云南省昆明市第一中学教育集团2020-2021学年高二下学期升高三诊断性考试（期末）数学（理科）试题（解析版）

2020-2021学年云南省昆明一中教育集团高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1．已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B的真子集个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若，则复数z＝（　　） A．1﹣i B．2﹣i C．3﹣2i D．3﹣i 3．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都做出了相当好的成绩．若将8拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（　　） A． B． C． D． 4．已知sinx﹣cosx＝，则sin2x＝（　　） A． B． C． D． 5．一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高为（　　） A． B． C． D．2 6．已知M为直线y＝x+1上的动点，N为圆x2+y2+2x+4y+4＝0上的动点，则|MN|的最小值是（　　） A． B． C．1 D． 7．函数f（x）＝的大致图象为（　　） A． B． C． D． 8．设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝Sn+1+Sn+2（n∈N*），且a1＝1，a2＝2，则S5＝（　　） A．﹣11 B．﹣9 C．9 D．11 9．已知正四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且，AB＝2，则球O的表面积为（　　） A．3π B．9π C．12π D．16π 10．在空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0），且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l方程为．已知：在空间直角坐标系O﹣xyz中，平面α的方程为x+2y+3z＝0，经过P（0，0，0）的直线l方程为，则直线l与平面α所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|．若直线PF1与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D．3 12．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x）﹣2021为奇函数，且对x∈（﹣∞，+∞），2f（x）＞f'（x）恒成立（f'（x）是函数f（x）的导函数），则不等式的解集为（　　） A．（0，+∞） B．（0，2021） C．（1，2021） D．（﹣2021，2021） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．糖水不等式：成立的实数c是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的c的值可以是 　 　（只需填满足题意的一个值即可）． 14．在△ABC中，C＝90°，||＝5，||＝4，则•＝　 　． 15．已知和，则函数f（x）的图象与g（x）的图象的对称轴之间的最短距离为 　 　． 16．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若∠FBD＝30°，△ABD的面积为，则抛物线C的方程为 　 　． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且3cosB（acosB+bcosA）＝c． （1）求cosB； （2）若AB＝2，sinA＝sinB，求△ABC的面积． 18．某科技公司对其主推产品在过去5个月的月科技投入xi（百万元）和相应的销售额yi（百万元）进行了统计，其中i＝1，2，3，4，5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些统计量如下： ，，，，，，，其中，i＝1，2，3，4，5． （1）根据散点图判断，y＝bx+a与y＝cx2+d哪一个适宜作为月销售额yi关于月科技投入xi的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及题中所给数据，建立y关于x的回归方程，并据此估计月科技投入300万元时的月销售额． 附：对于一组数据（s1，t1），（s2，t2），…，（sn，tn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 19．已知数列{an}各项均为正数，a1＝1，a2＝3，且an+3﹣an+2＝an+1﹣an对任意n∈N*恒成立． （1）若a3＝6，求a5的值； （2）若a3＝5，①证明：数列{an}是等差数列；②在数列{an}中，若a2，am，构成等比数列求符合条件的一组（m，k）的值（满足题意的一组值即可），说明理由．