号是大于，有等号， ∴方向向右，起点是实心点， 故选． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式，熟记在数轴上表示不等式的方法是解题的关键． 4. 若一个等腰三角形的周长是8，则它的腰长可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设等腰三角形腰长为x，根据周长表示出底边长，再利用三角形三边关系求出腰长的取值范围，即可判断选项． 【详解】设等腰三角形的腰长为 ，则底边长为． 根据三角形三边关系，得， 解第一个不等式，得 ． 解第二个不等式，得 ． 因此腰长 的取值范围是 ． 观察选项，只有C选项在该范围内． 5. 在直角坐标系中，点关于原点的对称点是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点关于原点的对称点是：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的符号是解题关键． 6. 如图，已知 的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为 、，则 （ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 连接、 ，由 的平分线与 的垂直平分线相较于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得 ， ，从而得到，可证的，则可得，即可得到结果． 【详解】连接、 ， 是 的平分线，，， ，， ， 是 的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ，， ． 故选：B 7. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 分别表示出两个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到关于m的不等式，即可求解． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得：， 关于x的不等式组无解， ， 解得： ， 故选：C． 8. 如图， 中， ，，将 绕点C逆时针旋转 ，得到，连接 ，则 的长是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，设 与 交于点O，由旋转的性质可推出为等边三角形，，结合，可推出 垂直平分 ，然后利用勾股定理分别求得 、，即可解答． 【详解】解：如图，连接，设 与 交于点O， 由旋转可知，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ， ∴ 垂直平分 ， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. “5与x的和大于x的3倍”用不等式表示为___________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知，不等式为， 故答案为：． 10. 已知点A的坐标是，则点A向右平移2个单位长度后的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题． 【详解】解：点向右平移2个单位长度，可得点的坐标，即， 故答案为：． 11. 若是关于x的不等式 的一个解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解的定义，将代入原不等式，得到关于 的一元一次不等式，解该不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：∵是关于x的不等式 的一个解， 把代入不等式得： ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 解得 ． 12. 如图， 中，平分 ， ， ，若 ，，则 的长为______． 【答案】25 【解析】 【分析】先根据 可证，根据全等三角形的性质可得 ， ，可得 的长，根据等角对等边可得，进一步可得 的长． 【详解】解：平分 ， ， ， ， 在 和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键． 13. 如图，在 中，已知，，点D在边 上， 若点E在边 上，满足，则 的长是__________． 【答案】7或9 【解析】 【分析】过点A作，垂足为H，过点B作 ，垂足为F，过点C作 ，垂足为G，在 上取点，使 ，作点关于点G的对称点，连接，证明，得 ，得，得 ，求出 ， ，得 ． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H，过点B作 ，垂足为F， 过点C作 ，垂足为G，在 上取点，使 ， 作点关于点G的对称点，连接， 则 ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 或 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集是 解集在数轴上表示，如图， 15. 如图，将 绕点B逆时针旋转得到 ，点C的对应点E恰好落在 上． （1）若，，求线段 的长． （2）连接 ，若， ，求 的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定及性质； （1）由旋转的性质得 ，，再由，即可求解； （2）由三角形内角和定理可求，再由“等边对等角”和三角形内角和定理得 ＝，即可求解； 掌握相关的性质，并能熟练利用等腰三角形的性质进行角度求解是解题的关键． 【小问1详解】 解： 将 绕点B逆时针旋转得到 ，点C的对应点E落在 上， ，， ； 【小问2详解】 解：如图，连接 ， ， ， ， ， ， ＝ ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形， 的顶点均在格点上． （1）将 绕点A顺时针旋转 ，得到（点，分别是B，C的对应点），在图中画出； （2）在图中画出 关于点O中心对称的（点，分别是B，C的对应点），点的坐标是 ； （3）在（1）、（2）的基础上，我们发现点，关于某点中心对称，则对称中心的坐标是 ． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析，点的坐标是 （3）． 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，中心对称，点的坐标，熟练掌握利用旋转的性质作图是解题的关键． （1）根据旋转的性质，分别是作出点A、B、C旋转后的对应点，再连接即可； （2）根据中心对称的性质，分别是作出点 绕点 逆时针旋转后的对应点，再连接即可，根据点位置，写出点坐标即可； （3）连接，交 轴于 ，根据中心对称的性质，求出的中点 的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 由的位置可得：点的坐标是； 【小问3详解】 解：如图，连接，交 轴于 ， 由图可得： 为对称中心，坐标为． 17. 如图，在四边形 中， ，点 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，点 在线段 上，且，连接．求证： （1） ； （2）垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是 的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出 ； （2）由，得出．根据题意又易证 ，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵ ，即 ， ∴． ∵点E是 的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 18. 如图，直线分别交x轴，y轴于点，．直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知． （1）求直线的表达式； （2）求 的面积； （3）直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式： （1）利用待定系数法求直线的表达式； （2）分别求出A，C，E点坐标，利用三角形面积公式即可得答案； （3）观察函数图象，直线在直线的上方时对应的点的横坐标的范围，即为所求． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得， ∴直线的表达式为 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入得， 解得， ∴， 联立， 解得，， ∴， 又，， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知，， 观察函数图象得，当 时，函数的图象在函数的图象上方， 所以，时，x的取值范围是 ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 不等式的非负整数解有_________个． 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的基本性质求出 的取值范围，再根据 的取值范围求出符合条件的 的非负整数解即可． 【详解】解：， 移项，得：， 系数化为 ，得：， ∴不等式的非负整数解为： ， ， ， ∴不等式的非负整数解有 个， 故答案为： ． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 20. 在平面直角坐标系中，四边形 与四边形关于原点 成中心对称，则点的对称点 的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称的性质，两个图形关于原点成中心对称时，对应点也关于原点成中心对称，利用关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解： 四边形 与四边形关于原点 成中心对称， 点 与点关于原点 成中心对称． 关于原点成中心对称的点的横、纵坐标分别互为相反数． 点的坐标为， 点 的坐标为． 21. 关于x的不等式组有且只有两个整数解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据有且只有两个整数解列出关于 的不等式组，求解即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式组， 解不等式 得 ， ∴不等式组的解集为 ， ∵不等式组有解，∴ ，解得， ∵不等式组有且只有两个整数解，设大于 的最小整数为 （ 为整数）， 则两个整数解为 和 ， ， 整理得， 当 时，，不等式组无解； 当 时，，解得； 当 时，，不等式组无解； 故 的取值范围是． 22. 如图，在等边 中，，点E为高 上的一动点，以 为边作等边，连接，则的最小值为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明，推出，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，，此时的值最小，最小值即为线段 的长． 【详解】解：如图， ∵ 是等边三角形， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴， 作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，连接，则，的最小值是线段BG的长， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第______个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是__________． 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】由题意可以求出点，，，的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，，，，由此可得，点是的坐标，即该点在第7个三角形上； 法一：由图可得点，，所以点，则点， 由图可推得点； 法二：由点，，，的坐标，可得点， ， 所以点． 故答案为7， 【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，中，， 的平分线 和 的外角平分线 相交于点 ，分别交 和 的延长线于 ， ．过 作交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接 交 于点 ． 求证下列结论： （1） ； （2） ； （3） ； 【答案】（1）证明： 的角平分线 和 的外角平分线 ， 在中 ； （2）证明： ， ， ， 为的角平分线， ， 在和 中 ， ， ； （3）证明： ， ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， . 【解析】 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义 然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； （2）证明 得出， ，即可； （3）利用角角边证明全等，然后根据全等三角形对应边相等得到 ，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． （1）求甲、乙型号手机每部进价为多少元? （2）该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案? （3）售出一部甲种型号手机，利润率为 ，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金m元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值． 【答案】（1） 甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元 （2） 共有4种进货方案 （3） 【解析】 【分析】（1）设甲、乙每部进价为未知数，根据题干给出的两种购进情况的总资金列二元一次方程组，求解得到进价； （2）设购进甲型号手机的数量，根据资金范围列出一元一次不等式组，求出符合条件的整数解的个数，即可得到进货方案的数量； （3）表示出总获利，要使所有方案获利相同，需总获利与甲的购进数量无关，即一次项系数为0，据此求解 的值． 【小问1详解】 解：设甲型号手机每部进价为 元，乙型号手机每部进价为 元， 根据题意得， 解得， 答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元； 【小问2详解】 解：设购进甲型号手机 台，则购进乙型号手机台， 1.74万元=17400元，1.8万元=18000元， 根据题意得， 化简得， 解得，  为正整数， ，共4个符合条件的取值，即共有4种进货方案， 答：共有4种进货方案； 【小问3详解】 解：设总获利为元， 甲型号手机每台利润为（元）， 乙型号手机每台利润为（元）， 则， 展开整理得， 要使（2）中所有方案获利相同，则的取值与 无关， 因此 的系数为 ，即， 解得． 26. 综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合．则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图3-1， 与 都是等腰三角形，其中，则 （边角边）． 【初步把握】如图2， 与 都是等腰三角形， ，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知 ，以 为边分别向外作等边 和等边 ，交于点Q，求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角 和 中， ， ，，连接交于点 ，请判断 和 的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：，证明见解析；拓展延伸：，，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“ ”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得 ，，，再证明 ，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出， ，即可得解． 【详解】解：初步把握：∵， ∴ ， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究：∵ 和 都是等边三角形， ∴ ，，， ∴，即 ， 在 和中， ， ∴， ∴ ，， ∵， ∴； 拓展延伸：，，理由如下： ∵， ∴，即 ， 在 和 中， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $