精品解析：广东东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2025-2026学年第一学期学习效率检测（三）高三数学

东莞市东华高级中学 东华松山湖高级中学 2025-2026学年第一学期学习效率检测（三） 高三数学 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，而， 则. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，故. 故选：B. 3. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得 ，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 4. 已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案. 【详解】法一：， 即； 法二 由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若，，，，， 则，，故. 故选：C. 5. 角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点， 则,. 所以 故选：D 6. 已知，若有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到为奇函数且单调递减，问题等价于方程在R上有三个不同的实数根，令，求导得到其单调性和极值情况，从而得到的取值范围为. 【详解】的定义域为R，且， 所以是奇函数， 有三个零点等价于 方程有三个不相等的实数根， 又是奇函数，可得， ，可知单调递减，所以有，即， 所以问题等价于方程在R上有三个不同的实数根， 即函数的图象与直线有三个不同的交点， 由，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的极大值为，极小值为， ∴的取值范围为. 故选：A 7. 已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定圆C的圆心和半径，进而确定点H在以C为圆心，半径为1的圆上，结合向量的模的几何意义以及圆的性质，即可求得答案. 【详解】由于，即为， 故圆C的圆心为，半径为2， 设H为的中点，则，结合，得, 即点H在以C为圆心，半径为1的圆上； 又，则 而， 故的最小值为 ，则的最小值为， 故选：D 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，利用换元法将方程化为，化为，则原方程化为，即，构造和并确定单调性，进而求出参数值，即可得. 【详解】由两边乘，得：， 令，则方程化为：， 由，令，则， 代入原方程得：，整理得， 构造，与均为单调递增函数，故为单调递增． 构造，与均为单调递增函数，故为单调递增． 若，令，则，代入得，即 因为单调递增，的解唯一，故，则，即. 因此：. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量， ，则 B. 设随机变量服从正态分布，若 ，则 C. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 “第一次出现4点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件与互斥． D. 对于随机事件与，若 ， ，则事件与独立． 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：由于， ，得 ，解得 ，故A正确； 选项B：标准正态分布 的密度曲线关于 对称， 若 ，则 ，因此 ， 由对称性可得 ，故B正确； 选项C：互斥事件的定义是两个事件不能同时发生。当第一次出现4点（A发生）， 第二次出现奇数点时，两次点数之和为奇数（B也发生），说明A、B可同时发生， 不满足互斥事件的要求，故C错误。 选项D：由 得 ， 又，整理得， 满足事件独立的充要条件，因此A与B独立，故D正确. 10. 已知二项展开式，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，利用二项展开式通项可判断A选项；利用赋值法可判断BC选项；求导，结合赋值法可判断D选项. 【详解】令， 对于A选项，的展开式通项为， 其中， ，所以，A对； 对于B选项，， 所以，B错； 对于C选项，， 所以，C对； 对于D选项，， 故，D对. 故选：ACD. 11. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 若 ，则的面积为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正余弦定理、三角形面积公式及三角函数公式依次判断各选项. 【详解】对于A，由，可得，， 所以，故A正确； 对于B，由于，结合正弦定理可得， 即，所以，故B正确； 对于C，由，则， ，解得，故C错误； 对于D，由，得，解得， 则，由正弦定理得，解得， 所以的面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集（用区间表示）________________． 【答案】 【解析】 【详解】需满足：， 解 得或，解得 ，因此， 由于，则 由于函数 在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得 ，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 13. 若函数在处有极小值，则实数a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过对函数求导，根据函数在处有极小值，可知，解得的值，再验证即可求出的值． 【详解】由，得， 函数在处有极小值，所以， 解得或， 当时，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以是的极小值，符合题意. 当时，， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以是的极大值，不符合题意. 综上所述，实数a的值为. 故答案为：. 14. 已知双曲线： ，与斜率为1且不过原点的直线交于，两点，是双曲线上一点，且，与 的重心分别是，，的外心记为，直线、、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值，取，的中点，，得到，再由，，结合直线OP、OQ、OR的斜率之积为，求得，利用，即可求解. 【详解】若直线与双曲线 ，有两个交点，，设的中点为， 由，得，所以，所以，所以，所以，所以. 取，的中点，，连接，，易知的重心在中线上， 的重心在中线上，所以，， 又，所以，由，得，所以， 因为，且的外心为点，所以为线段的中点，所以，又，所以，所以，所以，所以. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值： （2）已知，求的值： （3）在中，向量，，若，求. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得； （2）首先求出 ，再由诱导公式化简，最后由同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解； （3）依题意，结合平方关系求出、 ，从而求出 ，再由二倍角公式计算可得. 