1.3.1 空间直角坐标系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间直角坐标系，涵盖建系方式、点坐标求法、对称问题及空间向量坐标表示。通过回顾平面直角坐标系引出空间直角坐标系，以探究问题搭建从二维到三维的学习支架，衔接初中与高中知识脉络。 导学案以探究式学习为主，结合正四棱锥、正方体等几何模型设计典例与练习，解题感悟总结方法，判断正误强化概念。培养学生空间观念（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）及用坐标表达空间关系（数学语言），提升自主探究与知识应用能力。

1.3.1 空间直角坐标系 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.了解空间直角坐标系的建系方式. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标. 一、空间直角坐标系 探究1　在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系呢？决定平面直角坐标系的因素有哪些？ 探究2　空间直角坐标系该如何建立？ ⚪梳理教材 1.空间直角坐标系及相关概念 （1）空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个 . （2）相关概念： 叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 二、求空间点的坐标 探究3　在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，＝xi＋yj，那么向量的坐标为（x，y），点A的坐标为（x，y）；如果设{i，j，k}为空间的单位正交基底，＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量的坐标是什么？点A的坐标是什么？ 探究4　在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，你能借助几何直观确定它们的坐标（x，y，z）吗？ ⚪梳理教材 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标， 叫做点A的竖坐标. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若向量a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是（x，y，z）.（　 　） （2）把向量a＝（x，y，z）平移后其坐标不变.（　 　） （3）点P（1，0，2）在空间直角坐标系中的Oxy坐标平面上.（　 　） （4）空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为（0，y，0）.（　 　） 【典例1】在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系. （1）写出正四棱锥P－ABCD各顶点的坐标； （2）写出棱PB的中点M的坐标. ⚪解题感悟 （1）建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. ③一般用右手直角坐标系. （2）求某点M的坐标的方法 作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标（x，y，z）. 【练习1】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，建立适当的空间直角坐标系，写出E，F，G，H的坐标. 三、空间点的对称问题 探究5　在平面直角坐标系中，设P（x，y），则P关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是什么？ 【典例2】　在空间直角坐标系中，已知点P（－2，1，4）. （1）求点P关于x轴对称的点的坐标； （2）求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； （3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标. ⚪解题感悟 　　点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点： P（x，y，z）P1（－x，－y，－z）. P（x，y，z）P2（x，－y，－z）. P（x，y，z）P3（－x，y，－z）. P（x，y，z）P4（－x，－y，z）. P（x，y，z）P5（x，y，－z）. P（x，y，z）P6（－x，y，z）. P（x，y，z）P7（x，－y，z）. 记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”. 【练习2】　已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 . 四、空间向量的坐标 ⚪梳理教材 　在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝（x，y，z）. 【典例3】　在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，，的坐标分别为　 　. ⚪解题感悟 用坐标表示空间向量的步骤 【练习3】　如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标. ⚪课堂达标 1.点P（a，b，c）到坐标平面Oxy的距离是（　 　） A. B.｜a｜ C.｜b｜ D.｜c｜ 2.若点P关于平面Oxy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A，B两点（　 　） A.关于Ozx平面对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.关于坐标原点对称 3.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为（8，6，4），其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为（　 　） A.（12，14，10） B.（10，12，14） C.（14，10，12） D.（4，2，3） 4.已知平行四边形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（2，－3，－5），B（－1，3，2），对角线的交点是E（4，－1，7），则C，D的坐标分别为 . 5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），A1（4，0，3），则向量的坐标为 . 解析版 ⚪学习目标　1.了解空间直角坐标系的建系方式. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标. 一、空间直角坐标系 探究1　在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系呢？决定平面直角坐标系的因素有哪些？ 提示：在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系. 探究2　空间直角坐标系该如何建立？ 提示：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}来建立空间直角坐标系. ⚪梳理教材 1.空间直角坐标系及相关概念 （1）空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：　x轴、y轴、z轴　，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个　空间直角坐标系Oxyz　. （2）相关概念：　O　叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过　每两条坐标轴　的平面叫做坐标平面，分别称为　Oxy　平面，　Oyz　平面，　Ozx　平面，它们把空间分成八个部分. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向　x轴　的正方向，食指指向　y轴　的正方向，如果中指指向　z轴　的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 二、求空间点的坐标 探究3　在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，＝xi＋yj，那么向量的坐标为（x，y），点A的坐标为（x，y）；如果设{i，j，k}为空间的单位正交基底，＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量的坐标是什么？点A的坐标是什么？ 提示：（x，y，z）；（x，y，z）. 探究4　在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，你能借助几何直观确定它们的坐标（x，y，z）吗？ 提示：事实上，如图，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点B，C，D.可以证明在x轴、y轴和z轴上的投影向量分别为，，，且＝＋＋.设点B，C和D在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点A的坐标为（x，y，z）. ⚪梳理教材 　在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的　有序实数组（x，y，z）　，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作　A（x，y，z）　，其中　x　叫做点A的横坐标，　y　叫做点A的纵坐标，　z　叫做点A的竖坐标. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若向量a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是（x，y，z）.（　✕　） （2）把向量a＝（x，y，z）平移后其坐标不变.（　√　） （3）点P（1，0，2）在空间直角坐标系中的Oxy坐标平面上.（　✕　） （4）空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为（0，y，0）.（　√　） 【典例1】　在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系. （1）写出正四棱锥P－ABCD各顶点的坐标； （2）写出棱PB的中点M的坐标. [解]　如图，连接AC，BD交于点O，连接PO. ∵四棱锥P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a， ∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD. ∴OA＝a， PO＝＝＝a. 以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. （1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A（a，0，0），B（0，a，0），C（－a，0，0），D（0，－a，0），P（0，0，a）. （2）∵M为棱PB的中点，∴M（，，），即M（0，a，a）. ⚪解题感悟 　　（1）建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. ②充分利用几何图形的对称性. ③一般用右手直角坐标系. （2）求某点M的坐标的方法 作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标（x，y，z）. 【练习1】　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，建立适当的空间直角坐标系，写出E，F，G，H的坐标. 解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 点E在z轴上，其横坐标、纵坐标均为0， 而点E为DD1的中点，故其坐标为（0，0，）. 过点F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别为M，N， 由平面几何知识知，FM＝，FN＝， 故点F的坐标为（，，0）. 因为CG＝CD，G，C均在y轴上， 所以点G的坐标为（0，，0）. 过点H作HK⊥CG，可得DK＝，HK＝， 故点H的坐标为（0，，）. 三、空间点的对称问题 探究5　在平面直角坐标系中，设P（x，y），则P关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是什么？ 提示：分别为（x，－y），（－x，y），（－x，－y）. 【典例2】　在空间直角坐标系中，已知点P（－2，1，4）. （1）求点P关于x轴对称的点的坐标； （2）求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； （3）求点P关于点M（2，－1，－4）对称的点的坐标. [解]　（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P1（－2，－1，－4）. （2）由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P2（－2，1，－4）. （3）设对称点为P3（x，y，z），则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6，y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12， 所以P3的坐标为（6，－3，－12）. ⚪解题感悟 　　点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点： P（x，y，z）P1（－x，－y，－z）. P（x，y，z）P2（x，－y，－z）. P（x，y，z）P3（－x，y，－z）. P（x，y，z）P4（－x，－y，z）. P（x，y，z）P5（x，y，－z）. P（x，y，z）P6（－x，y，z）. P（x，y，z）P7（x，－y，z）. 记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”. 【练习2】　已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　（2，－3，1）　. 解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）. 四、空间向量的坐标 ⚪梳理教材 　在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝（x，y，z）. 【典例3】　在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，，的坐标分别为　（－2，－1，－4），（－4，2，－4）　. 解析：设与，，同向的单位向量分别为i，j，k.连接O1D，OA1（图略）， 因为＝－＝－（＋） ＝－［＋（＋）］ ＝－－－＝－2i－j－4k， 所以＝（－2，－1，－4）. 因为＝－ ＝－（＋）＝－－ ＝－4i＋2j－4k， 所以＝（－4，2，－4）. ⚪解题感悟 用坐标表示空间向量的步骤 【练习3】　如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标. 解：PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设＝i，＝j，＝k. 则＝＝0i＋j＋0k＝（0，1，0）， ＝－＝－i＋0j＋0k＝（－1，0，0）， 连接AC，＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋（＋）＝－＋＋（＋＋）＝＋＝0i＋j＋k＝（0，，）. ⚪课堂达标 1.点P（a，b，c）到坐标平面Oxy的距离是（　D　） A. B.｜a｜ C.｜b｜ D.｜c｜ 2.若点P关于平面Oxy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A，B两点（　D　） A.关于Ozx平面对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.关于坐标原点对称 解析：点P关于平面Oxy的对称点为A，则A的坐标为； 点P关于z轴的对称点为B，则B的坐标为； 则根据坐标特点知道A，B两点关于坐标原点对称. 故选D. 3.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为（8，6，4），其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为（　A　） A.（12，14，10） B.（10，12，14） C.（14，10，12） D.（4，2，3） 解析：设点A对应的向量为，则＝8a＋6b＋4c＝8（i＋j）＋6（j＋k）＋4（k＋i）＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为（12，14，10）.故选A. 4.已知平行四边形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（2，－3，－5），B（－1，3，2），对角线的交点是E（4，－1，7），则C，D的坐标分别为　（6，1，19），（9，－5，12）　. 解析：由题意知，E为AC与BD的中点，利用中点坐标公式，可得C（6，1，19），D（9，－5，12）. 5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），A1（4，0，3），则向量的坐标为　（－4，2，3）　. 解析：设＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底.所以＝＋＝＋＋＝－＋＋＝－4i＋2j＋3k＝（－4，2，3）. 页 学科网（北京）股份有限公司 $