1.2.1+平方差公式 课件 2025-2026学年湘教版七年级 数学下册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过长方形菜地面积计算的实际问题导入，引导学生用多项式乘法推导公式，衔接整式乘法基础，搭建从具体情境到抽象公式的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，通过大正方形剪拼验证公式几何意义，结合探究规律活动培养推理能力，用“首加尾乘首减尾”口诀简化记忆。典例涵盖生活应用与简便计算，帮助学生深化理解，教师可依托完整教学环节提升教学效果。

1.2.1 平方差公式 第一章 整式的乘法 1. 理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2. 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简 单的运算.（难点） 新知导入 计算： 一个长方形菜地，长为(x+3)米，宽为(x3)米，求菜地面积. (x+3)(x3) 一 列式 二 计算 ＝x·x＋x·(－3)＋3·x+3×(－3) ＝x2－3x＋3x－9 ＝x2－9(m2) 二 作答 答：菜地面积为x2－9(m2) 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，像这样的式子我们就把它叫做平方差公式. 需要注意： 公式左边：a符号相同，b符号相反. 公式右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方. 新课讲授 a表示完全相同的项 b表示完全相反的项 新课讲授 平方差公式 比如： 探究新知 计算下列各式，你能发现什么规律： (x + 2 )( x – 2) = x2 - 2x + 2x - 22= ， (x + 1 )( x - 1) = x2 - x + x - 12= ， (x + 3 )( x - 3) = x2 - 3x + 3x -32= ， (x + 4 )( x - 4 ) = x2 –4x + 4x -42= . x2- 12 x2- 22 x2- 32 x2-42 (x + y )( x - y ) = x2 - xy + xy -y2= . x2-y2 (x + y)(x − y) = x2 − y2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (x – y) (x + y) = x2 − y2， (y + x)(−y + x ) = x2 − y2. 平方差公式： 知识要点 平方差公式 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个 多项式等． (x + y)(x - y) = x2 - y2 相同为 x 相反为 y 适当交换 合理加括号 新知探究 思考：如果长为(x+4)米，宽为(x)米呢？ (x+4)(x4)=x2－16 如果长为(x+5)米，宽为(x)米呢？ (x+5)(x5)=x2－25 说一说：多项式x+y与xy相乘，其积为多少？ (x+y)(xy)=x2－y2 你能通过计算证明吗？ 新知探究 (x+y)(xy) =x2xy+xyy2 =x2y2. 平方差公式： (x+y)(xy)=x2y2 口诀：首加尾乘首减尾，等于首平方减尾平方. 新课讲授 平方差公式 比如： 新课讲授 平方差公式 找完全相同项 找完全相反项 互为相反数的项 相同项的平方减相反项的平方 例1 计算：(1) ( 2x ＋1)( 2x －1 )； (2) (x＋2y)(x－2y). 解：(1) 将平方差公式中的 x 用 2x 代替，y 用 1 代替， 可得 典例精析 分析：(1)(2)中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可利用该公式进行计算. (2x＋1)(2x－1)＝ (2x)2－12 ＝4x2－1. 看作 x 看作 y 例1 计算： (2) ( x ＋ 2y )( x － 2y ). 解：将平方差公式中的 y 用 2y 代替，可得 典例精析 (x＋2y)(x－2y)＝ x2－(2y)2 ＝x2－4y2. 看作 y 例2 运用平方差公式计算: . 解：将平方差公式中的 x 用 －2x 代替，y 用 y 代替，可得 ＝ ＝. 新知探究 (x+y)(xy)=x2y2 x与x:符号相同的项 y与y:符号相反的项 用相同项的平方减去相反项的平方 注意 平方差公式中的x，y 既可代表一个单项式，也可代表一个多项式 . 新知探究 几何背景 已知大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,求阴影部分的面积。 解：大正方形的面积为a2, 小正方形的面积为b2， 故阴影部分的面积为a2b2。 新知探究 几何背景 将剩余部分沿虚线剪开后，拼成一个如下图所示的长方形,求该长方形的面积。 解：该长方形的长为a+b, 该长方形的宽为ab ， 故长方形的面积为(a+b)(ab)=a2b2 . 新课讲授 方法探讨1 运用平方差公式计算： （1） ；（2）(4x+y)(-y+4x). 解题关键：找出公式中的a和b 分析：a=-2m，b= 分析：a=4x，b=y 解（1）原式 （2）原式 = (4x)2 -y2 = 16x2 -y2 新课讲授 方法探讨1 解题关键：找出公式中的a和b 运用平方差公式计算： （3） ；（4）(5a-b)(-5a-b). （2）原式 = (-b)2 -(5a)2 解（1）原式 = b2 -25a2 分析：a=2x，b=y 分析：a=-b，b=5a 将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？ (a + b)(a − b) = a2 − b2 平方差公式的几何验证 2 合作探究 a a b b a + b a - b b b 几何验证平方差公式 a a b b a2 - b2 a b b b (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 a - b a - b 新知探究 例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a). 解：由平方差公式得 (4a＋b)(－b＋4a)＝(4a＋b)(4a－b) ＝(4a)2－b2 ＝16a2－b2. 将括号内的式子转化为平方差公式的形式． 新知探究 归纳 一般步骤： 1.利用加法交换律调整括号内项的位置，使之与公式左边相对应（已对应的无需调整） 2.找准哪个单项式或多项式分别代表公式中的“x”和“y” 3.套用公式计算，注意将底数带上括号 方法总结 应用平方差公式计算时，应注意： （1）左边有一项完全相同，另一项符号相反(互为相反数)； （2）右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 自主探究 想一想： (1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点： 6×8 = 48 14×16 = 224 69×71 = 4899 7×7 = 49 15×15 = 225 70×70 = 4900 平方差公式的运用 3 (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母 表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ (a − 1)(a + 1) = a2 − 1 例4 计算：(1) 1002×998； 解：由于1002×998 = (1000＋2)(1000－2) 注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 典例精析 于是由平方差公式得 (1000＋2)(1000－2) = 10002－22 = 1000000－4 = 999996 因此 1002×998 = 999996. 例4 计算： (2) 118×122. 解：118×122 = (120－2)(120＋2) = 1202－22 = 14400－4 = 14396. 注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 典例精析 课堂小结 1.平方差公式: (a+b)(a-b)= a2 -b2 . 两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 2.结构特点： 左边：a符号相同（相同项），b符号相反（互为相反数项）. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方. 3.公式变形: (a – b ) ( a + b) = a2 – b2 (b + a )( –b + a ) = a2 – b2 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 巩固作业 1.达标作业：教材P22习题1.2—学而时习之T1 ； 2.拓展作业：计算()2. $