精品解析：上海徐汇区2025学年初一（五四制）数学第二学期期末考试试题卷

徐汇区2025学年初一年级第二学期 期末考试 数学试卷 （满分：100分 时间：80分钟）2026.6 一、单项选择题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 已知，下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，垂足为，则点到直线的距离是指（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 6. 以下命题中假命题的个数是（ ） ①对顶角相等； ②一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行； ④周长相等的两个等边三角形全等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共14小题，每小题3分，共42分． 7. “x的2倍与3的差不大于6”，用不等式表示是____________． 8. 已知：，则a______b．（填“>”或“<”或“=”） 9. 已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为12，则△DEF的周长为______ 10. 等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为_____． 11. 如图，△ABC≌△EFC．若 AC=2，BC=1，则线段 BE 的长为_____． 12. 如图，四边形中，，则____________. 13. 如图，则的值为__________． 14. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 15. 如图，已知，如果要用“”证明，则应添加的条件是___________． 16. 如图，在和中，，，当添加条件___________时，就可以得到． 17. 在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为________． 18. 如图所示，，，，，，则________． 19. 如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°． 20. 如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动_____________秒时，与点为顶点的三角形全等． 三、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 22. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2． 求证：BC=DE． 23. 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC的延长线上，且AD＝BE，联结DC、AE． （1）试说明△BCD≌△ACE的理由； （2）如果BE＝2AB，求∠BAE的度数． 24. 综合实践： 背景：上海市徐汇中学依托科创办学优势，开设模拟飞行、水下机器人两大科创拓展课．下学期计划采购飞行模拟器配件、水下机器人零件套装两类耗材，供两个拓展课社团实操使用． 素材1： 采购总预算不超过340元；采购约定：飞行模拟器配件数量是水下机器人零件套装数量的3倍，水下机器人零件套装至少采购9套． 素材2： 单价信息：买2件飞行模拟器配件+1套水下机器人零件共12元； 买3件飞行模拟器配件+2套水下机器人零件共19元． 素材3： 供货商两种优惠方案（采购仅能选择其中一种），设采购水下机器人零件套装 套． 方案1：所有耗材原价统一8折； 方案2：原价总金额元按原价结算，超过300元的部分打5折． 问题： （1）求单件飞行模拟器配件、单套水下机器人零件套装的单价； （2）若只选用一种优惠方案采购，分别求所有符合条件的两种耗材采购数量（即求出 的所有可能取值） 25. 在本学期的数学探究学习中，同学们发现在利用全等三角形解决问题时存在有一些条件缺失（隐蔽）的问题，这时我们就要寻找题目中的等量条件，适当添加辅助线构造全等三角形来解决问题．如：“中点”、“角平分线”、相等的边或角等都可以成为我们构造全等三角形的条件． 【阅读理解】 （1）如图1，在中，为边上的中线，试探究、、的数量关系．小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，则得到，他所用到的判定定理是_______（用字母表示），从而得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形的三边关系，即可得_______．（填“>”、“<”或“=”） 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，点E在上，平分，平分． 求证：． 【应用提升】 （3）如图3，四边形中，，，，．若面积为，求的面积． 四．附加题： 26. 如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇区2025学年初一年级第二学期 期末考试 数学试卷 （满分：100分 时间：80分钟）2026.6 一、单项选择题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 已知，下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质判断各选项的正误即可得到答案． 【详解】解：对选项A：给不等式两边同乘，不等号方向需改变，可得， ∴A错误； 对选项B：给不等式两边同乘，不等号方向不变，可得， ∴B正确； 对选项C：给不等式两边同时加，不等号方向不变，可得， ∴C正确； 对选项D：给不等式两边同时减，不等号方向不变，可得， ∴D正确． 2. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可. 【详解】A、∵AB//CD， ∴∠1+∠2=180°．故本选项不符合题意； B、如图，∵AB//CD， ∴∠1=∠3． ∵∠2=∠3， ∴∠1=∠2．故本选项正确． C、∵AB//CD， ∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项不符合题意； D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边是解题的关键． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意 D、，能够组成三角形，符合题意； 故选：D． 4. 将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为，正确计算出的度数． 根据直角三角板，，，再根据角的和差关系可得的度数，再利用三角形内角和为计算出的度数． 【详解】解：根据直角三角板，，， ， ， ， 故选：D． 5. 如图，，，垂足为，则点到直线的距离是指（ ） A. 线段的长度 B. 线段的长度 C. 线段的长度 D. 线段的长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解∶于D， 点B到直线的距离是指线段的长度， 故选∶D． 6. 以下命题中假命题的个数是（ ） ①对顶角相等； ②一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行； ④周长相等的两个等边三角形全等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】依次对命题进行分析即可． 【详解】解：①对顶角相等；则此命题为真命题； ②－个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补；则此命题为假命题； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行；则此命题为真命题； ④周长相等的两个等边三角形的边长相等，根据SSS可以判定两个三角形全等；则周长相等的两个等边三角形全等，所以此命题为真命题． 所以假命题为②这1个． 故选：A． 【点睛】本题考查真假命题．涉及对顶角的性质、平行线的判定和性质以及全等三角形的判定． 二、填空题：本题共14小题，每小题3分，共42分． 7. “x的2倍与3的差不大于6”，用不等式表示是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列不等式，正确的翻译句子，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，可列不等式：； 故答案为：． 8. 已知：，则a______b．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质对已知不等式化简，即可得到与的大小关系． 【详解】解：对原不等式变形， 不等式两边同时减，根据不等式的基本性质1，不等号方向不变，得， 不等式两边同时乘以，根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，得． 9. 已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长为12，则△DEF的周长为______ 【答案】12 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】∵△ABC≌△DEF，∴△ABC与△DEF的周长相等． ∵△ABC的周长为12，∴△DEF的周长为12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，记住全等三角形的周长相等是解决问题的关键． 10. 等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 因为已知等腰三角形的两边长，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：若等腰三角形的两边长分别为 3 和6，分两种情况： 当 3 为底时，其它两边都为6，而、6、6可以构成三角形，周长为； 当 3 为腰时，其它两边为 3 和，所以不能构成三角形，故舍去， 所以等腰三角形的两边长分别为 3 和6，其周长为 15． 故答案为：15． 11. 如图，△ABC≌△EFC．若 AC=2，BC=1，则线段 BE 的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】∵△ABC≌△EFC，∴EC=AC=2，∴BE=EC+CB=2+1=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12. 如图，四边形中，，则____________. 【答案】70° 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补计算即可. 【详解】∵AD//BC， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠A=110°， ∴180°-110°＝70°， 故答案为70°. 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 13. 如图，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解答即可 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得 14. 如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 15. 如图，已知，如果要用“”证明，则应添加的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由图形可知为公共边，则可再加一组边相等可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴可补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在和中，，，当添加条件___________时，就可以得到． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由利用等式的性质可得，再添加可利用判定． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，根据条件灵活选择是解题的关键． 17. 在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明，，可得. 【详解】解：由作法得平分，平分， ∴，． ∵ ∵， ∴． 故答案为： 18. 如图所示，，，，，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 19. 如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°． 【答案】20 【解析】 【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可． 【详解】解：，将沿着翻折得到， ，， ， 故答案为20 【点睛】此题考查翻折的性质，关键是根据三角形内角和和翻折的性质解答． 20. 如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动_____________秒时，与点为顶点的三角形全等． 【答案】0或4或8或 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 首先要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，与全等， 这时，因此时间为0秒； ③当P在上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在BQ上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）， 故答案为：0或4或8或． 三、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 【答案】，； 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 22. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2． 求证：BC=DE． 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC ∴∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ADE≌△ABC（ASA） ∴BC=DE， 【解析】 【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC即可得到答案； 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等． 23. 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC的延长线上，且AD＝BE，联结DC、AE． （1）试说明△BCD≌△ACE的理由； （2）如果BE＝2AB，求∠BAE的度数． 【答案】（1） ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°． ∴∠DBC＝∠ECA=120°． ∵AD＝BE， ∴AD﹣AB＝BE﹣BC， 即BD＝CE． 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）； （2）90° 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．可证明△BCD≌△ACE； （2）证得AC＝CE，得出∠CAE＝∠E，可求出∠E＝30°，由三角形的内角和定理可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶∵BE＝2BC， ∴BC＝CE， ∵AC＝BC， ∴AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝60°， ∴∠E＝30°， ∵∠ABE+∠E+∠BAE＝180°，∠ABE=60°， ∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠E＝90°． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 24. 综合实践： 背景：上海市徐汇中学依托科创办学优势，开设模拟飞行、水下机器人两大科创拓展课．下学期计划采购飞行模拟器配件、水下机器人零件套装两类耗材，供两个拓展课社团实操使用． 素材1： 采购总预算不超过340元；采购约定：飞行模拟器配件数量是水下机器人零件套装数量的3倍，水下机器人零件套装至少采购9套． 素材2： 单价信息：买2件飞行模拟器配件+1套水下机器人零件共12元； 买3件飞行模拟器配件+2套水下机器人零件共19元． 素材3： 供货商两种优惠方案（采购仅能选择其中一种），设采购水下机器人零件套装 套． 方案1：所有耗材原价统一8折； 方案2：原价总金额元按原价结算，超过300元的部分打5折． 问题： （1）求单件飞行模拟器配件、单套水下机器人零件套装的单价； （2）若只选用一种优惠方案采购，分别求所有符合条件的两种耗材采购数量（即求出 的所有可能取值） 【答案】（1）飞行配件5元/件，机器人套装2元/套 （2）方案一：；方案二： 【解析】 【分析】（1）设飞行配件元/件，机器人套装元/套，根据买2件飞行模拟器配件+1套水下机器人零件共12元；买3件飞行模拟器配件+2套水下机器人零件共19元，再建立方程组解题即可； （2）设采购水下机器人零件套装套，根据分段收费的方式列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设飞行配件元/件，机器人套装元/套， 则 ， 解得：， 答：飞行配件5元/件，机器人套装2元/套． 【小问2详解】 解：由题意，原价总费用为： （为整数）， 方案（1）（全场8折）， 实际付款：， ， ， ∴取， 方案（2）（分段优惠） 当， ， ∴， ， 当，则， 又因为实际花费， ， ， ∴取， 综上，方案（2）中为． 25. 在本学期的数学探究学习中，同学们发现在利用全等三角形解决问题时存在有一些条件缺失（隐蔽）的问题，这时我们就要寻找题目中的等量条件，适当添加辅助线构造全等三角形来解决问题．如：“中点”、“角平分线”、相等的边或角等都可以成为我们构造全等三角形的条件． 【阅读理解】 （1）如图1，在中，为边上的中线，试探究、、的数量关系．小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接，则得到，他所用到的判定定理是_______（用字母表示），从而得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形的三边关系，即可得_______．（填“>”、“<”或“=”） 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，点E在上，平分，平分． 求证：． 【应用提升】 （3）如图3，四边形中，，，，．若面积为，求的面积． 【答案】（1），； （2）证明：如图2，延长交延长线于， ， ， 平分， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，三角形面积，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明，得出，由三角形三边关系可得出结论； （2）延长交延长线于，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论； （3）过点作交的延长线于点，则，证明，得出，，求出可得出答案． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2） 略 （3）解：过点作交的延长线于点， ， ， ∵， ， ，， ， ，， 面积 ， ， ， ， 的面积； 四．附加题： 26. 如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $