4.6 正弦定理和余弦定理 专题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕正弦定理和余弦定理核心考点，依据课标要求构建“三角形边角关系-射影定理-定理应用”知识体系，通过考点梳理（求边长角、判断形状、面积问题）、方法指导（正余弦定理选用技巧）、真题训练（基础到拓广分层例题）三环节，帮助学生系统突破解三角形重难点。 讲义创新采用“母题探究+分层训练”模式，如判断三角形形状时通过变条件多角度分析，培养逻辑推理与数学建模能力。设置A级基础、B级能力、C级拓广练习，配合师生共研重难考点，确保高效突破。既提升学生解题规范性与应考能力，又为教师提供精准复习节奏把控方案。

4．6　正弦定理和余弦定理 课标要求 考情分析 　　掌握正弦定理、余弦定理，并能运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些简单的三角形度量问题． ◎考点考法：利用正弦、余弦定理解三角形是近两年高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形的边的长度、角的大小等，既有灵活多变的小题，也有考查能力的大题，试题多为中低档题． ◎核心素养：逻辑推理、直观想象、数学建模． 1．三角形中的边角关系 在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B. 2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B. 1．已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A＝(　　) A．150° B．90° C．60° D．30° 2．在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c＝________． 4．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则A＝________． 5．在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的大小关系为________；若sin A＞sin B，则A，B的大小关系为________． 考点一　利用正弦、余弦定理求边长(角)　重难考点　师生共研 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－2b sin A＝0且a＝5，c＝4. (1)求角B及边b的大小； (2)求sin 的值． 应用正弦、余弦定理解题的技巧 (1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A等求解． (2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理变形公式cos A＝等求解． (3)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． 1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝7，c＝6，cos B＝，则a＝(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝1－，a＝3，b＝2，则sin B的值为(　　) A． B． C． D． 考点二　判断三角形的形状　一题多变　母题探究 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 (2)在△ABC中，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为________________． 1．(变条件)若将本例中(1)的条件改为“2sin A cos B＝sin C”，试判断△ABC的形状． 2．(变条件)若将本例中(1)的条件改为“＝”，试判断△ABC的形状． 判断三角形形状的两种常用途径 考点三　与三角形面积有关的问题　重难考点　师生共研 (1)在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，点D是线段BC上靠近点B的一个三等分点，AD＝1，若∠ADC＝，则c＝________． (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin A cos B＋b sin A cos A＝a cos C. (ⅰ)求角C的大小； (ⅱ)若a＝3，且·＝1，求△ABC的面积． 三角形面积问题的常见类型 (1)求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积． (2)已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系． (3)已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形． 1．在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　) A． B． C． D． 2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，＋＋＝1.则△ABC面积的最大值为(　　) A．1＋ B．1＋ C．2 D．2 A级　基础过关 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，cos B＝，则A＝(　　) A． B． C． D．或 2．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝(　　) A． B． C．6 D．5 3．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的半径为(　　) A．4 B．2 C．5 D． 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于(　　) A． B． C． D． 5．(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题正确的是(　　) A．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形 B．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形 C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形 6．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos B的值为________． 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝b，则△ABC的面积为________． 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos C＝a，且B＝，则a＝________． 9．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC. 10．已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝. (1)求sin C的值； (2)若△ABC的面积S＝5，且c＝，求△ABC的周长． B级　能力提升 11．(多选)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C为钝角，且c－b＝2b cos A，则下列结论中正确的是(　　) A．a2＝b(b＋c) B．A＝2B C．0<cos A< D．0<sin B< 12．已知△ABC中，·＝－3，AB＝2，cos2A＋sin2B＋sin2C＋sinB sin C＝1，D是边BC上一点，∠CAD＝3∠BAD.则AD等于________． 13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. C级　拓广探索 14．设A，B，C为三角形的三个内角，且方程(sin B－sin A)x2＋(sin A－sin C)x＋(sin C－sin B)＝0有两个相等实根，则(　　) A．B＞60° B．B≥60° C．B＜60° D．B≤60° 15．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(由以弦为边长得到的正方形组成)，如图1，类比“赵爽弦图”，构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大的等边三角形，设DF＝3AF，则图中阴影部分与空白部分的面积之比为(　　) A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．6　正弦定理和余弦定理 课标要求 考情分析 　　掌握正弦定理、余弦定理，并能运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些简单的三角形度量问题． ◎考点考法：利用正弦、余弦定理解三角形是近两年高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形的边的长度、角的大小等，既有灵活多变的小题，也有考查能力的大题，试题多为中低档题． ◎核心素养：逻辑推理、直观想象、数学建模． 1．三角形中的边角关系 在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B. 2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B. 1．已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝45°，则A＝(　　) A．150° B．90° C．60° D．30° 解析　由正弦定理，得＝，得sin A＝.又a＜b，∴A＜B＝45°.∴A＝30°.故选D. 答案　D 2．在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 解析　由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D. 答案　D 3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c＝________． 解析　由S△ABC＝ac sin B＝×2c×＝4，得c＝8. 答案　8 4．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则A＝________． 解析　在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos A＝＝＝－，因为A为△ABC的内角，所以A＝. 答案　 5．在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的大小关系为________；若sin A＞sin B，则A，B的大小关系为________． 解析　根据正弦定理知，在△ABC中，sin A＝sin B⇔a＝b⇔A＝B，sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B. 答案　A＝B　A＞B 考点一　利用正弦、余弦定理求边长(角)　重难考点　师生共研 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－2b sin A＝0且a＝5，c＝4. (1)求角B及边b的大小； (2)求sin 的值． [解析]　(1)依题意，a－2b sin A＝0， 由正弦定理得sin A－2sin B sin A＝0， 由于锐角三角形中0<A<，sin A>0，所以－2sin B＝0，sin B＝， 而B是锐角，所以B＝. 由余弦定理得b＝＝＝. (2)由余弦定理得cos C＝＝＝，而C是锐角， 所以sin C＝＝＝， 所以sin(2C＋B)＝sin ＝(sin 2C＋cos 2C) ＝ ＝sinC cos C＋cos2C－ ＝××＋×－＝－. 应用正弦、余弦定理解题的技巧 (1)求边：利用正弦定理变形公式a＝等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A等求解． (2)求角：利用正弦定理变形公式sin A＝等或余弦定理变形公式cos A＝等求解． (3)利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． 1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝7，c＝6，cos B＝，则a＝(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 解析　在△ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝＝， 化简得5a2－12a－65＝0，解得a＝5或a＝－(舍).故选A． 答案　A 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝1－，a＝3，b＝2，则sin B的值为(　　) A． B． C． D． 解析　由＝1－及正弦定理，得＝1－，可得b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理得cos A＝＝， 又0<A<π， 所以A＝.又a＝3，b＝2，由＝，得sin B＝＝.故选D. 答案　D 考点二　判断三角形的形状　一题多变　母题探究 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 (2)在△ABC中，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为________________． [解析]　(1)因为b cos C＋c cos B＝a sin A， 所以sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A， 即sin(B＋C)＝sin2A， 所以sinA＝sin2A，又0＜A＜π. 故sinA＝1，即A＝， 因此△ABC是直角三角形． (2)由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A， 所以sin (A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A， 故cos A(sin B－sin A)＝0， 所以cos A＝0或sin A＝sin B， 即A＝或A＝B， 故△ABC为直角三角形或等腰三角形． [答案]　(1)A　(2)直角三角形或等腰三角形 1．(变条件)若将本例中(1)的条件改为“2sin A cos B＝sin C”，试判断△ABC的形状． 解析　方法一　由已知得2sin A cos B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 即sin (A－B)＝0， 因为－π＜A－B＜π，所以A＝B， 故△ABC为等腰三角形． 方法二　由正弦定理得2a cos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b， 故△ABC为等腰三角形． 2．(变条件)若将本例中(1)的条件改为“＝”，试判断△ABC的形状． 解析　方法一　由余弦定理得＝＝，化简得(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0， 所以a＝b或c2＝a2＋b2， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 方法二　由＝可知cos A＞0，cos B＞0， 即A∈，B∈， 结合题意及正弦定理可得＝， 即sin A cos A＝sin B cos B， 所以sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π， 即A＝B或A＋B＝. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 判断三角形形状的两种常用途径 考点三　与三角形面积有关的问题　重难考点　师生共研 (1)在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，点D是线段BC上靠近点B的一个三等分点，AD＝1，若∠ADC＝，则c＝________． (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin A cos B＋b sin A cos A＝a cos C. (ⅰ)求角C的大小； (ⅱ)若a＝3，且·＝1，求△ABC的面积． [解析]　(1)依题意，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝BD·AD sin ＋CD·AD sin ， 而CD＝2BD，AD＝1，S△ABC＝，即BD·＋2BD·＝，解得BD＝， 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ＝，所以c＝. (2)(ⅰ)因为a sin A cos B＋b sin A cos A＝a cos C， 所以根据正弦定理得sin A sin A cos B＋sin A sin B·cos A＝sin A cos C， 因为sin A≠0，所以sin A cos B＋sin B cos A＝cos C， 即sin (A＋B)＝cos C，即sin C＝cos C. 因为cos C≠0，所以tan C＝. 因为0<C<π，所以C＝. (ⅱ)·＝bc cos A＝1. 因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以b2＋c2＝9＋2bc cos A＝11①. 因为c2＝a2＋b2－2ab cos C， 所以b2－c2＝2ab cos C－a2＝2×3×b×cos －32＝3b－9②. 联立①②可得2b2－3b－2＝0，解得b＝2(负根舍去)， 故△ABC的面积为ab sin C＝×3×2×＝. [答案]　(1)　(2)略 三角形面积问题的常见类型 (1)求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积． (2)已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系． (3)已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形． 1．在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　) A． B． C． D． 解析　在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝ac sin B＝×1×2× ＝.故选D. 答案　D 2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，＋＋＝1.则△ABC面积的最大值为(　　) A．1＋ B．1＋ C．2 D．2 解析　由＋＋＝1得＝1，化简得tan A＋tan B＝－1＋tan A tan B，得tan (A＋B)＝－1＝－tan C，故C＝. ∵c＝2，C＝，∴根据余弦定理得4＝a2＋b2－ab， ∵a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)， ∴ab≤2(2＋)， ∴S△ABC＝ab sin C≤1＋.故△ABC面积的最大值为1＋. 答案　A A级　基础过关 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，cos B＝，则A＝(　　) A． B． C． D．或 解析　在△ABC中，cos B＝，所以sin B＝＝，又a＝2，b＝3，所以由正弦定理可得sinA＝＝＝，又b＞a，所以A为锐角，所以A＝.故选A． 答案　A 2．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sin A＝6sin B，则c＝(　　) A． B． C．6 D．5 解析　因为sin A＝6sin B，则由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即c2＝62＋12－2×6×1×，解得c＝. 答案　B 3．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2，则△ABC的外接圆的半径为(　　) A．4 B．2 C．5 D． 解析　因为b＝1，C＝，△ABC的面积S＝2，所以S＝a×1×sin ＝2，解得a＝4，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(4)2＋12－2×4×1×＝25，解得c＝5(负值舍去)，所以结合正弦定理可知，△ABC的外接圆的半径为＝，故选D. 答案　D 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B等于(　　) A． B． C． D． 解析　根据正弦定理＝＝＝2R， 得＝＝， 即a2＋c2－b2＝ac， 得cos B＝＝，又0<B<π， 所以B＝，故选C. 答案　C 5．(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题正确的是(　　) A．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形 B．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形 C．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形 解析　对于A，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理得sin A cos A＝sin B cos B， ∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°， 即A＝B或A＋B＝90°， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，若b cos C＋c cos B＝b，则由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确； 对于C，若＝＝，则由正弦定理得＝＝，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确； 对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误． 答案　BC 6．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos B的值为________． 解析　设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，因为sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，所以a∶b∶c＝3∶2∶4，设a＝3k，b＝2k，c＝4k，k＞0，则cos B＝＝＝＝. 答案　 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，c＝b，则△ABC的面积为________． 解析　由余弦定理的推论得cos ＝＝－，因为c＝b，所以b＝2(负值舍去)，c＝2，所以S△ABC＝bc sin A＝×2×2×＝. 答案　 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos C＝a，且B＝，则a＝________． 解析　因为2b cos C＝a(2－c)，两边同时乘以a得2b cos C＝a2(2－c)，由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2ab cos C， 则a2＋b2－c2＝a2(2－c)，所以有a2＋c2－b2＝a2c， 又a2＋c2－b2＝2ac cos B，所以a2c＝2ac cos B，又因为B＝，所以a＝1. 答案　1 9．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC. (1)证明　由题设，BD＝，由正弦定理知＝，即＝， ∴BD＝，又b2＝ac，∴BD＝b，得证． (2)解析　由题意知BD＝b，AD＝，DC＝， ∴cos ∠ADB＝＝， 同理cos ∠CDB＝＝， ∵∠ADB＝π－∠CDB，∴＝， 整理得2a2＋c2＝， 又b2＝ac， ∴2a2＋＝， 整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得＝或＝， 由余弦定理知cos ∠ABC＝＝－， 当＝时，cos ∠ABC＝>1不合题意； 当＝时，cos ∠ABC＝. 综上，cos ∠ABC＝. 10．已知△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝. (1)求sin C的值； (2)若△ABC的面积S＝5，且c＝，求△ABC的周长． 解析　(1)由正弦定理可得，＝，得3sin B cos C－sin A cos C＝cos Asin C. 所以3sin B cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＝sin . 又sin ＝sin ＝sin B，且sin B≠0，所以cos C＝. 由sin C>0，故sin C＝＝. (2)S＝ab sinC＝5，所以ab＝15. 由余弦定理， c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－10　①. 又c2＝6(a－b)2＝6－180　②. 联立①②得a2＋b2＝34，c＝2. a＋b＝＝8. 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋2. B级　能力提升 11．(多选)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C为钝角，且c－b＝2b cos A，则下列结论中正确的是(　　) A．a2＝b(b＋c) B．A＝2B C．0<cos A< D．0<sin B< 解析　因为c－b＝2b cos A，所以由余弦定理得c－b＝2b·，因此c(c－b)＝b2＋c2－a2，整理得a2＝b(b＋c)，故A选项正确；因为c－b＝2b cos A，所以由正弦定理得sin C－sin B＝2sin B cos A，即sin (A＋B)－sin B＝2sin B cos A，所以sin A cos B－sin B cos A＝sin B，所以sin (A－B)＝sin B，由于C是钝角，所以A－B＝B，即A＝2B，故B选项正确；由于A＝2B，且C>90°，所以0°<A<60°，0°<B<30°，因此<cos A<1，0<sin B<，故C选项错误，D选项正确．综上，正确的结论是ABD. 答案　ABD 12．已知△ABC中，·＝－3，AB＝2，cos2A＋sin2B＋sin2C＋sinB sin C＝1，D是边BC上一点，∠CAD＝3∠BAD.则AD等于________． 解析　设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ∵cos2A＋sin2B＋sin2C＋sinB sin C＝1， 即sin2B＋sin2C＋sinB sin C＝sin2A， ∴b2＋c2＋bc＝a2，∴cosA＝＝－， 又A∈(0，π)，∴A＝， 又·＝－3，AB＝2， ∴·＝2b cos A＝2b×＝－3， 即b＝3， ∴a2＝b2＋c2＋bc＝32＋22＋3×2＝19， 故a＝， ∴cos C＝＝＝， sin C＝，tan C＝， 又∠CAD＝3∠BAD，A＝， ∴∠CAD＝，AD＝AC tan C＝3×＝. 答案　 13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解析　(1)方法一　在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DC sin ∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4. 在△ABD中，∠ADB＝， 由余弦定理得 c2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7， 解得c＝. 在△ABD中，cos B＝＝＝， sin B＝＝＝， 所以tanB＝＝. 方法二　在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DC sin ∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4. 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos ∠ADC， 即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝， 又AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，C＝，过A作AE⊥BC于点E，如图所示， 于是CE＝AC cos C＝，AE＝AC sin C＝，BE＝， 所以在Rt△AEB中，tan B＝＝. (2)方法一　在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2， 而b2＋c2＝8，则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin ∠ADC＝S△ABC＝， 解得sin ∠ADC＝1，而0<∠ADC<π， 于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 方法二　在△ABC中，因为D为BC的中点， 则2＝＋， 又＝－， 于是42＋2＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16， 即4＋a2＝16，解得a＝2， 又S△ADC＝××1×sin ∠ADC＝S△ABC＝， 解得sin ∠ADC＝1，而0<∠ADC<π， 于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. C级　拓广探索 14．设A，B，C为三角形的三个内角，且方程(sin B－sin A)x2＋(sin A－sin C)x＋(sin C－sin B)＝0有两个相等实根，则(　　) A．B＞60° B．B≥60° C．B＜60° D．B≤60° 解析　由已知得Δ＝0，即(sin A－sin C)2－4(sin B－sin A)(sin C－sin B)＝0，由正弦定理，得(a－c)2－4(b－a)(c－b)＝0，展开，得a2＋c2＋2ac＋4b2－4bc－4ab＝0，∴(a＋c－2b)2＝0，∴a＋c＝2b，∴b＝，∴cos B＝＝＝－≥－＝.当且仅当a＝c时，等号成立．∵cos B＞0，∴0°＜B＜90°，又y＝cos B在(0°，90°)上单调递减，∴B≤60°(当且仅当a＝c时等号成立). 答案　D 15．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(由以弦为边长得到的正方形组成)，如图1，类比“赵爽弦图”，构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大的等边三角形，设DF＝3AF，则图中阴影部分与空白部分的面积之比为(　　) A． B． C． D． 解析　设AF＝x，则DF＝3x，BD＝AF＝x，AD＝4x，由△DEF是等边三角形得∠EDF＝60°，则∠ADB＝120°，在△ABD中，根据余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB＝16x2＋x2－2·4x·x·＝21x2，易得S△EFD＝·DF·DE·sin 60°＝x2，S△ABC＝·AB·BC·sin 60°＝x2，∴＝，∴图中阴影部分与空白部分的面积之比为.故选B. 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $