2.3.3 点到直线的距离公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

本讲义聚焦点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式两大核心知识点，前有坐标法、向量法推导过程作铺垫，后延伸至公式在求参数、最值问题中的应用，构建从定义推导到实际应用的完整知识支架。 该资料以乡村饭馆铺路、立定跳远等生活情境导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过多法推导公式提升数学运算与逻辑推理素养，分层设计即时练、跟踪训练及A/B/C级检测，课中助力互动教学，课后帮助学生查漏补缺，如母题探究通过参数问题强化数学思维应用。

2.3.3 点到直线的距离公式 新课导入 在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短? 学习目标 1.通过坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，提升数学运算与逻辑推理素养. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 新知学习 探究 一 点到直线的距离 思考1．什么是点到直线的距离？ 提示： 点到直线的距离是该点与直线上任一点的距离的最小值，也就是过该点向直线所引的垂线段的长度. 思考2．向量是解决空间距离问题的有力工具，如图所示，怎样用向量方法求点到直线的最短距离呢？ 提示： 从直线 上任取一点，可以看作 在直线 的垂线上的投影向量，求出 的模即可. ［知识梳理］ 1．定义：点到直线的距离，就是从点到直线的垂线段的长度，其中是①_ _ . 【答案】垂足 2.图示： 3．公式：点到直线，不同时为0)的距离②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［即时练］ 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1） 当点在直线上时，点到直线的距离公式不适用了.（ ） （2） 点到直线的距离为.（ ） （3） 直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离.（ ） （4） 点到与轴平行的直线的距离.（ ） 【答案】（1） × （2） × （3） √ （4） × 2．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为_ _ _ _ . 【答案】 【解析】直线，即，则点 到直线 的距离为. 3．已知的三个顶点，，，则边上的高为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】，则直线 的方程为，即，则点 到直线 的距离为，则 边上的高为. 点到直线的距离的求解方法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可. （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线或,求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或. 二 点到直线距离公式的简单应用 角度1 求参数 ［例1］ （多选）已知点，到直线的距离相等，则斜率的值可以是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】AC 【解析】方法一：直线 转化为一般式方程，由点,到直线的距离相等，可得，解得 或. 方法二：直线 过定点，线段 的斜率为，当直线 与直线 平行时，点,到直线 的距离相等，此时； 当直线 经过 的中点 时，点,到直线 的距离相等，此时. 综上，或. 母题探究1．本例中，若点到直线的距离为3，则实数的值为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】直线 转化为一般式方程，由点到直线的距离公式得，解得. 母题探究2．本例中，若点到直线的距离不超过2，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】， 【解析】直线 转化为一般式方程，由题意可得，化简得，解得. 求参数的值或取值范围的方法 利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程（组）或不等式,通过解方程（组）或不等式求解. 角度2 最值问题 ［例2］ （1） 已知点为直线上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. （2） 点到直线的距离的最大值为_ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 2 【解析】 （1） 因为点 为直线 上任意一点，又 的几何意义为直线上的点到 的距离，故最小值为 到直线的距离，即最小值为. （2） 易知直线 恒过定点，当点 与定点的连线垂直于直线 时，满足题意，此时距离的最大值为. （1）有关代数式的最值问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. （2）点到过定点的直线的最大距离就是该点到定点的距离. ［跟踪训练］． （1） 已知点为两条直线和的交点，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 （2） 已知点到直线和直线的距离相等，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 或 【解析】 （1） 选.由 得 即， 直线，所以直线 过定点，所以当直线 与直线 垂直时，点 到直线 的距离最大，且最大值为. （2） 由题知， 化简得，所以，解得 或. 课堂巩固 自测 1．点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】选.点 到直线 的距离. 2．（多选）已知点及直线上一点，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BCD 【解析】选.易知点 到直线 的距离，所以，因此，，选项符合题意. 3．已知,两点到直线的距离相等，则_ _ . 【答案】4或6 【解析】由于点 与点 到直线 的距离相等，则有，解得 或. 4．（教材P79 T11改编）在直线上求一点，使得以，和为顶点的三角形的面积为2. 解：易知直线 的方程为，化简得，. 由题意设点，则点 到直线 的距离， 故，解得 或，则 或. 1.已学习：点到直线距离公式的推导及应用. 2.须贯通：应用点到直线的距离公式解决问题时，常利用数形结合思想. 3.应注意：在应用点到直线的距离公式时，特别注意，直线的方程应用一般式. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知点到直线的距离为1，则（ ） A. 0或2 B. 1或2 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】选.因为点 到直线 的距离为1，所以，解得 或. 2．已知点在直线上，为原点，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】选.原点到直线上的点的距离的最小值为原点到直线的距离，由点到直线的距离公式可得，所以 的最小值为. 3．到直线的距离为的点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.设到直线 距离为 的点的坐标为，则由点到直线的距离公式得，解得 或.选项中符合条件的点为. 4．若点到直线的距离不超过，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】选.由题意知，即，解得，又，所以. 5．[（2025·汕头期中）]点到直线为任意实数)的距离的最大值是（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】选.将直线方程 变形为，由此可得直线 恒过点，不妨设为，所以点 到直线 的距离最大为，此时直线 垂直于. 又，所以点 到直线 的距离的最大值为. 6．（多选）已知直线，点和到直线的距离分别为,且，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】选.因为点 到直线 的距离为， 点 到直线 的距离为， 又，所以，可得，解得 或，故直线 的方程为 或. 7．已知直线过点，倾斜角为 ，则坐标原点到直线的距离为_ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意知，斜率为，则直线 的方程为，即，则坐标原点到直线 的距离为. 8．[（2025·武汉期中）]已知正方形中心的坐标为，若直线的方程为，则与边垂直的两条边所在的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】和 【解析】由,可得，则与 边垂直的两条边所在的直线的斜率均为，其方程可设为，即.由正方形的性质，可知点 到直线 的距离等于它到直线 的距离，故有，解得 或，故与 边垂直的两条边所在的直线方程为 和. 9．已知点在直线上，若的最小值为4，则_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或9 【解析】因为点 在直线 上，那么 的最小值是定点 到直线 的距离 的平方， 所以， 解得 或. 10．[（2025·石家庄期中）]（13分）已知的三个顶点分别为,,. （1） 求边上的高所在直线的方程；（5分） （2） 若直线过顶点，且原点到直线的距离为2，求直线的方程.（8分） 【答案】 （1） 解：直线 的斜率为， 所以边 上的高所在直线的斜率为， 所以边 上的高所在直线的方程为，即. （2） 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为，符合题意； 当直线 的斜率存在时，直线 的方程可设为，即， 由题意，原点到直线 的距离为2，即， 解得，所以所求直线 的方程为. 综上，所求直线 的方程为 或. B 能力提升 11．已知直线恒经过点，则点到直线的距离是（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】选.直线方程 变形为, 联立 解得 所以，则点 到直线 的距离. 12．已知,,两点都在直线上，且,两点横坐标之差为2，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】选.设，,则， ， 显然点 不在直线 上，则 边 上的高，所以 的面积. 13．[（2025·东莞期中）]（13分）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，. 求： （1） 直线的方程；（6分） （2） 平行四边形的面积.（7分） 【答案】 （1） 解：因为平行四边形 的三个顶点的坐标分别为，，， 所以， 所以直线 的方程为， 整理得直线 的方程为. （2） 点 到直线 的距离， ， 所以平行四边形 的面积. 14．（15分）已知射线所在直线的方向向量为，点在内，于点. （1） 若，,，求的值；（7分） （2） 若，的面积是，求的值.（8分） 【答案】 （1） 解：因为,， 则， 因为，则直线 的一个方向向量为， 所以直线 的方程为，所以点 到直线 的距离为， 所以. （2） 因为直线 的一个方向向量为，所以直线 的方程为，即. 点 到直线 的距离为， ， ， 可得 或，即 或，因为，解得 或. C 素养拓展 15．[（2025·衡水期中）]，，函数的最小值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】 设点，和直线，，到 的距离分别为，，易知,如图，显然. 2.3.4 两条平行直线间的距离 新课导入 立定跳远是指不带助跑的原地跳远，是在两腿蹬伸、上体伸展、两臂用力摆动情况下,使身体腾起并获得远度的跳跃项目，是《国家体育锻炼标准》项目之一.立定跳远测量的是什么距离？ 学习目标 1.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，提升数学运算、直观想象及逻辑推理素养. 2.掌握两条平行直线间的距离公式，并能灵活应用. 新知学习 探究 一 两条平行直线间的距离 思考1．点到直线的距离公式是什么？ 提示： . 思考2．已知两条平行直线，，从上任取两点分别求到的距离，两个距离有什么关系？ 提示：相等. ［知识梳理］ 1．定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的①_ _ _ _ _ _ _ _ 的长. 【答案】公垂线段 2.图示： 3．公式：两条平行直线与，不同时为0，之间的距离②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［例1］ （1） （对接教材例7）两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. （2） [（2025·北京期中）]直线与直线之间的距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 方程 变形为，由两条平行直线间的距离公式可得所求距离. （2） 两直线方程化成一般式得，,，易得两直线平行，所以两直线间的距离为. 求两条平行直线间的距离的思路 （1）利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. （2）直接利用两条平行直线与，不同时为0，间的距离公式. 注意 使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般式，二是两直线方程中,的系数分别相同. ［跟踪训练1］．已知直线,分别与轴、轴的交点连线构成四边形，则四边形的面积为_ _ _ _ . 【答案】9 【解析】由题意知，,分别令,，可得 与坐标轴的交点坐标为，,与坐标轴的交点坐标为,.四边形中互相平行的两边长分别为,. 直线,之间的距离为，故四边形的面积为. 二 平行直线间距离公式的简单应用 角度1 求参数 ［例2］ （1） 若两条直线与间的距离为，则（ ） A. 3 B. 5 C. 3或 D. 或5 （2） 已知直线和直线，直线与,的距离分别为,，若，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 或 【解析】 （1） 根据平行直线间的距离公式，可得，所以 或. （2） 由题意知，,,两两平行，设直线 的方程为，由平行直线间的距离公式可得，所以 或，所以直线 的方程为 或. 母题探究．本例（2）的条件“”改为“”，求直线的方程. 解：设直线 的方程为，由平行直线间的距离公式可得， 所以，所以直线 的方程为. 平行直线间的参数问题，一类是利用平行直线的关系确定参数，另一类是利用距离确定参数，无论哪种情况，都要注意两条平行直线之间的距离公式的使用条件及参数的范围，有时巧用平行直线设方程会给解决问题带来方便. 角度2 最值问题 ［例3］ 已知两条互相平行的直线分别过点和，并且各自绕着点，同时旋转（旋转过程两条直线保持平行），设两条平行直线间的距离为. （1） 求的取值范围； （2） 当取最大值时，求两条直线的方程. 【答案】 （1） 【解】如图所示，显然有， 而， 故 的取值范围为. （2） 当 取最大值时，两条平行直线都垂直于线段，所以， 故所求直线方程分别为,, 即 和. 应用数形结合思想求最值 数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. ［跟踪训练2］． （1） 若，分别为与上任一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. （2） 已知两条平行直线和之间的距离小于1，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选.由，可得两条直线相互平行，的最小值是两条平行线之间的距离，直线 可变形为，则 的最小值为. （2） 因为直线 和 平行，所以.又因为两条平行直线间的距离小于1，即，解得，故 的取值范围为. 课堂巩固 自测 1．（教材P79练习T1改编）已知直线，，则与的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】选.由题意得，与 的距离. 2．（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.设所求直线的方程为，由题意可得，解得 或，故所求直线的方程为 或. 3．（教材P79练习T2改编）若直线与直线间的距离为，则 . 【答案】14 【解析】直线 变形为，因为，所以直线 与直线 间的距离为，解得 或.因为，所以. 4．已知直线过直线和的交点，且与直线平行. （1） 求直线的方程； （2） 求直线与直线的距离. 【答案】 （1） 解：因为直线 过直线 和 的交点， 由 解得 即点， 因为直线 的斜率为， 且直线 与直线 平行， 所以直线 的方程为， 即. （2） 直线 与直线 的距离为. 1.已学习：两条平行直线间的距离公式的推导及应用. 2.须贯通：应用两条平行直线间的距离公式解决问题时，常利用数形结合思想. 3.应注意：在应用两条平行直线间的距离公式时，必须保证两条直线方程中，的系数分别相同. 课后达标 检测 A 基础达标 1．直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 24 【答案】B 【解析】选.两直线变形为 与,所以两直线平行，故两直线之间的距离为. 2．已知两条平行直线和间的距离为，则,分别为（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案】B 【解析】选.因为直线 与直线 平行，所以，解得，所以两直线分别为 和，所以. 3．已知直线与直线和平行且距离相等，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.设直线 的方程为，由两条平行直线间的距离公式可得，解得，所以直线 的方程为. 4．在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为（ ） A. B. C. D. 45 【答案】B 【解析】选.由，知，所以梯形 的高即为直线 和 间的距离，所以梯形 的面积为. 5．设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】选.由直线，整理得， 故 解得 即直线 恒过点， 因为直线 过点，且， 则直线 与 之间的最大距离为点 与点 的距离， 即. 6．[（2025·唐山期末）]（多选）已知直线，互相平行，且,之间的距离为，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】AC 【解析】选.由题意得，解得.故 的方程为，又，则，解得 或，故. 7．平行于直线，且与它距离为的直线方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】由题意，设与直线 平行的直线方程为,，由两条平行直线间的距离公式可得，解得 或，故所求直线方程为 或. 8．已知直线过点且与直线平行，则直线和的距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设直线 的方程为，则，解得，所以直线 的方程为，所以直线 和 的距离为. 9．若某直线被两平行直线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 或 【解析】由两平行直线间的距离公式，可得直线 与 的距离为,又直线被两平行直线 与 所截得的线段的长为，即该直线与直线 所成角为 ，又直线 的倾斜角为 ,则该直线的倾斜角大小为 或 . 10．（13分）已知直线，，其中为实数. （1） 当时，求直线，之间的距离；（5分） （2） 当时，求过直线，的交点，且平行于直线的直线方程.（8分） 【答案】 （1） 解：由题可知，， 解得，所以， 此时直线，之间的距离为. （2） 由题可知，， 联立 解得 所以 与 的交点坐标为,. 设所求直线的方程为， 所以有，得， 所以所求直线的方程为. B 能力提升 11．[（2025·周口期中）]已知直线与平行，且，之间的距离与点到的距离均为1，则在轴上的截距为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】选.因为直线 与 平行，设直线 的方程为，因为,之间的距离与点 到 的距离均为1，则 解得 所以直线 的方程为，即，故直线 在 轴上的截距为0. 12．设两条平行直线的方程分别为，.已知，是方程的两个实根，且，则这两条平行直线之间的距离的最大值为 _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】因为，是方程 的两个实根，由根与系数的关系可得，， 所以,， 又两条平行直线间的距离，所以， 所以两条平行直线之间的距离的最大值为. 13．（13分）已知的顶点在直线上运动，点为，点为. （1） 求直线的方程；（5分） （2） 的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.（8分） 【答案】 （1） 解：由，得， 由点斜式方程， 化简得. （2） 的面积为定值. 由于，故， 又点 在直线 上运动， 故点 到直线 的距离为定值， 即为两条平行直线的距离 ， 因为， 所以. 14．（15分）已知直线与. （1） 若,两点分别在直线,上运动，求的中点到原点的最短距离；（7分） （2） 若直线过点，且被直线,截得的线段长为，求直线的方程.（8分） 【答案】 （1） 解：设与直线,平行且到,距离相等的直线上的点为， 则， 所以， 即，所以 的中点 到原点的最短距离即为原点到直线 的距离， 所以所求最短距离为. （2） 因为 与 之间的距离， 所以直线 与直线,垂直，即直线 的斜率为，又直线 过点， 所以直线 的方程为，即. C 素养拓展 15．（多选）若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.设直线 与两条平行直线所成的锐角或直角为 ， 两条平行直线 与 的距离为. 因为直线 被两条平行直线 与 所截得的线段长为，所以，所以 . 因为直线 的斜率为，倾斜角为 ，所以由图可知直线 的倾斜角可以是 或 . 学科网（北京）股份有限公司 $