第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦导数的概念及其意义、导数的运算核心考点，依据课标要求明确了解瞬时变化率内涵、掌握导数几何意义及运算等考查要求，通过梳理近五年高考真题，明确导数几何意义、运算应用等高频考点，归纳切线方程求解、参数取值范围等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+规律总结+素养提升”，如以2023全国甲卷切线方程题为例，提炼“三步求导法”，培养学生数学思维与模型观念，通过“考点突破”模块的变式训练，帮助学生掌握导数运算及几何意义的答题技巧，提升得分率，教师可据此系统开展复习教学，助力学生高效冲刺高考。

第3章 第1节　导数的概念及其意义、导数的运算 2027届高考数学总复习 目录索引 考前自测 知识梳理 考点突破 课标解读 课标解读　1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想,体会极限思想;能通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=的导数. 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数;会使用导数公式表. 考前自测 1.(人教A版选择性必修第二册习题5.2第3题改编)已知函数 f(x)=13-8x+x2, 且f'(x0)=4,则x0=(　　) A.6 B.3 C.6 D.3 B 解析 因为f(x)=13-8x+x2,所以f'(x)=2x-8,由f'(x0)=4得2x0-8=4,所以x0=3.故选B. 2.(人教B版选择性必修第三册6.1.4节例2改编)曲线y=tan x在(,tan)处的切线方程为　　　　　　　　.  y=2x+1- 解析 因为y=tan x=,所以y'=()'=,所以切线斜率为=2.又因为tan=1,所以切线方程为y-1=2(x-), 即y=2x+1-. 3.(人教A版选择性必修第二册习题5.2第6题改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'()sin x-cos x,则f(x)在x=处的导数为　　　　 .  +1 解析 由f(x)=f'()·sin x-cos x,得f'(x)=f'()·cos x+sin x,因此f'()=f'()cos+sin,即f'()=f'()+, 解得f'()=+1. 4.(人教B版选择性必修第三册6.1.3节练习B第4题改编)已知函数f(x)=x2,若直线l经过点(3,5)且与曲线f(x)=x2相切,则直线l的方程为　　　　　 　　　.  2x-y-1=0或10x-y-25=0 解析 设切点为(x0,),由于f(x)=x2,所以f'(x)=2x,因此切线斜率为2x0.又因为切线过点(3,5),所以2x0=,解得x0=1或x0=5,于是切线l的方程为 y-5=2(x-3)或y-5=10(x-3), 即2x-y-1=0或10x-y-25=0. 知识梳理 1.导数的概念 (1)平均变化率:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为　　　　　,若 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为　　　　　.  微思考 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的几何意义是什么? 提示 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率是指其图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率. (2)导数(瞬时变化率):如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(derivative)(也称为瞬时变化率),记作　　　　　或y', 即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  (3)导函数:对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,当x变化时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称导数),即 f'(x)=y'=　　　 　　　　　.  f'(x0) f'(x0)= 2.导数的运算 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=　　　　  f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=　　　　  f(x)=sin x f'(x)=　　　　  f(x)=cos x f'(x)=　　　　  f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=　　　　  f(x)=ex f'(x)=　　　　  f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=　　　　  f(x)=ln x f'(x)=　　　　  0　 αxα-1　 cos x -sin x axln a ex (2)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　　.  ②[f(x)g(x)]'=　　　　　　　　　　　,特别地,[cf(x)]'=　　　　　.  ③'=　　　　　　　　 (g(x)≠0).  (3)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=　　　　　　,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.  f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　 cf'(x) y'u·u'x 3.导数的意义 (1)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,即k0=　　　　　.  即在点(x0,f(x0))处 微思考 已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是经过点P的切线的斜率吗? f'(x0) 提示 不一定,如果点P在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就是曲线在点P处的切线的斜率,如果点P不在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就不是曲线在点P处的切线的斜率. (2)物理意义:导数的物理意义是描述物理量随时间或其他变量变化的 　　　　　变化率.其本质是通过极限概念捕捉物理量在某一瞬间的变化趋势.如位移对时间的导数表示　　　　　　　,速度对时间的导数表示　　　　　　　　.  瞬时 瞬时速度 瞬时加速度 考点突破 考点一　导数的概念 例1　(2025·河南商丘模拟)设函数f(x)在x=0处的导数为3,则=(　　) A.2 B.1 C.0 D.3 B 解析 因为f'(0)==3, 所以f'(0)=1.故选B. 规律方法　由导数的定义知,若函数y=f(x)在x=x0处可导,则f'(x0)=.它仅与x0有关,与Δx无关,因此使用导数的定义时要明确公式的形式,当分子为f(x0+a)-f(x0+b)时,分母也应该是(x0+a)-(x0+b)=a-b.要注意公式的变形. [对点训练1]已知函数g(x)=cos x+3x2,则=　　　　　.  -4sin 1+24 解析 g'(x)=-sin x+6x, =4 =4g'(1)=-4sin 1+24. 考点二　导数的运算及其应用 考向1　导数的运算法则及其应用 例2　(1)下列求导错误的是(　　) A.(xln x)'=ln x+1 B.(cos)'=-sin C.(2x)'=2xln 2 D.()'= B 解析 对于A,(xln x)'=ln x+1,对于B,(cos)'=0,对于C,(2x)'=2xln 2,对于D, ()'=.综上,B错误.故选B. (2)(2025·天津滨海新区模拟)已知(2+3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1-2a2+3a3-4a4+5a5=　　　　.(用数字作答)  15 解析 因为(2+3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,两边求导可得15(2+3x)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=-1, 得到15(2-3)4=a1-2a2+3a3-4a4+5a5, 即a1-2a2+3a3-4a4+5a5=15. 规律方法　函数求导运算的基本原则 (1)熟记常见函数的导数公式和四则运算法则,切勿记错记混; (2)求导前,应利用代数、三角恒等变换对函数解析式进行化简,以便减少运算量,减少差错; (3)复合函数求导,要正确分析函数的复合过程,分清内外层函数,按照法则进行求导; (4)求函数在某一点处的导数且解析式未知时,应先根据条件求出该点所在区间的解析式再求导; (5)当函数解析式中含有待定系数(如f'(x0)等)时,应将待定系数看成常数进行求解. [对点训练2](1)在等比数列{an}中,a1 013=2.若函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2 025),则f'(0)=(　　) A.-22 023 B.22 023 C.-22 024 D.22 024 C 解析 设g(x)=(x-a1)(x-a2)·…·(x-a2 025),则f(x)=xg(x),f'(x)=g(x)+xg'(x),所以f'(0)=g(0).因为{an}是等比数列,且a1 013=2, 所以a1·a2 025=a2·a2 024=…==22=4,所以g(0)=(0-a1)(0-a2)·…·(0-a2 025) =(-1)2 025a1a2·…·a2 025=-22 025,所以f'(0)=-22 024.故选C. (2)(2025·江苏南京模拟)已知函数f(x)=2f'(3)·x-x2+ln x(f'(x)是f(x)的导函数),则f'(1)=　　　　.  解析 由f(x)=2f'(3)x-x2+ln x求导得f'(x)=2f'(3)-x+,代入x=3,可得f'(3)=2f'(3)-,解得f'(3)=1,则有f(x)=2x-x2+ln x,于是f'(x)=2-x+, 故f'(1)=2-+1=. 考向2　导函数与原函数的性质关系及其应用 例3　(多选题)f(x)是定义在R上的连续可导函数,其导函数为f'(x),下列说法中正确的有(　　) A.若f(x)=f(-x),则f'(x)=-f'(-x) B.若f'(x)=f'(x+T)(T≠0),则f(x)=f(x+T) C.若f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,则f'(x)的图象关于直线x=a对称 D.若f(-1+x)+f(-1-x)=2,f'(x+2)的图象关于原点对称,则f(-1)+f'(2)=1 ACD 解析 对于A,由f(x)=f(-x),根据导数的运算法则,可得f'(x)=-f'(-x),故A正确;对于B,例如函数f(x)=x,可得f'(x)=1,此时满足f'(x)=f'(x+T)(T≠0),但f(x)≠f(x+T),故B错误;对于C,由f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,可得f(a+x)+f(a-x)=2b,两边同时取导数,可得f'(a+x)-f'(a-x)=0,即f'(a+x)=f'(a-x),所以f'(x)的图象关于直线x=a对称,故C正确;对于D,由f(-1+x)+f(-1-x)=2,令x=0,可得f(-1)+f(-1) =2,即f(-1)=1.又由f'(x+2)的图象关于原点对称,令x=0,可得f'(2)=0,所以f(-1) +f'(2)=1,故D正确.故选ACD. 规律总结　导函数与原函数的性质关系 性质 原函数f(x) 导函数f'(x) 奇偶性 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 周期性 周期为t的函数 周期为t的函数 对称性 f(x)的图象关于直线x=a对称 f'(x)的图象关于点(a,0)对称 f(x)的图象关于点(a,b)对称 f'(x)的图象关于直线x=a对称 [对点训练3](多选题)(2025·安徽江南十校联盟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(0)=2,f(3-x)+f(x)=1,设f(x)在R上的导函数为g(x),则下列说法正确的 有(　　) A.g(2 025)=0 B.g()= C.g(x+6)=g(x) D.f(n)=1 011 ACD 解析 因为函数f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),则[f(-x)]'=f'(x).又g(x)是f(x)的导函数,所以-g(-x)=g(x),故g(x)是奇函数且g(0)=0;由f(3-x)+f(x)=1,两边同时求导可得-g(3-x)+g(x)=0,故g(x)的图象关于直线x=对称.对于C,因为g(x+6)=g(-x-3)=-g(x+3)=g(x),故C正确;对于A,因为g(2 025)= g(337×6+3)=g(3)=g(0)=0,故A正确;对于B,令f(x)=cosx+,此时满足f(0)=2,f(3-x)+f(x)=1,且f(x)是R上的偶函数,g(x)=f'(x)=-sinx,此时g()≠,故B错误;对于D,由f(3-x)+f(x)=1及f(x)是偶函数,得f(x-3)+f(x)=1,所以 f(x)=-f(x-3)+1,f(x+3)=-f(x)+1,即f(x+6)=-f(x+3)+1=f(x),所以f(x)的一个周期为6,故f(n)=3,则f(n)=337×3+1-1=1 011,故D正确.故选ACD. 考点三　导数的几何意义及其应用 考向1　求曲线的切线方程 例4　(1)(2023·全国甲,文8)曲线y=在点(1,)处的切线方程为(　　) A.y=x B.y=x C.y=x+ D.y=x+ C 解析 ∵y=,∴y'=,则y'|x=1==k.故曲线在点(1,)处的切线方程为y-(x-1),即y=x+.故选C. 教考链接 (人教A版选择性必修第二册习题5.2第7题)设函数f(x)=1-ex的图象与x轴相交于点P,求曲线在点P处的切线方程. 解 令1-ex=0,解得x=0,所以函数f(x)=1-ex的图象与x轴相交于点P(0,0).由f'(x)=-ex,知f'(0)=-1,所以曲线在点P(0,0)处的切线方程为x+y=0. (2)(2025·山东聊城一模)曲线y=xln x在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A.4 B.3 C.1 D. D 解析 对函数y=xln x求导得y'=ln x+1,故所求切线斜率为ln 1+1=1,切点坐标为(1,0),所以曲线y=xln x在x=1处的切线方程为y=x-1,该切线交x轴于点(1,0),交y轴于点(0,-1),因此,曲线y=xln x在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×1=.故选D. 规律方法　利用导数几何意义求切线方程的方法 [对点训练4](1)(2025·安徽江南十校联盟)曲线y=xex在点(1,e)处的切线方程为　　　　　　　　.  y=2ex-e 解析 因为y'=(x+1)ex,所以曲线在点(1,e)处切线的斜率为2e,则切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e. (2)(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切线的方程为　　　　　　　　.  y=x 解析 由题意可知f'(x)=+1,设切点为P(x0,ln x0+x0),则切线方程为y=(+1)(x-x0)+ln x0+x0,因为切线过原点,所以0=(+1)·(-x0)+ln x0+x0 =ln x0-1,解得x0=e, 因此切线方程为y=(+1)(x-e)+e+1,整理得y=x. 考向2　求参数的值或取值范围 例5　(1)(2025·安徽合肥高三检测)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax-b,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+2=0,则a=　　　　　,b=　　　　　.  1　 1　 解析 因为f'(x)=xex-a,由题意得解得 (2)[一题多变](2022·新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　 　　　　　　　.  (-∞,-4)∪(0,+∞) 解析 由题意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex.设切点为(x0,(x0+a)),则切线方程为y-(x0+a)=(1+x0+a)(x-x0).又切线过原点,∴-(x0+a) =-x0(1+x0+a),整理得+ax0-a=0.∵曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,∴+ax0-a=0有2个不同实数解,∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞). 变式 [变式](变条件)若曲线y=(x+a)ex有两条过点(1,0)的切线,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  (-∞,-5)∪(-1,+∞) 解析 设切点为(x0,(x0+a)),切线斜率为y'=(x0+a+1). 切线方程为y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0),该切线过点(1,0),代入得 -(x0+a)=(x0+a+1)(1-x0),两边除以得-(x0+a)=(x0+a+1)(1-x0), -x0-a=(x0+a+1)--(a+1)x0,整理得+(a-1)x0-2a-1=0,该关于x0的二次方程有两个不同的实数解(即两条切线),故判别式大于零,即Δ=(a-1)2-4(-2a-1) =(a-1)2+8a+4=a2-2a+1+8a+4=a2+6a+5=(a+1)(a+5)>0,解得a<-5或a>-1.因此,实数a的取值范围是(-∞,-5)∪(-1,+∞). 规律方法　利用导数几何意义求参数值或范围的方法技巧 求解与切线有关的参数问题,通常是利用曲线、切线、切点三者之间的以下关系建立方程(组)、不等式(组)进行求解: (1)切点处的导数值等于切线的斜率; (2)切点在曲线上,切点坐标满足曲线方程; (3)切点在切线上,切点坐标满足切线方程. [对点训练5](2024·新高考Ⅰ,13)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.  　ln 2 解析 由y=ex+x,得y'=ex+1.当x=0时,y'=2.∴曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.∴直线y=2x+1是曲线y=ln(x+1)+a的切线.由y=ln(x+1)+a,得y'=.设直线y=2x+1与曲线y=ln(x+1)+a相切于点(x0,y0),则=2, ∴x0=-.将x0=-代入y=2x+1,得y0=2×(-)+1=0. ∴ln(-+1)+a=0,∴a=ln 2. $