精品解析：上海徐汇区2025学年初二数学第二学期期末考试试题卷

2025学年第二学期期末参考样卷 初二数学 （考试时间90分钟 满分100分） 2026.6 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤； 3．填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效． 一．选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 如果点 的坐标为，则点 到 轴的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在 中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 随着 的增大而减少 B. 图像与坐标轴没有交点 C. 图像经过第一、三象限 D. 图像是双曲线 5. 如图，直线与直线 相交于点 ，已知点 的纵坐标为，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示． 下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使得这款轮胎的摩擦系数高于 ，车速应高于 D. 当车速从 加速到 时，该轮胎的摩擦系数减小了 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知点和点Q关于x轴对称，则点Q的坐标 _____． 8. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，则点的坐标是______． 9. 函数的定义域为______． 10. 已知 、 是函数图像上的两点，则______．（填“ ”、“ ”或“ ”） 11. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，其中 ， ，则这个五边形的内角的大小为______ ． 12. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AB＝12，AC＝10，则BD的长为_____． 13. 已知菱形 的两条对角线、 的长分别为 和 ，则菱形的面积为______． 14. 如图，点是 的重心，且 ，已知 ，则的长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知菱形 ，且，，则点的坐标为______． 16. 某快递公司规定：寄到甲地的快递费，当物件质量不超过千克时，一律按 元收取“首重”费用；当物件的质量超过千克时，超过部分按价格元/千克收取“续重”费用；如果某物件质量超过千克，那么寄到甲地的快递费 （单位：元）与物件质量 （单位：千克）之间的函数表达式是______（无需写定义域）． 17. 在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标大2，那么我们把这样的点称为“两步点”，例如点、都是“两步点”．已知一条直线与坐标轴的交点都是“两步点”，则这条直线的表达式是______． 18. 正方形 中， ，以点 为圆心， 为半径画圆， 为弧 上的一个动点，连接 、 ．如图1所示，当 、 、 三点在一条直线上时， 、 两条线段长度之和取得最小值，即为 的长；如图2所示，如果点 是 的中点，连接 ，那么在点 运动过程中， 、 两条线段长度之和取得的最小值为______． 三、解答题（本大题共7题，满分58分） 19. 如图，在平面直角坐标系 中，将正比例函数 的图像向上平移，得到的直线与 轴、 轴分别交于 、两点，与反比例函数（，）的图像交于点，已知点 的坐标为． （1）求直线的表达式； （2）如果 ，求 的值． 20. 如图，在平行四边形 中，点 是边的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（用 铅笔，保留作图过程与痕迹）． （1）如图1，在对角线上找一点，连接，使得 ． （2）如图2，作出边 的中点． 21. 如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点 作轴交反比例函数的图像于点．点是 轴上任意一点，连接 、． （1）如果点 的横坐标为，求 的面积； （2）如果点 是反比例函数的图像上任意一点，那么 的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由． 22. 如图，在矩形 中，点为对角线的中点，过点作交于点 ，交于点，连接， ． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若， ，求的长． 23. 【问题背景】折纸不仅能创造出非常奇妙的图形，还能发现许多有趣的数学结论． 【初步发现】如图1，将 纸片折叠，使点与点重合，得到折痕．观察发现 ，证明如下： 四边形 是平行四边形， ， ． 纸片沿折叠得到四边形 ， 四边形 四边形 ． ， ， ． 【探究发现】 如图2，将 纸片沿折叠，点 落在点处，点落在点处，交 边于点，分别交边 、于点、． 如果折叠中始终保持成立，观察发现 也成立．请你给出证明． 24. 问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量 （千克）的范围是 ． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量 （千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量 （千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段 所示． 日产量 （千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： （1）根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量 （千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； （2）①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量 （千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； （3）已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． 25. 在菱形 中，，，点 为对角线所在直线上的一个动点，以 为边，沿着点 顺时针方向作，角的另一边交射线于点，交射线于点，连接、 ． （1）如图1，当点 在对角线上（点 不与点 、重合）时， ①求证： ； ②设的长为 ，的面积为．求 与 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； （2）连接 ，当是直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末参考样卷 初二数学 （考试时间90分钟 满分100分） 2026.6 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤； 3．填空题须在对应矩形框内作答，超出对应边框作答无效． 一．选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 如果点 的坐标为，则点 到 轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点 的坐标为， ∴点 到 轴的距离为 ． 2. 如图，在 中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴， 故选：B． 3. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数解析式求出它与坐标轴的交点坐标，判断出它的函数图象． 【详解】解：在中，令，可得到，令 ，可得， 直线与 轴交点为，与 轴的交点为， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象性质，解题的关键是根据一次函数解析式得到函数图象的性质． 4. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 随着 的增大而减少 B. 图像与坐标轴没有交点 C. 图像经过第一、三象限 D. 图像是双曲线 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：反比例函数，，只有在每个象限内， 随着 的增大而减少，故该选项符合题意； B：∵， ， ∴函数图像与坐标轴没有交点，故该选项不合题意； C：∵， ∴反比例函数图像经过第一、三象限，故该选项不合题意； D：反比例函数的图像都是双曲线，故该选项不合题意． 5. 如图，直线与直线 相交于点 ，已知点 的纵坐标为，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将纵坐标代入正比例函数求出交点 的横坐标，得到交点坐标，再根据两直线图象位置关系，交点右侧一次函数图象更高，得出对应不等式解集． 【详解】解：∵点 在直线 上，且纵坐标为 ， 把代入 得： ， 解得 ， ∴交点 坐标为 ， 直线的图象在直线 上方时，对应的 的取值范围， 从图中可知：在交点 的右侧，即时，在 上方，满足不等式， ∴不等式 的解集为． 6. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示． 下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使得这款轮胎的摩擦系数高于 ，车速应高于 D. 当车速从 加速到 时，该轮胎的摩擦系数减小了 【答案】C 【解析】 【分析】结合给定的摩擦系数车速函数图像，读取特殊点的数值、判断函数的增减性，依次验证四个选项的描述是否正确，最终找出说法错误的选项． 【详解】解：A、汽车静止时车速 ，由图象可得此时摩擦系数 ，说法正确； B、 时，图象呈下降趋势，说明摩擦系数随车速增大而减小，说法正确； C、由图象可知，车速 时 ，且车速越大摩擦系数越小，因此摩擦系数高于 时，车速应低于 ，原说法错误； D、时 ， 时，摩擦系数减小了 ，说法正确． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知点和点Q关于x轴对称，则点Q的坐标 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴对称的点Q为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标系中的轴对称，掌握坐标系中的轴对称的特点是解题的关键．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 8. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】点平移的坐标变化规律为横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，根据规律计算即可得到平移后点的坐标． 【详解】解：已知点 的坐标为，将点 先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点， 根据平移规律可得点的横坐标为 ，纵坐标为 ， 因此点的坐标是． 9. 函数的定义域为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0，以及二次根式的被开方数大于等于0，进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ，解得：且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查求函数的定义域．熟练掌握分式的分母不为0，以及二次根式的被开方数大于等于0，是解题的关键． 10. 已知 、 是函数图像上的两点，则______．（填“ ”、“ ”或“ ”） 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：函数是一次函数，其一次项系数， ∴ 随 的增大而增大， ∵ ， ， ， ∴． 11. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，其中 ， ，则这个五边形的内角的大小为______ ． 【答案】120 【解析】 【分析】先求出五边形的内角和，再减去已知的角即可求解． 【详解】解：∵五边形的内角和 ， ∴ ． 12. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC．若AB＝12，AC＝10，则BD的长为_____． 【答案】26． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质可知AO＝5，在Rt△ABO中利用勾股定理可得BO＝13，即可得出BD＝2BO＝26． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2BO，AO＝OC＝AC＝5， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， 在Rt△ABO中，由勾股定理可得：BO＝＝＝13， ∴BD＝2BO＝26， 故答案为：26． 【点睛】本题考查了平行四边形对角线互相平分性质和勾股定理运用，解题关键是熟悉相关性质． 13. 已知菱形 的两条对角线、 的长分别为 和 ，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的面积计算，根据菱形面积等于对角线乘积的一半代入计算即可． 