期末培优：平面向量新定义问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形与向量综合问题复习讲义 解三角形与向量综合问题复习讲义 知识点解析 一、题型特征 题干给出课本没有的全新向量运算、新符号、新概念（如新数量积、向量距离、向量投影新定义、向量变换、平行/垂直新判定、模新运算等），结合向量线性运算、数量积、坐标运算求解求值、范围、最值、证明。 常见新定义形式： 1. 自定义新运算：、、； 1. 自定义度量：向量距离、斜投影、夹角新定义； 1. 自定义特殊关系：正交、共线新判定、等距向量； 1. 自定义变换：向量旋转、伸缩变换。 二、核心解题总思路 翻译定义→坐标化转化→常规向量计算 1. 读懂题干，把陌生新运算，逐字翻译成代数表达式； 1. 设向量坐标 ，把新定义全部写成坐标算式； 1. 转化为函数、不等式、二次函数最值、方程问题求解； 1. 严格遵循新定义规则，不能混用课本数量积、模长公式。 三、标准解题步骤 1. 拆读定义：圈出新运算等式，区分自变量、运算规则； 1. 坐标赋值：所有向量设平面直角坐标，消除向量几何抽象性； 1. 代入化简：将坐标代入新定义公式，展开得到代数式； 1. 常规求解： · 求值：直接代入数字计算； · 最值：化为二次函数、三角函数求范围； · 存在性：列方程判别式、不等式求解； · 证明：恒等变形推导等式/不等关系； 1. 检验边界：新定义常附带限制条件（夹角范围、非零向量），舍去不合理解。 四、万能解题技巧 1. 坐标优先 所有向量新定义，优先坐标化，几何作图难度大，坐标计算不易出错； 1. 区分新旧公式 题干新运算 ≠ 数量积、≠ 叉乘、≠ 模长，全程只用题目给的规则； 1. 特殊值试探 选择简单向量 代入新定义，快速理解运算逻辑； 1. 换元求最值 含单位向量、定模向量，用三角函数换元，转化单变量求值域； 1. 恒成立/存在性 整理成主元二次函数，利用判别式、对称轴、区间端点求参数。 五、高频易错提醒 1. 新旧公式混用（最常见扣分点） 题目自定义新乘积，做题却下意识用课本数量积 计算； 1. 漏看限制条件 新定义要求 为非零向量、夹角 ，结果出现零向量不取舍； 1. 坐标代入代换错误 新定义公式里系数、加减顺序看错，坐标代反； 1. 几何直观误导 用课本向量平行、垂直几何结论套新定义关系，逻辑不成立； 1. 求范围忘记定义域 设 后忽略 ，最值端点漏判。 例题分析 例1．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知三维向量 其中是两两不相等的正整数.记 其分量之间满足递推关系： (1)当 时，直接写出向量 (2)是否存在 使得 其中 若存在，请给出一组符合条件的三维向量 若不存在，说明理由； (3)证明:存在k∈，当i≥k时，向量 满足 【答案】(1)，，； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据递推公式依次计算前几项，确定序列周期后推导的结果. （2）利用反证法，假设存在满足条件的，逆推可得与初始条件矛盾，即可证明不存在. （3）构造每一步三个分量的最大值序列，利用正整数的有界性证明最大值必然递减到出现0分量，再验证出现0分量后乘积恒为0. 【详解】（1）∵ ， ∴ ，，，即 . ，，，即 . ，，，即 . ，，，即 . ，，，即 . 可知当时，向量序列以3为周期循环，循环节为. ∵ ， ∴ 与相同，即 . （2）不存在，理由如下： 假设存在，使得，为非负整数. ∵ ，，， ∴ . 不妨设，则，，两式相加得. 又，故，解得. ∴ ，以此类推可得，与题设是两两不相等的正整数矛盾. 故不存在，使得. （3）设，. ∵ ，同理，， ∴ ，即是不增的非负整数序列. 假设对任意，均大于0，则均为正整数，故. 不妨设，则. ∵ ，∴ ， 而，， 故，即是严格递减的正整数序列. 但正整数序列不能无限严格递减，矛盾，故必存在，使得中至少有一个为0，即. 当时，不妨设，（为非负整数，设）， 则，， 后续序列始终存在一个分量为0，故. 【点睛】方法归纳：解决递推类新定义问题可先计算前几项寻找周期或变化规律，存在性问题常用反证法推导矛盾，涉及正整数的变化问题可利用正整数的最小性原理证明结论. 易错归纳：计算周期时需准确对应下标与余数的关系，反证法推导时要保证分类讨论的完整性，避免遗漏特殊情况. 例2．（25-26高一下·上海闵行·期中）设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量”． (1)设函数，求的“相伴向量”； (2)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有4个不同的交点，求实数的取值范围； (3)记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题得，再结合“相伴向量”的定义求解即可； （2）根据题意，求得的解析式，研究函数的单调性，作出的图象，再根据交点个数，利用数形结合的方法求解即可； （3）根据题意，将问题转化为对任意恒成立，再根据恒成立问题求解最值即可． 【详解】（1）， 所以函数的“相伴向量”． （2）由题知：， ， 因为时，；时，， 所以在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减， 又， 所以的函数图象大致如图： 所以，当图象与有且仅有四个不同的交点时，， 所以，实数的取值范围为． （3）由题得， 所以， 由题得， 所以， 因为，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 设，当时，取到最大值， 所以，即的取值范围为． 例3．（25-26高一下·山东临沂·期中）设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为．定义伪叉积：．规定零向量与任意向量的伪叉积为零．已知对任意的、、、，满足，． (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)在锐角中，角的对边分别是，若，，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求出的余弦值，进而可得出的正弦值，结合题中定义可求得和的值； （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则，设，，则，，利用题中定义结合两角差的正弦公式化简可证得结论成立； （3）结合（2）可得，再由正、余弦定理与和角的正弦公式化简计算得到，利用三角形内角范围推得，由锐角三角形求出的范围，将所求式进行恒等变换为，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，，所以，，， 如下图所示： 所以， 所以为锐角，且， 结合图形可知，， . （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故. （3）因为，，且， 由（2）可知， 又由余弦定理， 所以，化简得， 因为，即，由正弦定理可得（*）， 又因为， 代入（*）化简得：，即， 又因为，则，所以，即， 因是锐角三角形，故，解得， 由， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是． 例4．（25-26高一下·重庆·期中）如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记． (1)在“仿射坐标系”中，，，求； (2)在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求； (3)如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）先利用仿射坐标系等价于直角坐标系的性质，直接对向量进行坐标线性运算求出对应坐标，再由向量模长公式直接算出模的值. （2）先在直角坐标系下写出基底的坐标表示，再依据仿射坐标系向量分解规则把向量转化为直角坐标形式，接着利用向量夹角余弦公式列出等式，化简方程后求解cos并结合题意舍去不合理解，最终求出夹角的值. （3）先在给定基底夹角的直角坐标系中写出两个基底的坐标，用参数表示的坐标，借助余弦定理由得到的约束等式，再利用中点向量公式表示出，展开数量积并化简为含的表达式，接着在三角形中用正弦定理把转化为角的三角函数，通过降幂公式化简，再用辅助角公式整理成正弦型函数，结合的范围求出最大值，最后代回数量积式子算出最大值. 【详解】（1）仿射坐标系即为直角坐标系，所以， 所以 ； （2）在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，， ， 整理得. 解得（舍去）或，所以； （3）在直角坐标系中，，， 设，，，，，即， ， 则，所以， ，分别为，的中点， 则，           中，由正弦定理， 设，则， 所以，， . 其中为锐角，且， 因为，则 ， 故当时，取得最大值， 则． 变式训练 变式1．（25-26高一下·福建宁德·期中）设两个非零向量，定义伪叉积：，其中是方向逆时针旋转到方向所成的角.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的，满足. (1)设，计算和； (2)设，求证：； (3)如图所示，四边形的外接圆圆心为，半径为4，对角线相互垂直且交点为，直线交于点分别为的中点，求三角形面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)7 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求出的余弦值，进而可得出的正弦值，结合题中定义可求得和的值； （2）设射线分别为角的终边，则，，，则，，利用题中定义结合两角差的正弦公式化简可证得结论成立； （3）建立合适的平面直角坐标系，利用向量叉乘将三角形的面积转化为，最后利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】（1）由平面向量数量积的坐标运算可得， 由于为锐角，则， 故， . （2）不妨设射线分别为角的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故，故. （3）以点为坐标原点，直线所在直线分别为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，由题意知， . 由垂径定理知， ， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大值为. 变式2．（25-26高一下·湖北武汉·期中）如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. (1)仿射坐标系中，为非零向量，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（请说明理由） (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； (3)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，点分别为中点，求的最小值. 【答案】(1)①成立，②不成立，理由见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①成立，②不成立； （2）由仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果； （3）设，以为基底将表示出来，得出数量积的表达式，再由正弦定理以及辅助角公式计算即可得出最大值. 【详解】（1）①成立，②不成立.理由如下： 若，则存在非零实数满足，因此，即，所以①成立， 若，可得， 则，因此不成立，即②不成立； （2）在仿射坐标系中，由， 可得，且， 所以， ，可得， ， 因为向量与的夹角为，可得， 解得； （3）在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上， 设，其中，所以， 因为，点为中点，可得 又因为分别为中点，可得， 所以， 可得， 因为，所以，即，即， 又由向量，且， 所以， 因为，可得， 代入得， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 变式3．（25-26高一下·宁夏银川·期中）如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，求； (2)若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； (3)在仿射坐标系下，设，若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)不正确，理由见解析； (3)． 【分析】（1）利用数量积的运算律及定义求解. （2）利用数量积的运算律，结合充要条件的定义推理判断. （3）由给定的定义，利用数量积的运算律，结合一元二次不等式恒成立列式求出范围. 【详解】（1），， 所以. （2）不正确，理由如下： 由及（1）知，，而向量， 则 ，而， 因此的充要条件是， 所以“”的充要条件是“”是不正确的. （3）由，得，， ， ， 不等式， 则， 依题意，对任意恒成立， 而，于是， 解得，又，则， 所以的取值范围是. 变式4．（25-26高一下·北京顺义·期中）已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数． (1)设，直接写出的所有可能结果； (2)求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次； (3)设，求的聚数的所有可能结果． 【答案】(1)或或 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接根据定义写出结论； （2）根据定义结合变换中维数的变化规律证明； （3）证明变换过程满足交换律、结合律（与实数加法、乘法的交换律、结合律一样），得出最后的聚数与变换过程中选取的数的顺序无关，从而易得结论． 【详解】（1）因为，则，，， 所以或或. （2）设，，则，，，，， ，，所以， ，，所以， 即， 所以维可聚向量经过一次变换后得维向量仍然是可聚向量， 这样经过次变换后变成一个数， 所以对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次； （3）定义运算#：，首先证明这个运算满足交换律与结合律： ，即运算“#”满足交换律， 又， ， 所以，即运算“#”满足结合律， 所以维可聚向量经过变换后所得可聚数与实施的具体操作过程无关， 因为，可作如下操作： 由（1）可知：，且，， ，， 则，再进行4次变换化为一项， 综上可知，的聚数为． 实战演练 1．（25-26高一下·江西赣州·期中）设非零向量 ，定义 (1)若 ，求 (2)写出 之间的等量关系，并加以证明； (3)若 求证：集合 是有限集. 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据所给定义即可求解，进而根据模长公式即可求解； （2）根据所给定义以及模长公式即可求解； （3）利用（2）的结论可得，进而可设，根据定义即可结合和差角的公式化简求解. 【详解】（1）因为， 则， 依题意得， 所以， 即，所以. （2）的等量关系是， 证明如下： 依题意得， 所以. 因为，所以 即， 所以， 故. （3）由（2）及得.依此类推得， 设， 则. 依题意得， ， ， 所以. 同理得， ， ， . 所以. 综上，集合是有限集. 2．（25-26高一下·上海杨浦·期中）对任意两个非零向量 ，定义： ． (1)若向量 ，求 的值，并求 在 方向上的投影； (2)若单位向量 , 满足 ，求 的值； (3)在 中，设 ，若 ，判断 的形状并说明理由． 【答案】(1)， 在 方向上的投影为； (2) (3)等边三角形 【分析】（1）根据新定义直接计算，再根据投影的定义计算投影； （2）利用新定义求得，再根据向量夹角的余弦公式计算； （3）记，把新定义化为数量积，结合余弦定理得出，即，设，利用三个分子相加等于0求得，从而可得出结论. 【详解】（1），， 所以， 在 方向上的投影是； （2）由， 解得， 所以； （3）记， 由题意，，， 因为，所以， 所以， ，可得， 由余弦定理，，即， 设，则， 三式相加得，所以， 将其代入各式，可得，即是等边三角形. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形与向量综合问题复习讲义 解三角形与向量综合问题复习讲义 知识点解析 一、题型特征 题干给出课本没有的全新向量运算、新符号、新概念（如新数量积、向量距离、向量投影新定义、向量变换、平行/垂直新判定、模新运算等），结合向量线性运算、数量积、坐标运算求解求值、范围、最值、证明。 常见新定义形式： 1. 自定义新运算：、、； 1. 自定义度量：向量距离、斜投影、夹角新定义； 1. 自定义特殊关系：正交、共线新判定、等距向量； 1. 自定义变换：向量旋转、伸缩变换。 二、核心解题总思路 翻译定义→坐标化转化→常规向量计算 1. 读懂题干，把陌生新运算，逐字翻译成代数表达式； 1. 设向量坐标 ，把新定义全部写成坐标算式； 1. 转化为函数、不等式、二次函数最值、方程问题求解； 1. 严格遵循新定义规则，不能混用课本数量积、模长公式。 三、标准解题步骤 1. 拆读定义：圈出新运算等式，区分自变量、运算规则； 1. 坐标赋值：所有向量设平面直角坐标，消除向量几何抽象性； 1. 代入化简：将坐标代入新定义公式，展开得到代数式； 1. 常规求解： · 求值：直接代入数字计算； · 最值：化为二次函数、三角函数求范围； · 存在性：列方程判别式、不等式求解； · 证明：恒等变形推导等式/不等关系； 1. 检验边界：新定义常附带限制条件（夹角范围、非零向量），舍去不合理解。 四、万能解题技巧 1. 坐标优先 所有向量新定义，优先坐标化，几何作图难度大，坐标计算不易出错； 1. 区分新旧公式 题干新运算 ≠ 数量积、≠ 叉乘、≠ 模长，全程只用题目给的规则； 1. 特殊值试探 选择简单向量 代入新定义，快速理解运算逻辑； 1. 换元求最值 含单位向量、定模向量，用三角函数换元，转化单变量求值域； 1. 恒成立/存在性 整理成主元二次函数，利用判别式、对称轴、区间端点求参数。 五、高频易错提醒 1. 新旧公式混用（最常见扣分点） 题目自定义新乘积，做题却下意识用课本数量积 计算； 1. 漏看限制条件 新定义要求 为非零向量、夹角 ，结果出现零向量不取舍； 1. 坐标代入代换错误 新定义公式里系数、加减顺序看错，坐标代反； 1. 几何直观误导 用课本向量平行、垂直几何结论套新定义关系，逻辑不成立； 1. 求范围忘记定义域 设 后忽略 ，最值端点漏判。 例题分析 例1．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知三维向量 其中是两两不相等的正整数.记 其分量之间满足递推关系： (1)当 时，直接写出向量 (2)是否存在 使得 其中 若存在，请给出一组符合条件的三维向量 若不存在，说明理由； (3)证明:存在k∈，当i≥k时，向量 满足 例2．（25-26高一下·上海闵行·期中）设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量”． (1)设函数，求的“相伴向量”； (2)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有4个不同的交点，求实数的取值范围； (3)记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 例3．（25-26高一下·山东临沂·期中）设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为．定义伪叉积：．规定零向量与任意向量的伪叉积为零．已知对任意的、、、，满足，． (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)在锐角中，角的对边分别是，若，，且，求的取值范围． 例4．（25-26高一下·重庆·期中）如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记． (1)在“仿射坐标系”中，，，求； (2)在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求； (3)如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 变式训练 变式1．（25-26高一下·福建宁德·期中）设两个非零向量，定义伪叉积：，其中是方向逆时针旋转到方向所成的角.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的，满足. (1)设，计算和； (2)设，求证：； (3)如图所示，四边形的外接圆圆心为，半径为4，对角线相互垂直且交点为，直线交于点分别为的中点，求三角形面积的最大值. 变式2．（25-26高一下·湖北武汉·期中）如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. (1)仿射坐标系中，为非零向量，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（请说明理由） (2)在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； (3)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，点分别为中点，求的最小值. 变式3．（25-26高一下·宁夏银川·期中）如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． (1)若，求； (2)若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； (3)在仿射坐标系下，设，若对任意恒成立，求的取值范围. 变式4．（25-26高一下·北京顺义·期中）已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数． (1)设，直接写出的所有可能结果； (2)求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次； (3)设，求的聚数的所有可能结果． 实战演练 1．（25-26高一下·江西赣州·期中）设非零向量 ，定义 (1)若 ，求 (2)写出 之间的等量关系，并加以证明； (3)若 求证：集合 是有限集. 2．（25-26高一下·上海杨浦·期中）对任意两个非零向量 ，定义： ． (1)若向量 ，求 的值，并求 在 方向上的投影； (2)若单位向量 , 满足 ，求 的值； (3)在 中，设 ，若 ，判断 的形状并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $