精品解析：山东日照市莒县第三中学2025-2026学年八年级下学期第二次考试数学试题

数学练习2 （分值120分） 第I卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术，民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．“对称美”是河南剪纸作品中重要的主题，下列剪纸作品中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B. 长度相等的弧是等弧 C. 对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D. 三个点确定一个圆 3. 如1图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点P表示筒车的一个盛水桶，如2图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦 长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为 ，则筒车的半径是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在 中， ，分别为 ， 的中点，点是线段上的点，且，若，，则 （ ） A. 1 B. C. D. 4 5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的增长率为 ，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中，，将 绕点B逆时针旋转得到 ，点A，C的对应点分别为D，E，连接 ，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，点 从 的顶点 出发，沿方向匀速运动到点 ，图2是点 运动时，线段的长度随运动时间 变化的关系图象，其中 为曲线部分的最低点．若 ，则 的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 16 8. 若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（ ） A. 或1 B. C. 1 D. 1或4 9. 在同一平面直角坐标系中，函数 与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，等边 如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分.不需要写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 一组数据， ， ，，，， ， ， 的唯一的众数是，则这组数据的第三四分位数是______． 12. 如图，菱形 的对角线交于坐标原点 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标是_____． 13. 等腰三角形的三边分别是a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为________． 14. 在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；② ；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为________．（写出所有正确结论的序号） 15. 如图，在边长为 的正方形 中，点，分别为 ，边上的动点不与端点重合，连接 ，，分别交对角线 于点 ，点，在运动过程中，始终保持 ，连接，下列结论：① ；②的周长为；③；④若过点 作，垂足为，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答时要写出必要的文字说明或演算步骤） 16. 解答下列各题： （1）解方程： . （2）已知平行四边形 的两条对角线的长是关于x的一元二次方程 的两个根，求k的取值范围． 17. 如图所示的 的正方形网格中 的三个顶点都在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： （1）画出 绕原点O顺时针旋转 后的，并写出点坐标． （2）画出 关于原点对称的，并写出点坐标． （3）将 绕某点逆时针旋转 后，得到，顶点A，B，C的对应点分别为，，，请直接写出旋转中心的坐标． 18. 【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． （2）小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 19. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图13所示，已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽 的道路，已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米； （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．在停车位有剩余的情况下，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同？ 20. 如图，在中，于点E，延长 至点F，使，连接， 与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若， ，，求的长． 21. 【阅读材料】 解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以． 所以原方程有四个根：． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【问题】 （1）在解方程时，若设，则原方程可转化为___________ （2）若，则___________ （3）参照上面解题的思想方法解方程：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上，线段 的长分别是且满足，点 是线段 上一点，将沿直线 翻折，点 落在矩形的对角线 上的点处． （1）求 的长； （2）求直线 的解析式； （3）点 在直线上，在 轴上是否存在点 ，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为 的正方形 的对角线相交于点，分别延长 到点， 到点，使 ，再以 为邻边做正方形 ，连接 ； （1）解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______； （2）深入研究：如图 正方形 固定不动，将正方形 绕点顺时针方向旋转 ，判断与的关系，并证明： （3）拓展延伸：如图 ，在正方形 旋转过程中，分别交 于点，连接 ．当 时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习2 （分值120分） 第I卷（选择题30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术，民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．“对称美”是河南剪纸作品中重要的主题，下列剪纸作品中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B. 长度相等的弧是等弧 C. 对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D. 三个点确定一个圆 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的相关性质与菱形的判定定理，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 3. 如1图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点P表示筒车的一个盛水桶，如2图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦 长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为 ，则筒车的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过O点作半径 于E，如图，利用垂径定理得到，设半径为，根据题意得 ，再利用勾股定理列关于的方程，解方程即可． 【详解】解：过O点作半径 于E，如图， ∴， 由题意得，， 设半径为，则 ， 在中，， ∴， 解得：， ∴圆的半径为． 4. 如图，在中， ，分别为 ， 的中点，点 是线段上的点，且，若，，则 （ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别为 ， 的中点，， ∴ ， ∵， ∵D为 的中点，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的增长率为 ，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每月的增长率为 ，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设平均每月的增长率为 ，依题意得： ， 故选：D． 6. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到 ，点A，C的对应点分别为D，E，连接 ，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转可得，，，， ，则是等边三角形，由即可判断B；由求出的度数，即可判断A；然后求解，即可判断C；再由求解的度数即可判断D． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴是等边三角形， ∴ ∴，故B错误； ∵， ∴， ∴，故A错误； ∵ ∴， ∴， ∴，故C正确； 由旋转可得，， ∵ ∴，故D错误． 7. 如图1，点 从的顶点 出发，沿方向匀速运动到点 ，图2是点 运动时，线段的长度 随运动时间 变化的关系图象，其中 为曲线部分的最低点．若 ，则的周长是（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，把图形和图象结合理解得到线段长度是解题的关键．根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出和 的长度，由此得到答案． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为5，即 ， ∴ ， 由于M是曲线部分的最低点， ∴此时最小， 如图，即， ∴由勾股定理可知：， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 8. 若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（ ） A. 或1 B. C. 1 D. 1或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得： ， ∵一元二次方程有两个根， ∴， ∴， ∴ ； 故选C． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数 与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，两者一致即为正确答案，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，正比例函数 的图象经过第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，正比例函数 的图象经过第二、四象限，选项的图象符合要求； 故选：． 10. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，每次变换后线段 的长度变为原来的2倍，方向顺时针旋转，由此可得，且每旋转6次回到初始方向所在的直线上，通过计算 的余数确定点所在的象限及具体位置，最后利用含30度角的直角三角形的性质求出坐标即可.  【详解】解：点 的坐标为 ， ∴ ， ∵每一次将三角形绕着点 顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍， ∴ ，，，…，， ∴， ∵ ， ∴每旋转6次，点 的对应点回到 轴负半轴方向， ∵ ， ∴点的位置与点的方向相同， ∵点 在 轴负半轴，顺时针旋转， ∴点在 轴正半轴，点在第四象限，且与 轴正半轴夹角为， ∴点在第四象限，且 ， 过点作 轴的垂线，垂足为， 在 中， ，， ∴ ， ∴， ， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为 . 第Ⅱ卷（非选择题90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分.不需要写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 一组数据，，，，，， ， ， 的唯一的众数是，则这组数据的第三四分位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由众数的定义，得到，然后根据第三四分位数的定义求解即可． 【详解】解：∵数据，，，，，， ， ， 的唯一的众数是， ∴， ∴数据为，，，，，，， ， ，共个数， ∴数据为，，，，，，， ， ，中位数是7， ∴数据为，，，，，，， ， ，上半部分数据是，， ， ， ∴这组数据的第三四分位数． 12. 如图，菱形 的对角线交于坐标原点 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质及对角线交于坐标原点 可得点 与点 关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可得出答案． 【详解】解：∵菱形 的对角线交于坐标原点 ， ∴点 与点 关于原点中心对称， ∵点 的坐标为 ， ∴点 的坐标是 ． 13. 等腰三角形的三边分别是a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况解题即可． 【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∵等腰三角形的三边分别是a，b，2， ∴当2为底边长时，则， ∴． ∵4，4，2能围成三角形， ∴； 当2为腰长时，、中有一个为2，根据可得另一个为6， ∵6，2，2不能围成三角形， ∴此种情况不存在． 故答案为：20． 14. 在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；② ；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，随 的增大而减小，故①符合题意； 由图象可知，一次函数 与y轴的交点在 的上方，即 ，故②符合题意； 把 代入， 得， 解得， 故与的交点为， 令，则 解得， 即与 轴的交点为， 由图象可知：当时，则 ， 故③不符合题意； 由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于 ， 的方程组的解为，故④符合题意． 故答案为：①②④ 15. 如图，在边长为的正方形 中，点， 分别为，边上的动点不与端点重合，连接 ，，分别交对角线 于点 ，点， 在运动过程中，始终保持 ，连接，下列结论：① ；②的周长为；③；④若过点 作，垂足为，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】正确．证明，可得结论； 正确．证明可得结论； 错误．可以证明； 利用两点之间线段最短,利用三角形两边之和大于等于第三边证明即可． 【详解】如图， 四边形 是正方形， ，， 在和中， ， ≌， ，故正确， 将延长 到点M，使得， ∵四边形 正方形， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ∴， ∴的周长为：． 故 正确， 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接， ， ， ， ，， ≌， ， ， ，故 错误， 连接，， ，， ， 的最小值为，故④正确， 故答案为：④． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共8小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答时要写出必要的文字说明或演算步骤） 16. 解答下列各题： （1）解方程： . （2）已知平行四边形 的两条对角线的长是关于x的一元二次方程 的两个根，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据平行四边形的性质、一元二次方程的定义和根的判别式、根与系数关系等得到不等式组，解不等式即可． 【小问1详解】 解： ， ∴ 或 ， 解得 ； 【小问2详解】 解：∵平行四边形 的两条对角线的长是关于x的一元二次方程 的两个根， ∴一元二次方程 有两个实数根，且 ， ∴， ， ，四个条件同时成立， 即 解得 ． 17. 