1.4.2研究距离夹角问题课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦用空间向量研究距离问题，涵盖点到直线、点到平面、平行线及平行平面距离等核心内容。通过“立体几何距离问题如何用向量解决”的提问导入，衔接旧知与新知，以探究活动、公式推导和步骤总结为支架，构建完整知识脉络。 其亮点在于以问题驱动探究，引导学生用数学眼光发现空间形式与数量关系，通过逻辑推理推导距离公式培养数学思维，结合实例规范符号表达强化数学语言。如正三棱柱点到直线距离例题，展示建系、求向量、用公式的完整过程，助力学生发展空间观念与运算能力，也为教师提供系统教学流程与实例参考。

1.4.2 用空间向量研究 距离、夹角问题 KAI的小炸鸡 1. 用空间向量研究距离问题 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 引入 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 下面我们先研究用向量方法求直线一点P到直线的距离。 2 新知 2. 点到直线的距离 书33探究：已知直线的单位方向向量为，，是直线上的定点，直线外一点.设，如何利用这些条件求点到直线的距离？ 是在直线上的投影向量， 则 在，由勾股定理得， 在直线上的投影向量的模 == 3 例1 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1＝，求点C到直线AB1的距离． 返回导航 4 解析：取AC的中点D，建立如图空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B1，C(0，1，0)， 所以＝＝(0，－2，0)． 直线AB1的一个单位方向向量s＝， 所以点C到直线AB1的距离d＝ ＝ . 返回导航 5 学霸笔记：先确定直线的方向向量，再求点与直线上某一点构成的向量，再用公式求解． 返回导航 6 跟踪训练1　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，点E是DC的中点．求点B1到直线AD1的距离． 返回导航 7 解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则B1(1，2，1)，A(1，0，0)，＝(－1，0，1)，＝(0，－2，－1)，则与同方向的单位向量为u＝＝，于是点B1到直线AD1的距离d＝＝ ＝. 返回导航 8 总结 求点到直线的距离步骤 ① 建立适当的空间直角坐标系，写出点坐标； ②求所求点与直线上某一点所构成的向量； ③求直线的单位方向向量； ④代入点线距公式求距离. 单位方向向量 d= 新知 3. 平行线之间的距离 书33思考：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 对于两条平行直线l、m, 可在其中一条直线m上任取一点P, 则两条平行直线间的距离就等于点P到直线l的距离. 点到直线的距离 两条平行线l、m之间的距离为： . 10 新知 4. 点到平面的距离书33 问题3：已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点，过点作平面的垂线，交平面与点，则是直线的方向向量，如何用空间向量求点P到平面α的距离？ α 点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度. 在直线的投影向量的模 = 11 例2 如图，四边形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且AE＝3，DF＝2，BG＝1，M，N分别是EG，BC的中点． (1)证明：FM∥平面ABCD. (2)若AB＝2，求点N到平面AMF的距离． 返回导航 12 解析：(1)证明：因为AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，则AE∥BG∥DF.取AB的中点H，连接MH，DH，则MH∥AE，且MH＝＝2，所以MH∥DF且MH＝DF，所以四边形DFMH为平行四边形，可得FM∥DH，且FM⊄平面ABCD，DH⊂平面ABCD，所以FM∥平面ABCD. 返回导航 13 (2)连接AN. 以D为原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，F(0，0，2)，M(2，1，2)，N(1，2，0)，可得＝(－1，2，0)，＝(0，1，2)，＝(－2，0，2)．设平面AMF的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得y＝－2，z＝1，可得n＝(1，－2，1)．故点N到平面AMF的距离d＝. 返回导航 14 跟踪训练2　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为CC1，BC的中点． (1)求证：A1B⊥AC. (2)求点B1到平面AEF的距离． 返回导航 15 解析：(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC＝90°， 即AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，又AC，AB⊂平面ABC，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，如图建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，A(0，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，2)，所以＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)， 所以＝0，所以⊥，即A1B⊥AC. 返回导航 16 (2)由(1)可得E(0，2，1)，F(1，1，0)，B1(2，0，2)，所以＝(0，2，1)，＝(1，1，0)，＝(2，0，2)． 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则取n＝(1，－1，2)， 所以点B1到平面AEF的距离d＝. 返回导航 17 总结 求点到平面的距离步骤 ① 建立适当的空间直角坐标系，写出点坐标； ②求所求点与平面上某一点所构成的向量； ③求平面的单位法向量； ④代入点面距公式求距离. α 新知 5. 平行线面之间的距离 追问1：类比点到平面的距离的求法，如何求平行线与面之间的距离？ 如果一条直线m与一个平面α平行, 可在直线m上任取一点P, 将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 点到平面的距离 α d 19 新知 6. 平行面之间的距离 追问1：类比点到平面的距离的求法，如何求平行面之间的距离？ 如果两个平面α, β互相平行, 可在平面β内任取一点P, 将面面距离转化为点P到平面α的距离求解. 点到平面的距离 α d 20 例题 例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (1) 求点B到直线AC1的距离; (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 解：以为原点，,,所在直线为,,轴，建立空间直角坐标系. 取， 21 例题 例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (1) 求点B到直线AC1的距离; (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F ，，，，， 则 因为， 所以，即平面. 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 22 例题 例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (1) 求点B到直线AC1的距离; (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 设平面的法向量为， 则， 取，则 ∴是平面的一个法向量 ∴点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为. 23 总结 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何结论. （化为向量问题） （进行向量运算） （回到几何问题） 练习 书本P35 1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 点A到平面B1C的距离等于_____； 直线DC到平面AB1的距离等于_______ ； 平面DA1到平面CB1的距离等于_______. 1 1 1 B A A1 B1 C1 D1 C D x y z 25 练习 书本P35 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; (2) 求直线FC1到直线AE的距离; (3) 求点A1到平面AB1E的距离; (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 26 练习 书本P35 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (2) 求直线FC1到直线AE的距离; B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 27 练习 书本P35 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (3) 求点A1到平面AB1E的距离; B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 28 练习 书本P35 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z 29 练习 书本P35 3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与 平面D1CB1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D 30 总结 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 单位方向向量 d= α 两点间的距离 31 $