2.2立方根+课件 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“立方根”核心知识点，通过魔方、正方体体积问题情境导入，从具体数量关系抽象出立方根定义，衔接平方根知识，构建“定义-性质-运算”的学习支架，帮助学生理解开立方与立方的逆运算关系。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光中的抽象能力，通过对比平方根与立方根的联系区别发展推理意识，结合计算器操作与近似值计算强化应用意识。如例1分类求解正负零的立方根，小结结构化呈现性质，助力学生深化概念理解，也为教师提供清晰的教学流程与多样化练习设计。

第二章 实数 第二节 立方根 情境导入 已知一个魔方的体积为8cm3，如图所示，则它的棱长是多少？ 解：由于23=8， 因此体积为8cm3的魔方的棱长是2cm. 这个问题的实质就是要找一个数， 使它的立方等于给定的数. 如果体积为27cm3呢？ 如果是64cm3呢？ 已知一个正方体的体积为8cm3，如图所示，则它的棱长是多少？ 解：因为 23 = 8， 所以体积为 8 cm3 的正方体，它的棱长是 2 cm. 这个问题的实质就是要找一个数，使它的立方等于给定的数. 23 = 8 立方 开立方 互为逆运算 被开方数 根指数(不可省略) 读作“立方根号 a”或“三次根号 a” 求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 如果有一个数b，使得b3= a，那么b叫作 a 的一个立方根，也叫作三次方根.例如，2是8的立方根. 记作： 已知一个正方体的体积为8cm3，如图所示则它的棱长是多少? ？ 由于23=8，因此体积为8cm3的正方体，它的棱长是2cm. 这个问题的实质就是要找一个数，使它的立方等于给定的数. 如果一个数b，使得b3=a，那么我们把b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根. 由于23=8，因此2是8的一个立方根， 由于(-2)3=-8，因此-2是-8的一个立方根， 类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫做开立方. 27 27 125 125 3 3 5 5 立方 开立方 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 新知探究 思考：8有没有立方根？ 由于(2)3=8， 因此2是8的一个立方根， 即=2. 由于23=8，因此2是8的一个立方根，即= 2. 新知探究 求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 开立方 a 开立方 立方 开立方与立方互为逆运算. 根据这种关系，可以求一个数的立方根. 例1 分别求下列各数的立方根： (1) 1； (2) ； (3) 0； (4) -0. 064. 解：(1) ∵13=1，∴=1. (2) ∵3=，∴= . (3) ∵03=0，∴=0. (4) ∵(-0. 4)3=-0. 064 ，∴=-0. 4. 总结:(1)正数有一个正的立方根; (2)负数有一个负的立方根; (3)0的立方根是0. 平方根与立方根的联系与区别 平方根 立方根 取值范围 性 质 正数 0 负数 表示 非负数 有两个平方根，且互为相反数 0 没有平方根 任意数 有一个立方根，也是正数 0 有一个立方根，也是负数 ,其中 a 是被开方数， 2 是根指数(省略) ,其中 a 是被开方数， 3 是根指数(不能省略) 立方根是它本身的数有1, -1, 0； 平方根是它本身的数只有0. 根据立方根的定义填空. 因为 23 =8，所以 8 的立方根是( )； 因为( )3 =0.064，所以 0.064 的立方根是( )； 因为( )3 ＝0，所以 0 的立方根是( )； 因为( )3 ＝8，所以8 的立方根是( )； 因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是( ). 0 2 2 0 2 0.4 0.4 你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？ 归纳 注意：立方根是它本身的数有1，1，0. 立方根的性质： 1.正数的立方根是正数. 2. 0 的立方根是 0. 3.负数的立方根是负数. 新知探究 归纳： 1.每一个数有且只有一个立方根. 2.一个正数有一个正的立方根. 3.一个负数有一个负的立方根. 4. 0的立方根是0. 利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值. 例题精讲 例2 用计算器求下列各数的立方根：(1) 343； (2) 1.331. 解：(1) 依次按键： 显示：7 所以=7 SHIFT 3 4 3 = (2) 依次按键： 显示：1.1 所以=1.1 SHIFT () . 1 3 3 1 = 例3 用计算器求的近似值（结果精确到0. 001）. 解：依次按键： 显示结果：1.259 921 050. 所以1.260. 2 = SHIFT 实际上，许多有理数的立方根都是无理数，如,，…都是无理数，但可以用有理数来近似地表示它们. 议一议 下列等式是否成立？与同学交流你的看法. (1); (2). 解：（1）成立. 当a<0时，，此时，即 ; 当a=0时， . （2）成立. 当a>0时，，此时 ，即 ; 当a= 0时，. 当a<0时，，此时，即 ; 当a>0时,，此时，即; 综上所述， . 综上所述， . 分类讨论是数学中一种重要的解题思想. 实际上，许多有理数的立方根都是无理数， 但我们可以用有理数来近似地表示它们. 开不尽方的立方根也是无理数！ 例题精讲 例3 用计算器求的近似值（结果精确到0. 001）. 实际上，许多有理数的立方根都是无理数，如,，…都是无理数，但可以用有理数来近似地表示它们. 解：依次按键： 显示结果：1.259 921 050. 所以1.260. SHIFT 2 = 新知探究 议一议：下列等式是否成立？与同学交流你的看法. (1); (2)； (3). 解： (1)若x3=a,则x=,所以 (2)a的立方为a3,则a3的立方根是a,即. (3)若b3=a,则b=. 若(b)3=a,则b=, b=， 所以. 一个数 a 先开立方，然后再立方，结果等于a，即. 一个数 a 先立方，然后再求立方根，结果等于a，即. 先填一填，再思考你能得出什么结论？ (1) = _____. (2) = _____. -0.2 -0.2 结论 (1)求一个负数的立方根，可以先求出这个负数绝对值的立方根，然后再取它的相反数. (2)负号可以从“根号内”直接移到“根号外”. 课堂小结 立方根的定义：如果一个数b，使得b3=a，那么b叫作a的一个立方根. 立方根的性质： (1)正数的立方根是正数； (2)负数的立方根是负数； (3)0的立方根是0； (4) ；(5) . 开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方. 立方根 概念 表示 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根(也叫作三次方根) a 的立方根表示为 ，读作“三次根号 a” 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0 求法 开立方：求一个数 a 的立方根运算叫作开立方. 公式： ， 性质 利用计算器求一个数的立方根或它的近似值 巩固作业 1.达标作业：P37 练习T1、2、3 2.提升作业：P37-38 学而时习之 3.拓展作业：P38 温故而知新 $