如图所示的 的正方形网格中的三个顶点都在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕原点O顺时针旋转 后的，并写出点坐标． （2）画出关于原点对称的，并写出点坐标． （3）将绕某点逆时针旋转 后，得到，顶点A，B，C的对应点分别为，，，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1），点坐标为； （2），点坐标； （3）旋转中心的坐标的坐标为 【解析】 【分析】（1）找到 绕原点O顺时针旋转 后的对应点，顺次连接即可得到，再写出点坐标即可； （2）找到 关于原点对称的对应点，，顺次连接即可得到，再写出点坐标即可； （3）根据旋转作图中对应点连线的垂直平分线必过旋转中心即可得到旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． （2）小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9；B；0.75；B （2）7.5；9；10 （3）选择选手B参加青少年射击比赛，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手 的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数、下四分位数的定义求解，然后比较大小即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【小问1详解】 解：由图可得：， ， ∴选手 的平均成绩更高．； ， ∵， ∴选手 的射击水平发挥更稳定； 【小问2详解】 解：选手 的数据从小到大排列为， 则下四分位数为，即；中位数为，即； 选手 的数据从小到大排列为， 则上四分位数为，即； 可以发现选手 射击成绩的中位数 选手 射击成绩的中位数； 【小问3详解】 解：选择选手B参加青少年射击比赛． 理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但选手B的方差更小，成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 19. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图13所示，已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽 的道路，已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米； （2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．在停车位有剩余的情况下，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同？ 【答案】（1）道路的宽为 米 （2）每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为 米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据月租金 每个车位的月租金 车位数，列出方程并解答即可； 【小问1详解】 解：根据道路的宽为 米， ， 整理得：， 解得：（舍去）， ， 答：道路的宽为 米． 【小问2详解】 解：全部租出时的租金为：（元） 设月租金上涨元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同 20. 如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． （1）求证：四边形为矩形； （2）若， ，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由矩形的性质得 ，，再由勾股定理的逆定理得 为直角三角形， ，然后由面积法求出 的长，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：， ，即 ， 四边形 是平行四边形， ∴， ， ， 又 ， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形为矩形， ，， ，，， ， 为直角三角形， ， ， ，即，解得， ． 21. 【阅读材料】 解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以． 所以原方程有四个根：． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【问题】 （1）在解方程时，若设，则原方程可转化为___________ （2）若，则___________ （3）参照上面解题的思想方法解方程：． 【答案】（1） （2） （3） ， 【解析】 【分析】（1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果； （2）设，则原方程可转化为，x的方程得出，即可求解； （3）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， 设，则原方程可转化为； 【小问2详解】 解：， 设，则原方程可转化为， 即， ∵， ∴， 即； 【小问3详解】 解：， 设，则原方程可转化为， 解得：， 当 时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 综上所述，原方程的解是 ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在 轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上，线段 的长分别是且满足，点 是线段 上一点，将沿直线翻折，点 落在矩形的对角线 上的点处． （1）求 的长； （2）求直线的解析式； （3）点 在直线上，在 轴上是否存在点 ，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ， （2） （3）点N的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得、 的长；由勾股定理求得 ，由翻折的性质可得：，，，在中，由勾股定理可得，解方程求得x的值，即可得， （2）由（1）可得点D的坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式即可； （3）过E作，在中，根据直角三角形面积的两种表示法求得 的长，再利用勾股定理求得 的长，即可求得点E的坐标，利用待定系数法求得的解析式，再根据平行四边形的性质分两种情况求得点N的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵线段 的长分别是且满足， ∴，， ∴ ， ； 设 ， 由翻折的性质可得：，，， 而， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， 【小问2详解】 由（1）点D的坐标为， 设的解析式为：， 把，代入解析式可得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为： ； 【小问3详解】 过E作，在中，， 即， 解得：， 在中， ， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入解析式可得： ， 解得： ， 所以的解析式为： ， 把 代入的解析式 ，可得：， 此时， 即， 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形且 为边时， ∴， ∴，， ∴点N的坐标为或． 如图，当 为平行四边形的对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴； 综上： 的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 23. 问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图，边长为 的正方形 的对角线相交于点，分别延长 到点 ， 到点，使 ，再以 为邻边做正方形 ，连接 ； （1）解决问题：与之间的数量关系是______，位置关系是______； （2）深入研究：如图正方形 固定不动，将正方形 绕点顺时针方向旋转 ，判断与的关系，并证明： （3）拓展延伸：如图，在正方形 旋转过程中，分别交 于点，连接 ．当 时，求的值． 【答案】（1） ， ； （2） ， ． 证明：连接 ，设与相交于点 ， ∵四边形 为正方形， ∴ ， ，， ∴ ， 即 ， ∴， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （3）． 【解析】 【分析】（）延长 交于，根据证 ，得 ， ，推出 ，即可得出 ； （）连接 ，设与相交于点 ，根据证 ，得 ，再根据角的代换得出 即可； （）连接 ，根据证 ，得出，当 时，得出 ，， 的值即可得出面积和； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，延长 交于， ∵四边形 为正方形， ∴， ，， ∴ ， ， 又∵ ∴， ∴ ， ， 即 ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 故答案为： ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴， ，， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴ ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $