1.3.1 空间直角坐标系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间直角坐标系同步练习（高二上学期人教A版选择性必修第一册），通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，系统覆盖坐标概念、运算推理及几何应用，培养空间观念与数学应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点的坐标、位置判断、对称点|选择题1-5、填空题8-9，直接考查基本概念，强化空间观念| |提升层|中点坐标、向量坐标、基底转换|选择题6-7、填空题10，结合几何推理与坐标运算，提升运算能力| |综合层|几何体坐标表示与综合应用|解答题11-12，以长方体、圆为情境，综合运用知识解决问题，发展推理能力|

1.3.1 空间直角坐标系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.已知i，j，k分别是与空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴同向的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是（　 　） A.（－1，1，－1） B.（－i，j，－k） C.（1，－1，－1） D.无法确定 2.点A（0，－2，3）在空间直角坐标系中的位置是（　 　） A.在x轴上 B.在Oxy平面内 C.在Oyz平面内 D.在Ozx平面内 3.在空间直角坐标系中，已知M（－1，0，2），N（3，2，－4），则MN的中点Q关于Oxy平面的对称点的坐标是（　 　） A.（1，1，－1） B.（－1，1，－1） C.（1，－1，－1） D.（1，1，1） 4.（多选）在空间直角坐标系Oxyz中，下列结论正确的是（　 　） A.每一个点和向量都可用唯一的有序实数组（x，y，z）表示 B.点P（3，0，－1）位于Oxy平面上 C.过点P（1，3，－4）作Ozx平面的垂线PQ，则垂足为Q（1，0，－4） D.点A（2，－1，4）关于原点的对称点的坐标为（－2，1，－4） 5.在空间直角坐标系中，已知点P（3，－2，－5），点Q与点P关于Ozx平面对称，则点Q的坐标是（　 　） A.（－3，2，5） B.（3，－2，5） C.（3，2，－5） D.（－3，－2，－5） 6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在Oyz平面内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则点D的坐标为（　 　） A.（0，－，） B.（0，－，） C.（0，，－） D.（0，－，） 7.若p＝xa＋yb＋zc，则称（x，y，z）为p在基底{a，b，c}下的坐标.若一向量p在{a，b，c}下的坐标为（1，2，3），则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（　 　） A.（，，3） B.（，－，3） C.（3，－，） D.（－，，3） 二、填空题 8.若点P（1，2，－1）在Ozx平面内的射影为B（x，y，z），则x＋y＋z＝ . 9.在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为 . 10.已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为（3，2，1），M点的坐标为（4，3，1），则B点的坐标为 . 三、解答题 11.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点.以{，，}为基底建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出点D，N，M的坐标； （2）写出，的坐标. 12.如图，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标. 解析版 一、选择题 1.已知i，j，k分别是与空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴同向的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是（　A　） A.（－1，1，－1） B.（－i，j，－k） C.（1，－1，－1） D.无法确定 解析：由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为（－1，1，－1）. 2.点A（0，－2，3）在空间直角坐标系中的位置是（　C　） A.在x轴上 B.在Oxy平面内 C.在Oyz平面内 D.在Ozx平面内 3.在空间直角坐标系中，已知M（－1，0，2），N（3，2，－4），则MN的中点Q关于Oxy平面的对称点的坐标是（　D　） A.（1，1，－1） B.（－1，1，－1） C.（1，－1，－1） D.（1，1，1） 解析：∵M（－1，0，2），N（3，2，－4），∴Q（1，1，－1），∴Q关于Oxy平面的对称点的坐标是（1，1，1）.故选D. 4.（多选）在空间直角坐标系Oxyz中，下列结论正确的是（　ACD　） A.每一个点和向量都可用唯一的有序实数组（x，y，z）表示 B.点P（3，0，－1）位于Oxy平面上 C.过点P（1，3，－4）作Ozx平面的垂线PQ，则垂足为Q（1，0，－4） D.点A（2，－1，4）关于原点的对称点的坐标为（－2，1，－4） 5.在空间直角坐标系中，已知点P（3，－2，－5），点Q与点P关于Ozx平面对称，则点Q的坐标是（　C　） A.（－3，2，5） B.（3，－2，5） C.（3，2，－5） D.（－3，－2，－5） 6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在Oyz平面内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则点D的坐标为（　B　） A.（0，－，） B.（0，－，） C.（0，，－） D.（0，－，） 解析：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图. 在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，所以BD＝1，CD＝，所以DE＝CD·sin 30°＝，OE＝OB－BE＝OB－BD·cos 60°＝1－＝，所以点D的坐标为（0，－，），故选B. 7.若p＝xa＋yb＋zc，则称（x，y，z）为p在基底{a，b，c}下的坐标.若一向量p在{a，b，c}下的坐标为（1，2，3），则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（　B　） A.（，，3） B.（，－，3） C.（3，－，） D.（－，，3） 解析：设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（x，y，z）， p＝a＋2b＋3c＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc＝ （x＋y）a＋（x－y）b＋zc， 所以解得 故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 （，－，3）. 二、填空题 8.若点P（1，2，－1）在Ozx平面内的射影为B（x，y，z），则x＋y＋z＝　0　. 9.在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为　（，0，－）　. 解析：连接MB，BN（图略），则＝＋＝－（＋）＋（＋）＝－＝（，0，－）. 10.已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为（3，2，1），M点的坐标为（4，3，1），则B点的坐标为　（5，4，1）　. 三、解答题 11.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点.以{，，}为基底建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出点D，N，M的坐标； （2）写出，的坐标. 解：（1）由题意，得点D为坐标原点，所以D（0，0，0）.设i＝，j＝，k＝，因为＝＋＝＋＝2i＋j＋0k，所以点N的坐标为（2，1，0）.因为＝＋＋＝i＋2j＋3k，所以点M的坐标为（1，2，3）. （2）＝－＝2i＋j＋0k－i－2j－3k＝i－j－3k＝（1，－1，－3），＝－＝－i－2j－3k＝（－1，－2，－3）. 12.如图，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标. 解：因为AD与两圆所在的平面均垂直， OE∥AD， 所以OE⊥平面ABC. 又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以OE⊥AF，OE⊥BC. 因为BC是圆O的直径，所以OB＝OC. 又AB＝AC＝6，所以OA⊥BC，BC＝6， 所以OA＝OB＝OC＝OF＝3. 如图所示，以O为坐标原点，OB，OF，OE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，－3，0），B（3，0，0），C（－3，0，0），D（0，－3，8），E（0，0，8），F（0，3，0）. 页 学科网（北京）股份有限公司 $