【详解】解： 菱形 的两条对角线 ， 的长分别为 和 ， ． 14. 如图，点 是 的重心，且 ，已知 ，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交 于点，根据三角形重心的性质可得 为的中线且 ，从而求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，延长交 于点，  点 是的重心， 是的中线， ，为 的中点， ， ， ，为 的中点， 是 斜边 上的中线， ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知菱形 ，且，，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出 的长，再根据菱形的性质得出 的长，进而即可求解． 【详解】解： ，， ，， ， 四边形 是菱形， ， 轴， 点C的纵坐标为4，横坐标为 ， 点 的坐标为 ． 16. 某快递公司规定：寄到甲地的快递费，当物件质量不超过千克时，一律按 元收取“首重”费用；当物件的质量超过千克时，超过部分按价格元/千克收取“续重”费用；如果某物件质量超过千克，那么寄到甲地的快递费 （单位：元）与物件质量 （单位：千克）之间的函数表达式是______（无需写定义域）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，总快递费由首重费用和续重费用两部分组成，先求出超过千克部分的质量，再根据收费规则列出函数关系式，化简后即可得到结果． 【详解】解：当物件质量千克时，快递费分为两部分： 首重（千克内）固定收费 元； 超过千克的续重部分质量为 千克，续重费用为 元， 总快递费： ， ∴函数表达式为 ． 17. 在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标大2，那么我们把这样的点称为“两步点”，例如点、都是“两步点”．已知一条直线与坐标轴的交点都是“两步点”，则这条直线的表达式是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据“两步点”的定义求出直线与 轴、 轴的交点坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式即可． 【详解】解：由题意可得，直线与 轴的交点为，与 轴交点为， 设直线函数表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线函数表达式为． 18. 正方形 中， ，以点 为圆心， 为半径画圆， 为弧 上的一个动点，连接 、 ．如图1所示，当 、 、 三点在一条直线上时， 、 两条线段长度之和取得最小值，即为 的长；如图2所示，如果点 是 的中点，连接 ，那么在点 运动过程中， 、 两条线段长度之和取得的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取 的中点G，连接，证明 ，则有 ，从而将 ，当三点共线时取得最小值，利用勾股定理计算 的长即可求解 ． 【详解】解： 四边形 是正方形， ，  ， ，  点 在以 为圆心，为半径的圆上，  ，  是 的中点，  ，  取 的中点G，连接，如图， 则 ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 当三点共线时取得最小值， 在中， ， 由勾股定理得， 即 、 两条线段长度之和取得的最小值为． 三、解答题（本大题共7题，满分58分） 19. 如图，在平面直角坐标系 中，将正比例函数 的图像向上平移，得到的直线与 轴、 轴分别交于 、 两点，与反比例函数（，）的图像交于点 ，已知点 的坐标为． （1）求直线的表达式； （2）如果 ，求 的值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据直线的平移，设直线的表达式为 ，再将代入求出b的值即可； （2）作轴于点D，证明 ，求出点C的坐标，代入即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为 ， 将代入，得： ， 解得 ， 直线的表达式为 ； 【小问2详解】 解： 点 的坐标为， ， 由（1）得直线的表达式为 ， 当 时，， 点B的坐标为， ， 如图，作轴于点D，则 ， 在和中， ， ， ， ， ， 点C的坐标为， 点C在反比例函数的图象上， ． 20. 如图，在平行四边形 中，点 是边 的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（用 铅笔，保留作图过程与痕迹）． （1）如图1，在对角线上找一点 ，连接，使得 ． （2）如图2，作出边 的中点 ． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，点 即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接 交于点F，连接即可； （2）连接 交于点F，连接交 于点G，连接并延长交 于点P即可． 【小问1详解】 解：作图略； ∵四边形 是平行四边形， ∴点F是 的中点， ∵点E是 的中点， ∴ ； 【小问2详解】 解：作图略； ∵四边形 是平行四边形， ∴点F是的中点，即 是 的边上的中线， ∵点E是 的中点，即是 的边 上的中线， ∴是 的边 上的中线， ∴点 是边 的中点． 21. 如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点 作轴交反比例函数的图像于点 ．点 是 轴上任意一点，连接 、 ． （1）如果点 的横坐标为，求 的面积； （2）如果点 是反比例函数的图像上任意一点，那么 的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）解：不会，理由如下： 如图，连接、，设 与 轴的交点为， ∵轴， ∴， 轴， 由反比例函数的几何意义可知， ， ， ∴ 为定值． 【解析】 【分析】（1）先求出点 、 的坐标，再求出 的面积即可； （2）连接、，设 与 轴的交点为，由反比例函数的几何意义可知， ，由等积变形可得 为定值． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， ∴点 的坐标为， ∵轴， ∴ ， 将 代入，得 ， ∴点 的坐标为， ∴， ∵点 是 轴上任意一点， ∴点 到直线 的距离为， ∴ ； 【小问2详解】 略 22. 如图，在矩形 中，点为对角线的中点，过点作交 于点 ，交 于点 ，连接， ． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若， ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得∠ACB=∠DAC，然后利用“ASA”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，即可证四边形AECF是菱形； （2）连接BD，，根据平行四边形的性质可得AF=CF=10，用勾股定理求得FD=6，在△BDC中，∠DCB=90°，用勾股定理求出BD的值，即可解答. 【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ACB=∠DAC， ∵O是AC的中点， ∴AO=CO， 在△AOF和△COE中， ∴△AOF≌△COE(ASA), ∴OE=OF，且AO=CO， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形； （2）连接BD， 四边形AFCE是平行四边形 AF=CF=10 ∠CDF=90° CF=10，CD=AB=8 FD=6 AD=AF+DF=6+10=16 ∠DAB=90° == BO= 故答案为： 【点睛】本题主要考查平行四边形，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质. 23. 【问题背景】折纸不仅能创造出非常奇妙的图形，还能发现许多有趣的数学结论． 【初步发现】如图1，将 纸片折叠，使点 与点重合，得到折痕．观察发现 ，证明如下： 四边形 是平行四边形， ， ． 纸片沿折叠得到四边形 ， 四边形 四边形 ． ， ， ． 【探究发现】 如图2，将 纸片沿折叠，点 落在点处，点 落在点处，交 边于点 ，分别交边 、 于点 、． 如果折叠中始终保持成立，观察发现 也成立．请你给出证明． 【答案】 证明： 四边形 是平行四边形， ，， 由折叠得，， ， 又 ， ，，， 又 ， ， 又 ， ， ， 在和 中， ， ． 【解析】 【分析】要想证明 ，需先证 ，根据平行四边形的性质得，，由折叠得，， ，通过导角证明两组对角相等，结合，证明 即可． 【详解】略 24. 问题情境：综合与实践小组的同学到某食品直营店研学，对该店销售的上海产的“梨膏糖”的生产和销售情况进行了数据收集和信息整理，结果如下： 信息1：该店每日生产的这款“梨膏糖”当日全部售完． 信息2：该店这款“梨膏糖”日产量 （千克）的范围是 ． 信息3：该款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量 （千克）之间的关系如下表所示． 信息4：该款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量 （千克）之间的关系可用如图的平面直角坐标系中的线段 所示． 日产量 （千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 问题解决： （1）根据收集的信息，该“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量 （千克）之间的变化规律可用学习过的函数模型刻画，其函数关系式为 （无需写定义域）； （2）①该“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量 （千克）之间的函数关系式为 ； ②该款“梨膏糖”每千克的售价最高是 元，理由是 ； （3）已知销售部计划将某日该款“梨膏糖”的销售利润定额为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的产量应该定为多少比较合理？请说明理由． 【答案】（1） （2）① ；②；随 的增大而减小，因此当 时，取得最大值 （3）当日该产品的产量应该定为千克比较合理，理由如下： 根据题意可列方程： ， ∴ ， 整理，得 ， 解得 ， ， 当 时，总成本为 （元）；当 时，总成本为 （元）， ∴当日该产品的产量应该定为千克，总成本更低，更合理． 【解析】 【分析】（1）容易判断与 成一次函数关系，使用待定系数法求出关系式即可； （2）①使用待定系数法求出函数关系式；②利用一次函数的增减性结合 的取值范围求出的最大值； （3）根据题意列出方程，求解出 的值，对比两种方案的总成本即可得出结论． 【小问1详解】 解：由表格可知，日产量 每增加 千克，每千克的成本会下降 元， ∴与 成一次函数关系， 设， 将 ， ； ， ，代入，得， ， 解得， ∴ ； 【小问2详解】 解：①设， 将 ， ； ， ，代入，得， ， 解得， ∴ ； ②∵ ， ∴随 的增大而减小， 又∵ ， ∴当 时，取得最大值 （元）． 【小问3详解】 略 25. 在菱形 中，， ，点 为对角线所在直线上的一个动点，以 为边，沿着点 顺时针方向作，角的另一边交射线 于点 ，交射线于点 ，连接、 ． （1）如图1，当点 在对角线上（点 不与点 、 重合）时， ①求证： ； ②设的长为 ，的面积为．求 与 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； （2）连接 ，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）①证明： ∵四边形 为菱形， ∴， ，， ∵ ， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①先证明，可得 ，，利用三角形外角性质可得 ，即得 ，即可求证； ②过点 作 于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得 ，即可由三角形面积公式得到 与 的函数表达式，最后由点 在对角线上且点 不与点 、 重合，可得自变量 的取值范围； （2）点 在对角线上且点 不与点 、 重合， 均小于，只有当 时是直角三角形，由已知条件分析可知此时是含有 角的直角三角形，即可得出 ，结合（1）中结论即可得的长． 【小问1详解】 ①略； ②解：过点 作 于，则 ， ∵ ， ∴ ， ∵四边形 为菱形， ， ∴ ， ， 即 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 点 在对角线上且点 不与点 、 重合， ， ∴； 【小问2详解】 解： 点 在对角线上且点 不与点 、 重合， 均小于， 只有当 时，是直角三角形， 如图所示， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ，即， 当是直角三角形时，的长为． 【点睛】本题以菱形为背景，综合考查全等三角形的判定与性质、锐角三角函数解直角三角形、二次函数面积建模以及直角三角形存在性分类讨论，解题关键在于通过全等及角度传递证明，架起边角转化的桥梁，利用等腰三角形“三线合一”将底边用表示，再借助角的三角函数建立面积与 的二次函数关系，最后对直角三角形可能情形逐一排除，锁定唯一情况，结合边长关系列方程求解，体现数形结合与分类讨论的核心思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $