四川省南充高级中学嘉陵校区2025-2026学年高二下学期第12周数学周练

嘉陵校区高2024级第12周数学周练 一、单选题 1.定义“各位数字之和为6的三位数叫幸运数”，如123,222，则所有幸运数的个数为 A.21 B.16 C.11 D.6 2.·下列导数运算中正确的是 A.(6n)=cos号 B.62 C.(e2=e2 D.(2- 3.已知函数f(x)=(x-2023)(x-2024)(x-2025)(x-2026),则f(x)的图象在x=2026处的切线方程为 A.2x+y-4052=0 B.6x-y-12156=0 C.2x-y-4052=0 D.6x+y-12156=0 4.若实数a,b,c,d满足(a-b)}2+(c-)=0,则ac+(b-d)}≥m恒成立，则实数m的取值范围是 C.（-o,②] D.(-∞，2 5.10个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放两个小球，有()种方法 A.10 B.20 C.30 D.60 6.(1-2x)(1+3x)展开式中含x2的系数 A.120 B.27 C.126 D、-26 7.将a,a,a,b，,b,c,d这7个字母排成一排，要求相同的字母不相邻，共有（排法 A.96 ′B.126 C.64 D.360 8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者 只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为 A君 6 B.25 c 16 D.25 二、多选题 9.已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，.{b,}是等比数列，T为其前n项和，则必有 A.a2+a+as=3as B.bbbb=b C.%,S2-S%,Ss-S2成等差数列 D.T6,2-T6,T8-T2成等比数列 10.已知函数f(x)=(3x-10)°=a+a(x-2)+a2(x-2)2+…+a(x-2)3,则 A.a+4+a2+…+as=78 B.4+a+a4++46=P+1 2 C、a,=-32×37 D.受++尝++- 11.某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动，以下说法正确的是 A.5人中选出四个人安排到四个社区，每个社区都有人，则不同方法数为120 B.每人都只安排到一个社区，每个社区至少有一人，则不同的方法数为480 C.每人都只安排到一个社区，如果D社区不排，其余三个社区至少安排一人，则这5名老师全部被安排的 不同方法数为150 D.每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区，其余三位老师四个社区均可安排， 则不同安排方案的种数是126 三、填空题 12.现有甲、乙等5人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班且每人只值班1天若要求甲、乙在同 一天值班，则不同的安排方案有种.（用数字作答) l3.若不等式e+a≥lnx二a恒成立，则实数a的取值范围大 14、杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九 1 章算法》中把二项式系数写成一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用 1 这些性质，解决了很多数学问题如图所示，由杨辉三角左腰上的各数出发引 12 一组平行线，第1条线上的数字是1；第2条线上的数字是1；第3条线上的数 1-3,31 字是1,1；第4条线上的数字是1,2，那么第21条线上的数共有 -4-641 个， 510105 其中最大的数是 ·(用数字表示) -1615201561 。。。。e 四、解答题 15.在等差数列an}中，a1+4=a4+1,a2+4=a6-2. (1)求数列{a}的通项公式： (2)对任意meN°，将数列{an}中位于区间(3”"，9m)内的项的个数记为b。,求数列{bm}的前m项和Sm· 16.已知f(x)=blnx-2x2+a,其中a,b为实数，曲线f(x)在(1，f(1)处的切线方程为8x+y-~=0. (1)求实数a,b的值； ②诺曲线C:y=x+a1是曲线c的切线，且1经过点（←1,0），求1的方程， 17.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)e*-x. (I)若a=0,求函数在x∈L,3]的最值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围 18.已知函数f(x)=ax3+3six-x,其导函数为f'(x): (1)当a=1时，求函数f'(x)的值域； (2)当x∈[0，时，f()≥0恒成立，求实数a的取值范围 19.已知双曲线C:若若=1a>0i>0的焦距为25，离心率为，5. (1)求C的方程、 (2)已知数列{a}是正项数列，a=2,点Pn（Wa,+1,√a)n∈N)在C上. (1)证明{a}为等比数列，并求{an}的通项公式； (i)过点P且斜率为1的直线1与C的另一个交点为M,求RM. 《高2024级第12周数学周练》参考答案 1.A【详解】设三位数的百位、十位、个位数字分别为a,b,c,a≠0因为a+b+c=6,所以a∈{1,2,3,4,5,6， 当a=1时，b+c=5,b∈{0,1,2,3,4,5}，幸运数为105,114,123,132,141,150，共6个， 当a=2时，b+c=4,b∈{0,1,2,3,4}，幸运数为204,213,222,231,240，共5个， 当a=3时，b+c=3,b∈{0,1,2,3}，幸运数为303,312,321,330，共4个， 当a=4时，b+c=2,b∈{0,1,2，幸运数为402,411,420，共3个， 当a=5时，b+c=1,b∈{0，}，幸运数为501,510，共2个， 当a=6时，b+c=0,b=c=0,幸运数为600，共1个，综上所述三位数字之和为6的幸运数总计21个. 2,B【详解】对于A由血号为常数。所以m-0,所以A不正确：对于B,由K=(问-方- 2E,所 以B正确：对于C,由复合函数的求导法则，可得(e2y=c2.(2x=2e2“,所以C错误； 对于D,由复合函数的求导法则、可得Q=左2y之2-子所以D错误 2x 3.B【详解】因为f(x)=[(x-2023)(x-2024)x-2025)](x-2026), 则f'(x)=(-2023)(x-2024)x-2025)+(x-2026)[(x-2023)(x-2024)(x-2025)],所以f'(2026)=6, 又(2026)=0，所以f(x)的图象在x=2026处的切线方程为y=6(x-2026),即6x-y-12156=0. 4.A【详解】因为(a-b)2+(c-e)2=-0,所以a=b,c=e4,则d=lnc,(a-c)2+(b-2=(a-c)2+(a-lnc)2. 设A(a,a),B(c,lnc),设T=√(a-c)2+(a-lnc), 则T的几何意义是直线y=x上的点A(a,a)与曲线y=f(x)=lnx上的点B(c,hc)的距离， 将直线y=x平移到与曲线y=()=x相切时，切点B到直线y=x的距离最小.而∫)=，令f()=上=1，则 大=，可阳心0.此时点8到直线y=的题寒为是-号，如-号所以宁放≤写 6.D【详解】根据题意知，含x2的项由以下三项合并而成，(1-2x)展开式中的常数项与(1+3x)展开式中的二次项的 积；1-2x)°展开式中的一次项与(1+3x)展开式中的一次项的积；(1-2x)展开式中的二次项与(1+3x)展开式中的常 数项的积；所以CC(3x)2+C(-2x)C4(3x)+C(-2x)2.C°=54x2-120x2+40x2=-26x2, 所以(1-2x)(1+3x)4展开式中含x2的系数是-26. 8.B【详解】将甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作，每个社区的人数分别为3、1、1或 2、2、1, 所以不同的分法种数为C+A发2A好=10+10x3》 2 ×6=150种； 现在考虑甲、乙安排在同一个社区，若甲、乙所在社区有3人，需从另外3人中选1人与甲、乙同组， 再将此3人组和另外两个1人组安排到三个社区，分法种数为CA?=18种； 若甲、乙所在社区只有他们两人，需将剩余3人分为一个2人组和一个1人组， 再将这三组（甲、乙组，2人组，1人组）安排到三个社区，分法种数为CA?=18种， 综上所述，甲、乙安排在同一个社区的概率为18+18=6」 15025 9.ABC【详解】对A:a2+a4+a,=a2+a+a=a5+a6+a4=3a5,故A正确 对B:bb,b,,=(么b)(b,b)=b话b好=bg，故B正确： 对C:设等差数列{an}的公差为d,则S6=6a+15d,S2-S6=12a+66d-6a,-15d=6a,+51d, Se-S2=18a+153d-12a,-66d=6a+87d,则S2-S6-S6=36d,(S8-S2)-(S2-Ss)=36d, 即有(S2-S。)S。=(S-S2)-(S2-S),故S6,S2-6,S8-S2成等差数列，故C正确： 对D:当b,=(-1)”时，有7，=-1+1-1+1-1+1=0，故此时T%,2-T6,8-T不成等比数列，故D错误 10.BCD【详解】令t=x-2,则x=1+2,f(x)=[3(1+2)-10]=(31-4)°=a+a1+a,2+…+a,4, 令1=1，则a,+a,+a,+…+a。=(3-4)°=1≠7，故A错误； 当1=1时，则a。+a+a,+…+a,=(3-4)°=1，当1=-1时，则a。-a+4,-4++a=(-3-4)=73. 答案第1页，共4页 4+a,+a,十+4=生，故B正确： (-4+31)3展开式通项为741=C哈(3)(4)， 则a,对应k=7,即a,=Cg-37(-4)=8×(-4)×3’=-32×37,故C正确： -48，故D 正确、 1I.ACD【详解】5人中选出四个人安排到四个社区，每个社区都有人，则不同方法数为A;=5×4×3×2=120.故选项A 正确.先选出2人组成一组然后再选一个社区安排，则有C?·C4=10×4=40,再将剩下的3人安排下去则有A;=6,则 一共有40×6=240，则选项B错误. 选项C:先将5名老师分成3组，人数可为1,1,3或1,2,2， 若人数为1,1,3时，则有CA号=60种不同的安排方法； 若人数为1,2,2时，则有CS×A=90种不同的安排方法， A 由分类计数原理得，共有60+90=150种不同的安排方法，所以C正确； 选项D:每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区， 若A社区安排两人，则有CA=18种不同的安排方法； 若A社区只安排一人，则有CCA=108种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有18+108=126种不同的安排方法，所以D正确。 12.36【详解】因为甲、乙在同一天值班，所以甲乙捆绑在一起，与剩下的三人分组分配到三天，分为1,1,2，则 有CA=36, 13.(0〔详解】由题意知了()-2x-a心有两个相异实根，即a-2兰，也即y=a与8(-芒的图象有两个交 e 点8)=2-2x,所以当x<1时，88>0,8单调递增，当x>1时，8（☒<0，g)单调递 且g(0)=0,当x>0时，g(x)>0,所以g(x)在x=1处取得极大值也即是最大值为 g刊-是面出8()的图象如下图所示，由图可知，要使y=a与8)-兰的图象有两 y=8x) 个交点，则需0<a<2故答案为： 0 y=a e e 14.11 3003 【详解】依据给定条件我们发现第8条线为1,6,10,4，第9条线为1,7,15,10,1， 第10条线为1,8,21,20,5，第11条线为1,9,28,35,15,1， 第12条线为1,10,36,56,35,6，第13条线为1,11,45,84,70,21，I, 第14条线为1,12,55,120,126,56,7，第15条线为1,13,66,165,210,126,28,1， 第16条线为1,14,78,220,330,252,84,8，第17条线为1,15,91,286,495,462,210,36,1， 第1条线和第2条线有1个数，第3条线和第4条线有2个数， 第5条线和第6条线有3个数，第7条线和第8条线有4个数， 所以线的个数每增加2，其含有数字的个数增加1， 所以第21条线上的数共有11个 我们发现第1条线只有数字1，所以它的最大数字为1， 第5条线有1,3,1，所以最大数字为3， 第9条线有1,7,15,10,1，所以最大数字为15， 第13条线有1,11,45,84,70,21,1，所以最大数字为84， 第17条线有1,15,91,286,495,462,210,36,1，所以最大数字为495， 若设线的条数为4n+1,则第21条线中的最大数字也满足第1,5,9,13条线上的最大数字的规律， 而我们继续写杨辉三角，我们可以得到剩下的行， 第8行为1,7,21,35,35,21,7,1，第9行为1,8,28,56,70,56,28,8,1， 第10行为1,9,36,84,126,126,84,36,9,1， 第11行为1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1， 第12行为1,11,55,165,330,462,462,330,165,55,11,1， 第13行为1,12,66,220,495,792,924,792,495,220,66,12,1， 答案第2页，共4页 第14行为1,13,78,286,715,1287,1716,1716,1287,715,286,78,13,1， 第15行为1,14,91,364,1001,2002,3003,3432,3003,2002,1001,364,91,14,1， 第16行为1,15,105,455,1365,3003,5005,6435,6435,5005,3003,1365,455,105,15,1， 我们观察第1条线的最大值，它是第1行第1个数， 第5条线的最大值是第4行的第2个，第9条线的最大值是第7行的第3个， 第13条线的最大值是第10行的第4个，第17条线的最大值是第13行的第5个， 所以我们归纳出如下规律，在线的条数为4n+1时， 其包含的数字的最大值在杨辉三角中行数每增加3，数字的位置向右平移1位， 所以第21条线的最大值是第16行的第6个，为3003.故答案为：11；3003 15.④0，=3m+1g②3.=3-43+1 8 【详解】(1)由题意知， a+a3=a4+1 4+4=g-2两式相减，得a2-a1=a6-a4-3, ∴.d=2d-3,d=3,代入a+a=a4+1,得a+a+6=a+9+1,解得a=4,所以an=a+(n-)d=3n+1; (2)对任意meN,3”<3n+1<9,3m-1<3n<9m-1,即3m-1-言<n<32m1-青 而neN°，故3m-1≤n≤32m-1-1,由题意可知bn=(32m-1)-3m+1=32m1-3m-, 于是8.=么+++6，=3+3+…+32a-(°+3+…+3）-3-9）1-3-213- 1-91-38 2 即Sm=32m13-3-1_32m1-43”+1 8 2 8 16.(1)a=-1,b=-4(2)3x+y+3=0或3x+4y+3=0 【详解】(1)f八=b加x-2x2+a,了()-名-4x,由曲线y=f倒在点f)处的切线方程为8x+y-5=0, 切点为(1-3)，斜率k=-8,可得a-2=-3,即a=-1,'(1)=b-4=-8,解得b=-4. (2)曲线C:y=-x-1,求导得y=-3x2,设曲线与过点(1,0)的切线相切于点A,-x号-1)， 则切线的斜率k=-3x场，所以切线方程为y-（-x号-1)=-3x(x-x), 由于切线过点(1,0)，得0-（-x-1=-3x(-1-x), 化简为2x+3x-1=0,即(x+122x。-)=0,解得=-1或=2， 故所求的切线方程为3x+y+3=0或3x+4y+3=0. 17.(1)最大值为-2e-1,最小值为-2e3-3.(2)当a≤0时，f(x)在(-∞，+∞)上单调递减：当a>0时，f(x)在(-o,-lna) 上单调递减，在(-na,+o∞)上单调递增.(3)(0，). 【详解】(1)：a=0,则f(x)=-2e*-xx∈[l,3]；f"(x)=-2e-1<0,即f(x)在[1,3]内单调递减. ∴f(x)x=f(0=-2e-1,f(x)n=f(3)=-2e3-3; 即函数在x∈[山，3]时的最大值为-2e-1,最小值为-2é'-3 (2)f(x)=ae2“+(a-2)e-x,则函数f(x)的定义域为(-o,+oo): ∴.f'(x)=2ae2+(a-2)e*-1=(2e*+1(ae*-1） 当a≤0时，f'(x)<0,即f(x)在(-o,+∞)上单调递减： 当.a>0时，令f(x)=0,即(2e+1(ae*-1)=0,解得x=-lna. 若x>-lna,则f'(x)>0,即f(x)在(-lna,+o)上单调递增； 若x<-na,则f'(x)<0,即f(x)在(-o,-lna)上单调递减； 综上所述，当a≤0时，f(x)在(-o,+o)上单调递减： 当a>0时，f(x)在(o,-lna)上单调递减，在(-na,+o)上单调递增 (3)由(2)知，当a≤0时，f(x)在(-o,+∞)上单调递减，f(x)最多只有一个零点，不符合题意： 当a>0时，f(x)在(-o,-lna)上单调递减，在(-lna,+o)上单调递增，(x)在x=-血a处取得极小值，也是最小 值：即f(x)=f(-lna）=ae2ma+(a-2)e-(h)=na-1+1 答案第3页，共4页 有2个学点，0，即血a-1k0令g网=ax士中k>0,则g肉-子-0： ∴g(x)在(0，+∞)上单调递增又g()=lnl-1+1=0,x∈(0，)时，g(x)<0; ÷8(a)=na-+1<0,得0<a<1:即a的取值范围为(0,1). 18.(0l+ojQ[+【详解】D当a=1时，f-=+3nx-xeR,则/()=3+3coer-l1. 令8(x)='(x),则g(x)=6x-3six=3x(2x-six).令h(x)=2x-sinx,则H()=2-cosx>0, 所以h(x)在R上单调递增，且h(O)=0. 所以x>0时，h(x)=8()>0,所以g()=f(x)在(0，+∞)上单调递增： 当x<0时，h()=g(x)<0,所以g)=∫(x)在(-，0)上单调递减。 所以f'(x)mn=f'(0)=2,所以f'(x)的值域为[2，+∞) (2)当x=0时，f(0)=0,则f()≥0恒成立，所以a∈R当x>0时，由f(≥0，得a≥X-3six 令-，则r-2-3 G(x)=9sinx-2x-3xcosx,G'(x)=3xsinx+6cosx-2. H(x)=3xsinx+6cosx-2,x)=3xcosx-3sinx. 令K(x)=3 xcOSx--3sinx,则K'(x)=-3 xsinx. 当0<xsπ时，K'(x)=-3 xsinx≤0，当且仅当x=π时，等号成立，故K(x)在(0，π上单调递减， 又K(O)=0,所以H'(x)=K(x)<K(O)=0,故H(x)在(O,上单调递减. 因为H(0)=4>0,H()=-8<0,所以存在x∈(0，π)，使得G'(x)=H(x)=0. 所以G(x)在(0，x)上单调递增，在(x,)上单调递减， 由于G(0)=0,G()=π，于是当x∈(0，π时，G(x)m=min(G(0,G(m》=min(0,)=0G(x)>0,此时F'(x)>0, 所以F问在Q可上单调递增，F(似在(Q对上的最大值为F(回是，所以a≥产， 绿上，实数a的取值范丽是[日加 19.(1)x2-上=1(2)(1)证明见解析，a,=2:(42 2 【详解】(1)因为双曲线C: 子-若1（a>0,b≥0)的焦距为23，高心率e=V = 所以有{a 6-=e-c-2-号-： 2c=2v5 (a=1 (2)(1)因为点P(a,+1,Va)在C上，所以a+1-=.1, 2 即an+1=2an,所以{a,}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an=22”-=2" (ⅱ)由(i)易得4=8，a4=16,所以乃(3,4)，则直线1的方程为y=x+1. y=x+I, 由-子1得x-2x-3=0,解得x1或x3.固为69所8M40小 所以，M=V3+1)2+(4-0)2=42. 答案第4页，共4页