【详解】（1） ； （2）因为，所以， 所以； （3）因为，且， 所以，即， 又 ，解得或， 又，所以 ，所以，则， 所以. 16. 记为数列的前n项和，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明：令时，，即得 ， 当时，①，②， 由① ②得，，又由，又，， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 因为，所以， ， 两式相减得： ， 所以. 17. 如图，在等腰梯形中，， ，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形 沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面 的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明； （2）建系得出平面 和平面 的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函数关系求解正弦； （3）设再应用点到平面距离即可计算求参. 【小问1详解】 取 的中点N， 连接， 如图所示： 为棱的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又 平面， 平面， 平面. 【小问2详解】 由在等腰梯形中，， ，为边上靠近点的三等分点，可得， 也即 又平面平面，交线为,平面， 所以平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点， 所在直线分别为轴建立直角坐标系，, 如图，则 为棱的中点， （i） 设平面 的一个法向量为 则 令 则 平面 的一个法向量为 所以二面角的正弦值为. 【小问3详解】 假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面 的距离是， 设 则 由（i）知平面 的一个法向量为 点Q到平面 的距离是 18. 已知椭圆 ，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点． （1）若直线垂直于轴，求 ； （2）当时，在轴上方时，求、的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则 可求； （2）设 ，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求得的坐标； （3）设 ， ，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结合，得，再由直线的方程： ，得纵坐标，由直线的方程：，得的纵坐标，结合根与系数的关系，得，解得值，从而得到直线方程． 【小问1详解】 解：依题意，，当轴时，将代入 ，解得， 则，，所以； 【小问2详解】 解：设 ，， ，， 所以， ， 又在椭圆上，满足，即， ，解得，即． 所以直线， 联立，解得或，所以； 【小问3详解】 设 ， ，，， 直线， 则， ． 联立，得． 则，． 由直线的方程： ，得纵坐标； 由直线的方程：，得的纵坐标． 若，即， ， ，， 代入根与系数的关系，得，解得． 存在直线或满足题意． 【点睛】 方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法： （1），其中为弦长， 为另一顶点到直线的距离； （2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半. 19. 已知函数， . （1）若，求函数单调递增区间； （2）若对于任意，都有，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n，. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导，再令 ，解出即可； （2）求导得，注意，再利用必要性探路得到的范围，最后证明其充分性成立即可； （3）根据（2）结论得，再设新函数，求导得当时，，最后放缩累加求和即可. 【小问1详解】 当时，，对求导得 ， 令 ，即，解得； 故函数的单调递增区间为， 【小问2详解】 对求导得， 注意到，可得，解得， 当时， ，可得在区间上单调递减， 所以； 当时，存在且， 当时，，可得在区间上单调递增， 所以与已知条件 矛盾； 当时，可得在区间上单调递增， 所以与已知条件 矛盾； 故实数的取值范围为． 【小问3详解】 由（2）可知，当时，， 设， 则； 令， 则，可得在区间上单调递减， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以 ． 所以当时，， 可得时，， 可得 ， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市东华高级中学 东华松山湖高级中学 2025-2026学年第一学期学习效率检测（三） 高三数学 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知，若有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量， ，则 B. 设随机变量服从正态分布，若 ，则 C. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 “第一次出现4点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件与互斥． D. 对于随机事件与，若 ， ，则事件与独立． 10. 已知二项展开式，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 若 ，则的面积为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集（用区间表示）________________． 13. 若函数在处有极小值，则实数a的值为__________. 14. 已知双曲线： ，与斜率为1且不过原点的直线交于，两点，是双曲线上一点，且，与 的重心分别是，，的外心记为，直线、、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值： （2）已知，求的值： （3）在中，向量，，若，求. 16. 记为数列的前n项和，已知. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 17. 如图，在等腰梯形中，， ，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形 沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面 的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆 ，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点． （1）若直线垂直于轴，求 ； （2）当时，在轴上方时，求、的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数， . （1）若，求函数单调递增区间； （2）若对于任意，都有，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $