精品解析：江西省金溪县第二中学2025-2026学年下学期八年级期末模拟试题数学试卷

金溪二中2025-2026年（下）八年级期末模拟试题 数学试卷 本试卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：  数轴上表示解集的起点在   处，且为空心圆圈，  不包含  ，即不带等号 ，  折线方向向右，  表示大于     该不等式的解集是 ． 2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形是指沿一条直线对折，直线两侧的部分能完全重合的图形；中心对称图形是指图形绕某一个点旋转后能与原图形完全重合． 【详解】解：选项A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意， 选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意， 选项C是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意， 选项D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意． 3. 下列等式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，且变形后等式左右相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 因式分解要求左边是多项式，右边是几个整式的积，且等式左右相等， A选项：，右边是多项式的和，不是整式的积，属于整式乘法，不属于因式分解； B选项：对左边变形得 ，左边是多项式，右边是整式的积，等式成立，属于因式分解； C选项：展开右边得 ，和左边 不相等，等式不成立，不属于因式分解； D选项：展开右边得 ，和左边 不相等，等式不成立，不属于因式分解； 故选：B． 4. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误； B、若，不等式两边同时加 ，不等号方向不变，可得，原变形正确； C、若 ，当 时，不等式两边同除以 ，不等号方向改变，可得，原变形错误； D、若，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，原变形错误． 5. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用 秒通过路段，其中通过 路段的速度是通过路段速度的 倍，则小敏通过 路段时的速度是（ ） A. 米／秒 B. 米／秒 C. 米／秒 D. 米／秒 【答案】C 【解析】 【分析】设通过 的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过 路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过 路段时的速度． 【详解】解：设通过 的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得 ， 经检验： 是原方程的解且符合题意． ∴通过 时的速度是1米/秒 ∴路段的速度是 米/秒． 6. 如图，的对角线、 相交于点， 平分，分别交、 于点，连接 ，， ， ，则下列结论：；；；，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据角平分线和平行线的性质证明 是等边三角形，得出 为中点，进而求出 和的度数判断；利用勾股定理求出的长，再在中求出的长，从而得到 的长判断；根据，再通过面积公式即可判断；根据三角形中位线定理判断． 【详解】解： 四边形是平行四边形，  ，，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  是等边三角形，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，故正确； ，，  ， 在中，，  四边形是平行四边形，  ，，  ，  在中，，  ，故正确； 由知，即，  ，故正确； ，，  是 的中位线，  ，  ，  ，故正确； 综上所述，正确的结论是． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 7. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 8. 当 时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式无意义的条件求出 的值，再根据分式值为 的条件求出 的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 当 时，分式无意义 ， 使得分母等于0，即 ， 解得 ， 当时，分式的值为 ，  ， 将 代入得，满足条件， 解得， ． 9. 若关于x的方程无解，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解可知方程存在增根，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：将原方程变形，得， 去分母，得， 整理得， 原分式方程无解， 原方程的增根为， 把代入，得，解得 ． 10. 如图，直线 与直线相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据两直线交点作答即可． 【详解】解：将点代入得，， 解得：， 直线 与直线相交于点， 不等式的解集为． 11. 如图，等腰 中底边，D是腰 上一点，且， ，则 的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理求出 ，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可． 【详解】解：设， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在中，，将 绕点逆时针旋转角得到 ，连接．当 为等腰三角形时，的值为___________． 【答案】1或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①点 在上，则是等边三角形，可证明，则 是等腰三角形，根据勾股定理即可得到结论，②点 在 上，可证明，则 是等腰三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；③ 是等腰三角形，且，作于点 ，交 于点，则 ，可证明，再推导出，则，所以，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：①如图 1，当点 在上时， 由旋转得， ， ∴是等边三角形， ，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴ 是等腰三角形， ， ， ∵， ， ； ②如图 2，当点 在 上时， ， ， ， ∴ 是等腰三角形， 即当 是等腰三角形，时，； ③如图3， 是等腰三角形，且，作于点 ，交 于点， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转得， ， ， 过点A作， 则，， ， ， ； 综上所述，或或， 故答案为：1或或． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共30分） 13. 解不等式组与方程组 （1）解不等式组． （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 14. 如图，在 和中，于于与 相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由“”可证； 【详解】证明：∵， ∴， 在 和 中， ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先把除法变成乘法后约分化简，再计算同分母分式加法，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当 时，原式． 16. 如图，在四边形中， ，，，点E、F分别是 、 的中点，连接， ，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，过E点画于H点； （2）在图2中，以 、为邻边画出． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）如图，四边形即为所求： 【解析】 【分析】(1) 利用全等三角形证明点在 垂直平分线上，进而证明直线为 垂直平分线，由 则垂直可证． (2) 利用对称性确定 的中点 ，由对称性推出，再过点 作平行线构造平行四边形证明 为的中点，最后利用全等三角形证明对角线互相平分，从而确定平行四边形． 【小问1详解】 解：连接 、交于点，连接并延长交于点 ， 点 即为所求． 证明： 四边形中， ，， 四边形是等腰梯形， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴点L在 垂直平分线上， 是 的中点， 点 也在对称轴上， 直线为 垂直平分线， ， ． 【小问2详解】 解：连接 交于点 ，连接并延长交 于点 ，连接 交于点 ，连接 并延长交的延长线于点 ，四边形即为所求． 证明： 四边形是等腰梯形，是对称轴， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∵F为 中点，即， ∴， ∴ 是 的中点， 是 的中点， ∴ ，F关于对称， ， ， ， ， ． 过点 作交 于点 ，连 ， ， 在 上， ， ， 在 上， ， 四边形是平行四边形， ， 是 的中点， ， ， ， 在 上， ， 四边形是平行四边形， 对角线与互相平分， 是与 的交点， 在 上， 是对角线与的交点， 是的中点． ，点 在的延长线上， ， ， 是的中点， ， ， （ ）， ， 对角线与互相平分于点 ， 四边形是平行四边形． 17. 父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 【答案】40岁，14岁 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意得到，将变形为，整体代入求出，即可求出，问题得解． 【详解】解：由题意，得， ∵， ∴， 解得， ∴． 答：父亲今年40岁，儿子今年14岁． 四、（本大题共3小题，共24分） 18. 为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且用300元购进A种花木的数量是用250元购进B种花木数量的2倍． （1）求A、B两种花木的单价各是多少元? （2）如果购进的这批花木共600棵，A种花木至多购进400棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵?并求出最低费用． 【答案】（1）A种花木单价为30元，B种花木单价为50元 （2）应购进A种花木400棵，B种花木200棵，最低费用为22000元 【解析】 【分析】（1）列分式方程求解； （2）利用一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设A种花木的单价是 元，则B种花木的单价是元，根据题意得， ， 解得， 经检验，当时，是分式方程的解，并符合题意， 此时，， 答：A种花木的单价是元，则B种花木的单价是元； 【小问2详解】 解：设应购进A种花木 棵，则购进B种花木棵，设费用为 ，根据题意得， ， ∵， ∴ 随着 的增大而减小， ∴当 的值越大时，费用越低， 当时，费用最低，为， 此时，， 答：应购进A种花木400棵，B种花木200棵，最低费用为22000元． 19. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解为，因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 【答案】（1）①② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当 时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【小问1详解】 解不等式组，得， 解方程得： ； 解方程得：； 解方程得： ， ∵，，， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； 【小问2详解】 解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； 【小问3详解】 解方程得， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当 时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 五、（本大题共2小题，共18分） 20. 【提炼题型】 我们定义：如果两个实数使得关于 的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于 的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 （1）判断下列数对是否为关于 的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ____________ 【应用模型】 （2）若数对是关于 的分式方程的“关联数对”，求 的值． 【答案】（1）否，是； （2）． 【解析】 【分析】根据“关联数对”定义分别判断即可； 根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； 【小问1详解】 解：当，时，分式方程无解，不符合“关联数对”的定义， ∴数对不是关于 的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程， ，解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴分式方程的解为， ∵， ∴数对是关于 的分式方程的“关联数对”； 故答案为：否，是； 【小问2详解】 解：∵数对是关于 的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴，解得． 21. 课本再现： 已知 为等边三角形，其边长为4，点P是 边上一动点，连接 ． （1）如图1，点E在边上且 ，连接交 于点F． ①求证： ； ② 的度数为______． 变式提升： （2）如图2，将线段 绕点C顺时针旋转得线段，连接交于点D．设 ，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）①证明： 是等边三角形， ， ， ， ， ； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据证明 即可； ②利用全等三角形的性质结合三角形的外角性质求解即可； （2）如图2，在上截取 ，连接 ， ，证明四边形 是平行四边形，推出 ，可得结论． 【小问1详解】 ①略 ②解：由①知， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，在上截取 ，连接 ， ， 交 于点， 同（1）①的方法知，， ∴ ， 由旋转知， ，， ， 由（1）②知，， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 等边 的边长为4， ， ， ，即． 六、（本大题共1小题，共12分） 22. 如图1， 是 的中线， 于点E， 于点F． 【初识模型】 （1）①请判断线段 ， 的数量关系，并说明你的理由； ②若，，，则______； 【特例感知】 （2）如图2，若，，试探究是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由； 【综合应用】 （3）如图3，四边形是平行四边形，面积为20，在的对角线的垂直平分线上有一点G， ，，求的值． 小颖是这样分析的：在图3或备用图中，通过作辅助线构造图1中的模型，再根据（2）中的结论和题设中的面积就能求出的长．请你顺着小颖的思路完成解答． 【答案】（1）①线段的数量关系为： ， 证明：∵ 是 的中线， ∴， ∵ ， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ； ② （2）是定值，为 （3）或 【解析】 【分析】（1）①证明即可；②分别对运用勾股定理求出，再由线段和差计算求解； （2）由（1）中全等得到，设，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，那么得到，在整理化简即可求解； （3）当点 在 上方时，连接，过点 作，，垂足为 ，过 作于点 ，连接，可得，同上可证明：，同（2）由勾股定理可得，易证四边形为矩形，则，故，而，则，即可求解；当点 在 下方时，构造上述同样辅助线，同理可求解． 【小问1详解】 解：②∵， ∴ ， ∴， 由①知：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是定值，且为， 由（1）知，， ∴， 设， ∴在中，由勾股定理得， 在中，与勾股定理得， ∴， 整理得， ∴ ∴是定值； 【小问3详解】 解：当点 在 上方时，连接，过点 作，，垂足为 ，过 作于点 ，连接， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形为平行四边形，为对角线， ∴点在上， ∵，， ∴， 同上可证明：， ∴，， 在中，， 在中，， ∴ 化简得：， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍负）； 当点 在 下方时，构造上述同样辅助线，如图： 同理可得：， ∴， 解得：（舍负） 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金溪二中2025-2026年（下）八年级期末模拟试题 数学试卷 本试卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用 秒通过路段，其中通过 路段的速度是通过路段速度的 倍，则小敏通过 路段时的速度是（ ） A. 米／秒 B. 米／秒 C. 米／秒 D. 米／秒 6. 如图，的对角线、 相交于点， 平分，分别交、 于点，连接 ，， ， ，则下列结论：；；；，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 7. 分解因式：_____． 8. 当 时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值为______． 9. 若关于x的方程无解，则m的值为______． 10. 如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集为______． 11. 如图，等腰 中底边，D是腰 上一点，且， ，则 的长为_______． 12. 如图，在中，，将 绕点 逆时针旋转角得到 ，连接．当 为等腰三角形时，的值为___________． 三、解答题（本大题共6小题，共30分） 13. 解不等式组与方程组 （1）解不等式组． （2）解方程： 14. 如图，在 和中，于于与 相交于点O．求证：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在四边形 中， ，，，点E、F分别是 、 的中点，连接， ，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，过E点画于H点； （2）在图2中，以 、为邻边画出． 17. 父亲今年x岁，儿子今年y岁，父亲比儿子大26岁，并且，请你求出父亲和儿子今年各多少岁？ 四、（本大题共3小题，共24分） 18. 为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且用300元购进A种花木的数量是用250元购进B种花木数量的2倍． （1）求A、B两种花木的单价各是多少元? （2）如果购进的这批花木共600棵，A种花木至多购进400棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵?并求出最低费用． 19. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解为，因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”． （1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； （3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 五、（本大题共2小题，共18分） 20. 【提炼题型】 我们定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 【识别模型】 （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ____________ 【应用模型】 （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求 的值． 21. 课本再现： 已知 为等边三角形，其边长为4，点P是 边上一动点，连接 ． （1）如图1，点E在边上且 ，连接交 于点F． ①求证： ； ② 的度数为______． 变式提升： （2）如图2，将线段 绕点C顺时针旋转得线段，连接交于点D．设 ，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 六、（本大题共1小题，共12分） 22. 如图1， 是 的中线， 于点E， 于点F． 【初识模型】 （1）①请判断线段 ， 的数量关系，并说明你的理由； ②若，，，则______； 【特例感知】 （2）如图2，若，，试探究是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由； 【综合应用】 （3）如图3，四边形是平行四边形，面积为20，在的对角线的垂直平分线上有一点G， ，，求的值． 小颖是这样分析的：在图3或备用图中，通过作辅助线构造图1中的模型，再根据（2）中的结论和题设中的面积就能求出的长．请你顺着小颖的思路完成解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $