精品解析：上海市徐汇区2025-2026学年第二学期期末参考样卷高二数学

2025学年第二学期期末参考样卷高二数学 2026.6 考生注意： 1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分120分． 2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息． 3．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1. “直线在平面上”用集合语言描述为____________． 【答案】 【解析】 【分析】明确直线和平面均为点集，结合“直线在平面上”的定义，用集合包含关系表述即可. 【详解】在立体几何的集合表示规则中，直线、平面都可看作由点构成的集合；“直线在平面上”的含义是直线上的所有点都在平面内，即集合是集合的子集，因此对应的集合语言为. 【点睛】 2. 直线的倾斜角的大小为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与倾斜角的关系可求解. 【详解】将直线方程整理得，可知该直线为垂直于轴的直线， 因此该直线的倾斜角大小为. 3. 已知 为正整数且 ，则满足方程的解____________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用组合数的展开公式列方程求满足条件的正整数即可 【详解】 时方程不成立， 时方程等价于， 化简得，解得或， 因为为正整数且，所以舍去，故 4. 已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 【答案】 ## 【解析】 【详解】由题意知，事件与事件互斥，且，， 可得，所以. 5. 若一个圆柱的侧面积是，高为1，则这个圆柱的体积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求出底面圆的半径，进而可求解. 【详解】圆柱的侧面积是， 所以体积． 故答案为: . 6. 在的二项展开式中，含项的系数为__________（结果用数值表示）. 【答案】105 【解析】 【分析】通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用的指数为2，求出展开式中的系数． 【详解】展开式的通项为．令得到展开式中的系数是． 7. 已知，则函数在处的瞬时变化率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数在某点的瞬时变化率等于该点的导数值，即可求解. 【详解】由，可得： ，， 将代入导函数得：， 即在处的瞬时变化率为. 8. 已知表示圆，则实数a的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程和一般方程计算即可求解. 【详解】由圆的方程，知， 解得 或， 当 时，变为， 此时不表示圆； 当 时，变为， 此时表示圆， 故 . 故答案为：-1 9. 已知点在直线上，是数列{an}的前n项和，则使成立的最小正整数n=_________. 【答案】5 【解析】 【分析】先由题意求得，由求得的取值范围，从而求得正确答案 【详解】∵点在直线上， ∴，即 由得，即 解得 使成立的最小正整数为 10. 已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得 ，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为点 ， 可得 ，则 ， 所以在方向上的投影向量的坐标为 . 11. 平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】因为曲线过原点，且已知的坐标，所以先利用卡西尼卵形线的定义，代入原点坐标求出距离之积的常数 ，得到. 已知与的乘积为定值，所以利用基本不等式求该函数的最小值，验证等号成立的条件是否满足曲线的约束。 【详解】由题意，曲线过原点，，，则 ，， 根据定义，对曲线上任意点，有 ， 由基本不等式得：， 等号成立当且仅当，结合，得，，满足三角不等式，存在这样的点，等号可取。 12. 已知函数的定义域为，且的导函数是上的严格减函数．若曲线在点（为常数）处的切线方程为，记集合，则集合 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义得到切线方程为，将不等式转化为，构造函数，利用导数求出的单调性即可求解. 【详解】已知曲线在点（为常数）处的切线方程为，根据导数的几何意义，有， 由于点在切线上，所以，解得，则切线方程为， 则不等式可化为，即， 令，因此集合表示满足的的集合， 对求导，得，由于函数是上的严格减函数， 所以当时，，即，所以在区间单调递增； 当时，，即，所以在区间单调递减； 因此在处取到最大值，最大值为，即对任意，都有， 因此集合要满足，只有在时符合，即集合. 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 13. 下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（ ） A. 某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B. 某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C. 一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D. 销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 【答案】D 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的特点逐项判断即可． 【详解】对于A项，人数较多，且图书馆的学生不能代表本校全体学生，故A项错误； 对于B项，按照相同间隔抽取的方法，是系统抽样，不是简单抽样，故B项错误； 对于C项，抽取的产品不具有代表性，故C项错误； 对于D项，符合简单随机抽样的定义，故D项正确． 14. 过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】B 【解析】 【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，写出直线的方程，将该直线方程与抛物线方程联立，根据直线与抛物线有且只有一个公共点求出参数的值，即可得出结论. 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为 ，联立，解得， 此时直线 与抛物线有两个公共点，不符合题意； 若直线的斜率为，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为， 联立可得， 由，整理可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，满足条件的直线共条. 15. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比 ．若与项数均为，且满足，，现有下述两个结论： ①为奇数时，数据，，，…，的中位数一定不大于数据，，，…，的中位数； ②对任意的正整数，数据，，，…，的方差一定不大于数据，，，…，的方差． 则说法正确的选项是（ ） A. ①②都错误 B. ①②都正确 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，根据等差数列与等比数列的中项性质，结合基本不等式即可证明； 对于②，通过举出对应特值，即可求解. 【详解】对于①，当为奇数时，设 ， ，递增等差数列的中位数为中间项，由等差中项的性质有， 递增等比数列 的中位数为中间项，由等比中项性质，， 而因为，，且数列各项均为正数，并且严格递增，所以， 因此由基本不等式得，，即， 数据，，，…，的中位数一定大于数据，，，…，的中位数，故①错误. 对于②，设等差数列的均值为，则，其中为等差数列公差， 则，因此, 故 设等比数列的公比为，均值为， 因此，所以， 等差数列，，，因此， 等比数列，，，， 所以，故②错误. 16. 已知三棱柱，平面，P是内一点，点E，F在直线 上运动，若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点P的轨迹是（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知到的距离等于到 的距离，故而到的距离等于到的距离，得出结论. 【详解】设三棱柱的高为在平面上的射影为， 则当共线时，直线和所成角取得最小值， 不妨设最小值为，则， 当 时，直线和平面所成角取得最大值， 不妨设最大值为，则， ∴当直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等时， ，即到的距离等于到直线 的距离， 设到的距离为，则， ∴到的距离等于到的距离， ∴的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线的一部分， 故选：C. 【点睛】本题考查了圆锥曲线的定义，轨迹方程的求解，考查了空间想象与推理能力，属于中档题. 三、解答题（本大题共有5题，满分56分）解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 某场校内篮球比赛中，甲、乙两队各名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如下，其中 ， ， ，且十位数作为“茎”、个位数作为“叶”． （1）若甲队队员得分的极差为 ，乙队队员得分的平均值为，求和的值； （2）分别求甲队队员得分的第百分位数和乙队队员得分的第百分位数． 【答案】（1） （2）甲队队员得分的第百分位数为 ，乙队队员得分的第百分位数为 【解析】 【小问1详解】 甲队队员得分的极差为 ， ，则， 又乙队队员得分的平均值为，又 ，所以 . 【小问2详解】 由茎叶图知，甲队队员得分为 ，又 ， 所以甲队队员得分的第百分位数 ， 乙队队员得分为 ，又 ， 所以乙队队员得分的第百分位数为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 由底面为正方形，得，又平面， 于是平面，而平面，则，同理， 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理， 在中，，因此， 在直角中，， 由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为 设点到平面的距离为，由，得，解得， 所以点到平面的距离为. 19. A，B两人下棋，每局均无和棋且每局A获胜的概率为，每局比赛相互独立．某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金． （1）求A以 获胜的概率； （2）若第一局比赛A已获胜，后两人因为其他要事而终止比赛，他们都认为依据（在现有的状态下）两人最终胜的可能性大小按比例分配奖金最公平，问两人应如何分配奖金？ 【答案】（1） （2）A获得2400元，B获得300元 【解析】 【分析】（1）根据独立重复事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立重复事件概率公式，结合概率加法的运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 A以 获胜的概率为； 【小问2详解】 第一局比赛A已获胜，五局三胜制下获胜需要累计获得3局胜利，即在剩余最多4局中至少赢得2局即可获胜，分三类情况计算获胜的概率： 当接下来2局比赛后甲连胜，直接结束比赛：此时甲赢得比赛的概率为； 当接下来3局比赛后甲获胜（前2局甲1胜1负，第3局甲胜）：此时甲赢得比赛的概率为 ； 当接下来4局比赛后甲获胜（前3局甲1胜2负，第4局甲胜）： 此时甲赢得比赛的概率为， 所以A获胜的概率为， 所以A获得元，B获得元. 20. 已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于 两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求 面积的最大值（为坐标原点） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件建立方程， ，求出，即可求解； （2）根据条件设直线的方程为，联立椭圆方程，利用弦长公式求出，求出到直线的距离，进而可得，再求出其最大值，即可求解. 【小问1详解】 由题知，整理得到①， 又点在椭圆上，则 ②，由①②解得 ， 所以椭圆的标准方程为 . 【小问2详解】 易知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，， 由，消得到 ， 则 ，得到， 所以， 又到直线的距离为， 所以， 令，则， 令，令，则， 又 ，当且仅当 ，即时取等号， 所以，则， 所以 面积的最大值为. 21. 已知定义域为的函数，其导函数为．设，若对任意的 ，都有成立，则称函数具有“性质” （1）已知，．若函数具有“性质”，求实数 的取值范围； （2）若的函数具有“性质”，求证：对任意两个不相等的实数、，都有成立． 【答案】（1） （2）已知函数的定义域为，且在 上具有“性质”， 所以对任意的，都有成立， 要证明对任意两个不相等的实数、，都有成立， 不妨设（若，同理可证），则需要证明的不等式等价于， 即证明且， ①先证明不等式： 构造函数，则， 由于，可知，所以对任意的恒成立， 即在上单调递减， 由于，所以，即，整理可得， 所以不等式成立； ②再证明不等式： 构造函数，则， 由于，可知，所以对任意的恒成立， 即在上单调递增， 由于，所以，即，整理可得， 即，所以不等式成立； 综上所述，对任意两个不相等的实数、，都有成立． 【解析】 【分析】（1）根据题意，将不等式转化为，根据函数的单调性即可求解； （2）根据题意，将不等式分离成且，分别构造函数和即可证明. 【小问1详解】 已知，，则， 根据题意，对任意的，不等式恒成立，即， 化简得，即， 令，，则 要满足， 由于在上单调递增，所以，在上单调递减， 因此，， 所以实数 的取值范围为. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末参考样卷高二数学 2026.6 考生注意： 1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分120分． 2．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等相关信息． 3．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1. “直线在平面上”用集合语言描述为____________． 2. 直线的倾斜角的大小为____________． 3. 已知 为正整数且 ，则满足方程的解____________． 4. 已知事件与事件为互斥事件，且，，则______． 5. 若一个圆柱的侧面积是，高为1，则这个圆柱的体积是_______． 6. 在的二项展开式中，含项的系数为__________（结果用数值表示）. 7. 已知，则函数在处的瞬时变化率为____________． 8. 已知表示圆，则实数a的值为________ 9. 已知点在直线上，是数列{an}的前n项和，则使成立的最小正整数n=_________. 10. 已知点 ，则在方向上的投影向量的坐标为____________． 11. 平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 12. 已知函数的定义域为，且的导函数是上的严格减函数．若曲线在点（为常数）处的切线方程为，记集合，则集合 ____________． 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题卷的相应编号上，将代表正确选项的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 13. 下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是（ ） A. 某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收； B. 某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问； C. 一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查； D. 销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌． 14. 过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 15. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比 ．若与项数均为，且满足，，现有下述两个结论： ①为奇数时，数据，，，…，的中位数一定不大于数据，，，…，的中位数； ②对任意的正整数，数据，，，…，的方差一定不大于数据，，，…，的方差． 则说法正确的选项是（ ） A. ①②都错误 B. ①②都正确 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 16. 已知三棱柱，平面，P是内一点，点E，F在直线上运动，若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点P的轨迹是（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分 三、解答题（本大题共有5题，满分56分）解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 某场校内篮球比赛中，甲、乙两队各名队员进行比赛，他们得分的茎叶图如下，其中 ， ， ，且十位数作为“茎”、个位数作为“叶”． （1）若甲队队员得分的极差为 ，乙队队员得分的平均值为，求和的值； （2）分别求甲队队员得分的第百分位数和乙队队员得分的第百分位数． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 19. A，B两人下棋，每局均无和棋且每局A获胜的概率为，每局比赛相互独立．某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金． （1）求A以 获胜的概率； （2）若第一局比赛A已获胜，后两人因为其他要事而终止比赛，他们都认为依据（在现有的状态下）两人最终胜的可能性大小按比例分配奖金最公平，问两人应如何分配奖金？ 20. 已知椭圆 的离心率为，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于 两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求 面积的最大值（为坐标原点） 21. 已知定义域为的函数，其导函数为．设，若对任意的 ，都有成立，则称函数具有“性质” （1）已知，．若函数具有“性质”，求实数的取值范围； （2）若的函数具有“性质”，求证：对任意两个不相等的实数、，都有成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $