1.3.2空间向量运算的坐标表示 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案围绕空间向量运算的坐标表示展开，引导学生掌握线性运算及数量积的坐标表示，通过类比平面向量的问题驱动，建立平面到空间的知识联系，以表格对比为学习支架，帮助理解运算规律及立体几何应用。 以问题引导发现空间与平面向量的联系，培养数学眼光，通过分层练习和例题解析发展数学思维（运算、推理），表格对比与规范坐标表示强化数学语言，自学与巩固设计助力自主探究，提升创新意识与应用能力。

1.3.2空间向量运算的坐标表示 一、立标 1、会用坐标表示空间向量的线性运算及数量积运算. 2、会利用空间向量运算的坐标表示解决一些简单的立体几何问题 二、自学 问题1：我们知道平面向量的坐标运算，可以帮助我们解决平行、垂直等位置关系以及距离、 夹角等度量问题那么，空间向量的坐标运算是否也可以解决空间中平行、垂直等 位置关系以及距离、夹角等度量问题？ 问题2：如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？类比平面向量，完成下列 表格： 平面向量的特殊位置之垂直 空间向量的特殊位置之垂直 a1b÷a.b=0 a1b曰a.b=0 台xx2+yy2=0 台xx2+1y2+122=0 三、练习 练1：已知点A3,-1,0),若向量AB=(2,5,-3,则点B的坐标是() A.(5,4,-3)B.(1,-6,3) C.(-1,6,-3)D.(2,5,-3) 解析：设B(x,y,z),又A3,-1,0),所以AB=(x-3,y+1,z)=(2,5,-3, 1x-3=2 1x=5 则y+1=5 所以 y=4 、z=-3 （z=-3 即B(5,4,-3).故选：A 练2：若=(2,0，-1)，6=(0,1，-2)，则+6=（) A.(2,0,-3) B.(2,-1,1) C.（-2,1,-1) D.(2,1,-3) 解析：若=(2,0，-1)，6=(0,1，-2)，则+=2,1，-3)故选：D 练3：若a=(2,0,-1),6=(0,1-2),则2-6=（) A.(4-1,0)B.(-4,1,-4)C.(-4,1,0) D.(4,-1-4) 解析：因为a=(2,0,-1),所以2a=(4,0,-2), 又6=(0,1，-2)，所以2a-b=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0)故 选：A 练4：已知=(0，-1,2)，6=(3,2，-1)，则3.6的值为() A.4 B.0 C.-4 D.-1 解析：因为=(0，-1,2)，=(3,2，-1)， a·6=0×3+(-1)×2+2×(-1)=0-2-2=-4.故选：C. 练5：若a+6=(-2,-1,2),-6=(4,-3,-2),则a.6等于() A.-5 B.-1 C.5 D.7 解析：+=(-2，-1,2)①，a-6=(4,-3,-2)②， ①+②得：2=(2，-4,0)，即=(1，-2,0) 所以6=(-2，-1,2)-京=(-2，-1,2)-(1，-2,0)=(-3,1,2) :京.6=-3-2+0=-5，故选：A 四、解疑 平面向量坐标运算 空间向量的坐标运算 a=(x,),b=(x2y2】 a=(x,y,z),b=(x2,y2,22 线 加 性 a+b=x1+2,y+y2) a+万=(x+x2,y+y2,名+2 法 运 减 算 法 a-币=(x-x,4- a-万=(x-x2y-y2,2-22 数 2a=(2x,元y) 1a=(2x,元y,元z) 乘 数量积 a.b=x x2+yy2 运算 a.b=xx2+yy2+222 直线方 A(xy),B(x2,y2), A(x,,),Bx2,2,23) 向向量 AB=0B-04=(x2-x-y) AB=0B-0A=(x2-x,y2-,22-2) P20例2：如图1.3-8，在正方体ABCD-AB,CD中，E,F分别是BB,D,B,的中点.求 证EF⊥DA· D D 0 B 图13-8 证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系Oxyz,则 》所以F(》 又A(1,0,1),D(0,0,0),所以DA=(1,0,1). 所xF.D-(分0=0，所uF104.即1D4 例3：如图1.3-9，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，M为BC的中点，E,F 分别在棱4R,CD,上，BE=48,DR=CD (1)求AM的长. (2)求BE,与D所成角的余弦值. 0 F B B 图1.3-9 解析：(1)建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系Oxyz,则点A的坐标为(1,0,0)，点M 的坐标为 发是仙-日-可+-oG-9 (2) 由已知，得B11,0), 2n0a0.Fg 断以旺-小-au0-0-所-好-00o- g网-平 以E所=00+(-11-8 15 所以cos(BE,DE)= BE·DF 16 15 BED丽 17、717 4 4 所以，BE,与D所成角的余弦值为 15 17 五、评议 1.课堂小结 概念 授g-a,4A1b-h,A1 a+b-(a+4,4+A,马+4 向量运算 空间直角坐标系 日-b-a-44-64-4】 的坐标表 画法： 证=(a,aa.aeR 一段使∠0-13S(成4s) a-b-ahtabtab. 空间向量及其运算的坐标表 0=0 示 空间点的对称性问题 Oi=i+以+k 空间距离公式 空间向量垂直、平行问题 用 a=(x,y,x). 空间向量的坐标表示 空间向量的坐标运算 2.巩固作业：教科书第21页练习第4、5题 教科书第22-23页习题第6、7、8题