课后分层练(四)　空间向量基本定理-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(四)]　空间向量基本定理 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 【基础巩固】 1．若，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　 ) A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 解析：选D.∵，∴共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或直线在平面内． 2．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝b，则下列向量与相等的是(　　 ) A．－＋c B．＋c C．－＋c D．＋c 解析：选A.＝＝c＋(－a＋b)＝＋c. 3．(易错题){a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为(　　 ) A．0，0，1 B．0，0，0 C．1，0，1 D．0，1，0 解析：选B.若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面，这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0. 4．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.如图所示，＝， 故2＝，则AM＝. 5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设＝c，则向量用a，b，c表示为________． 解析：∵， ∴＝－2， ∴b－a＝－2， ∴＋c. 答案：＋c 6．已知平行六面体OABC­O′A′B′C′，且＝c. (1)用a，b，c表示向量； (2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示. 解：(1)＝b－a＋c. (2)＋＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)． 7．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，E是棱C1D1的中点．求证：AE⊥A1D. 证明：设＝c， 易知a·b＝b·c＝a·c＝0. ＋b＋c， ＝b－c， 则· ＝·(b－c)＝b2－c2＝0， ∴⊥，即AE⊥A1D. 【综合运用】 8．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，，点N为B1B的中点，则等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A．设＝c，则{a，b，c}构成空间的一个正交基底． ∵(a＋b＋c)＝， ∴＝. 9．(多选)(数学文化)(2025·湖北武汉期末)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P­ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝1，AD＝1，CD＝2，则下列结论正确的有(　　 ) A．四面体P­ACD是鳖臑 B．阳马P­ABCD的体积为 C．若，则 D．D到平面PAC的距离为 解析：选BCD.A错，连接AC，则在△PAC中，PA＝，则△PAC不是直角三角形，则四面体P­ACD不是鳖臑； B对，VP­ABCD＝； C对，＝； D对，设D到平面PAC的距离为d， 又S△PAC＝， 由×1，得d＝，则D到平面PAC的距离为. 10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，用作为基向量，则＝_________________________________. 解析：∵2＝＋＋＝. 答案： 11．正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为________________________． 解析：如图，画出对应的正四面体，设＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底．设正四面体ABCD的棱长均为1， 则(a＋b)＝(a＋b－2c)，(a－2b)，a·b＝a·c＝b·c＝， 设异面直线DM与CN所成的角为θ，则cos θ＝. 答案： 12．在如图所示的平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1，BD⊥AN，求λ的值． 解：设＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底． 设AB＝1， 因为BD⊥AN， 所以＝0， 因为＝b－a， ＝c＋λb， 所以(b－a)·(c＋λb)＝0， 所以＝0， 所以λ＝－1. 【创新探索】 13．如图，在三棱锥P­ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若，求证：为定值，并求出该定值． 解：连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略)． 由题意，可令{}为空间的一个基底， ＝＋＝. ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得， 即＝λ＋μ， ∴＝(1－λ－μ)＝(1－λ－μ) m， 由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝μt， ∴＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $