精品解析：山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高一下学期实验班（火箭班）期中模拟数学试卷

高一期中模拟数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】 ，即 . 2. 已知函数，导函数为，那么等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，再将代入，即可得出结果. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要求在某点处的导函数值，熟记导数计算公式即可，属于基础题型. 3. 直线是曲线的一条切线，则实数b=（ ） A. -1或1 B. -1或3 C. -1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求得切点坐标，进而求得的值. 【详解】令，解得 ，故切点为或， 而，所以或. 故选：B 4. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令 ，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案. 【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极大值，故满足题意 综上. 故选：B 【点睛】易错点为，通过 ，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案. 5. 设函数在 上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】A 【解析】 【详解】由图可知，当时，，而，则 ； 当时，，而，则 ； 当 时，，而，则 ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则有极大值，无极小值. 6. 若函数有最大值，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过导数确定为临界点，由的符号分类讨论求解即可. 【详解】， 令，得临界点（因，舍去）， 当时，当 时，，当时，， 所以在 上单调递减，在上单调递增， 此时无最大值， 当时，当 时，，当时，， 所以在 上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为， 所以，满足题意， 故选：. 7. 已知函数在 上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因在 上单调递增， 则对任意的 ，成立，设，则， 由，得 ，由，得，从而在上单调递减，在 上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：C 8. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案. 【详解】解：设＝， 则＝， ∵，∴， ∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减， ∵ ∴＝， 又＝， ∴， ∴ ， ∴的解集为． 故选：A． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的运算法则对选项逐一判断即可． 【详解】A选项，，故A选项正确； B选项，，故B选项错误； C选项，，故C选项正确； D选项，，故D选项错误； 故选：AC 10. 已知函数，下列判断正确的是（ ） A. 的单调减区间是， B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项. 【详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确； 对A，，令可得和， 解得和，故的单调减区间是，，故A正确； 对C，由A可得当和时单调递减， 当时单调递增，且， 作出简图，可得的值域是，故C错误； 对D，由图象可得， 与有一个公共点，则或，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数，若实数满足不等式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数图象的平移变换和对称性可知关于点对称，则，利用导数讨论的单调性，由函数的单调性与对称性解不等式可得 ，结合选项依次判断即可. 【详解】的定义域为为奇函数， 函数的图象向右平移两个单位可得的图象， 关于点对称， ， 在R上为增函数， 由化为， 等价于， 成立， 不能推出． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的导函数___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解 【详解】 故答案为： 13. 函数在上的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最值. 【详解】， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以函数在上单调递减；在上单调递增； 所以. 故答案为： 14. 设函数，则函数的最大值为______；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用求导得出的单调性，进而求解最值； （2）依题意，对任意，不等式恒成立，等价于恒成立，当最大，最小时，求出最大值，进而得到答案. 【详解】由得． 令 ，得， 此时单调递增，令，得 ，此时单调递减． 所以的最大值为． 对任意，，不等式恒成立，等价于恒成立． 当时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2. 由题意可知，当最大，最小时，最大，所以的最大值为，所以，所以． 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3） . 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：根据导数的运算法则，可得； 【小问2详解】 解：根据导数的运算法则，可得； 【小问3详解】 解：根据导数的运算法则，可得. 16. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1）函数的增区间为和，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合函数最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为是函数的一个极值点， 所以，即， 当时，解得 或 ， 所以在和上单调递增； 当时，解得，所以在上单调递减， 因此是函数的一个极值点， 所以函数的增区间为和，减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知：函数的增区间为和，减区间为， 所以是函数的极小值点，且， 所以是函数的极大值点，且， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以当时，函数的最小值为. 17. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）证明：，. 【答案】（1）极小值，无极大值；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式求得导函数，可由的符号判断函数的单调性，并由极值点求得极值. （2）将函数的解析式代入不等式，并构造函数，求得，再构造函数，并求得，由可知在上单调递增，由零点存在定理可知在内有唯一解，记为，满足.进而由的符号判断单调性，即可求得的函数表达式，根据二次函数在定区间上的值域即可判断恒成立，即证明不等式成立. 【详解】（1）函数， ， 则， 由可知在上单调递增，且， 故当时，， 当时，， 故函数有极小值，无极大值； （2）证明：依题意对，，即； 设，则，设. 因为，所以在上单调递增. 又因为，， 所以在内有唯一解，记为，即. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，. 设，，则， 所以， 所以，即，. 【点睛】本题考查了由导数判断函数的单调性与极值，导数在证明不等式中的应用，构造函数法的综合应用，函数零点存在定理的应用，二次函数性质的应用，综合性强，属于难题. 18. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线 与函数 的图象有3个交点，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的取值范围为 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导，再由是函数的一个极值点即求解；（2）由（2）确定，再由和求得单调区间；（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有个交点则须有求解． 试题解析：（1）因为， 所以，因此 （2）由（1）知， ， ． 当时，， 当时，， 所以的单调增区间是， 的单调减区间是 （3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时， 所以的极大值为，极小值为， 当时， 所以在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当， 因此，的取值范围为 考点：（1）函数在某点取得极值的条件；（2）利用导数研究函数的单调性. 19. 函数 （1）求函数的单调区间； （2）若在恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）求导，分别讨论和两种情况的正负，即可求得的单调区间. （2）所求转化为求在恒成立问题，设，利用导数判断其单调性，并求得的最大值，可得关于m的不等式，即可得答案. 【详解】（1） 当时，，所以在为增函数， 当时，令，解得； 当时，，为增函数， 当时，， 为减函数， 综上：当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为，单调减区间为. （2）因为在恒成立， 所以在恒成立， 设，则. 设 所以在单调递增，又， 因此存在唯一，使得， 所以当时，， 当时， 当时， ，当时， 所以函数在递增，在递减，在递增 因此， 由得，则. 所以， 因为，则，所以， 因为， 所以当时，， 所以，解得 所以的取值范围是 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数判断函数单调性，求极（最）值的方法，并灵活应用，在得到解析式，并且不能直接判断其正负时，可令，再次求导，根据的单调性，求得的值域，进而可得的正负，即可得的单调性，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期中模拟数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 2. 已知函数，导函数为，那么等于（ ） A. B. C. D. 1 3. 直线是曲线的一条切线，则实数b=（ ） A. -1或1 B. -1或3 C. -1 D. 3 4. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 5. 设函数在 上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 6. 若函数有最大值，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 7. 已知函数在 上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 8. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列判断正确的是（ ） A. 的单调减区间是， B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 11. 已知函数，若实数满足不等式，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的导函数___________. 13. 函数在上的最小值为___________. 14. 设函数，则函数的最大值为______；若对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3） . 16. 已知函数是函数的一个极值点． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最小值． 17. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）证明：，. 18. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线 与函数 的图象有3个交点，求的取值范围. 19. 函数 （1）求函数的单调区间； （2）若在恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $