江苏苏州市2025-2026学年高二下学期期末数学自编模拟卷3

**基本信息** 苏州高二数学期末模拟卷聚焦概率统计、立体几何、函数导数核心知识，通过山地自行车调查、餐厅就餐统计等真实情境，融合正态分布、线面角、二项式定理等内容，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题、数学语言表达规律的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|随机变量、相关系数、二项式定理、立体几何|第7题对比有放回与无放回抽样的期望方差，考查逻辑推理；第8题结合条件概率，培养数据意识| |填空题|3题/15分|正态分布、正方体线面角、函数单调性|14题以分段函数单调性为载体，发展抽象能力与创新意识| |解答题|5题/77分|独立性检验、分布列、函数最值、立体几何证明|16题山地自行车调查融合统计与概率，体现应用意识；19题立体几何证明与外接球计算，发展空间观念与推理能力|

苏州2025-2026学年第2学期高二数学期末模拟卷3 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知随机变量，且，那么的值为（ ） A.0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8 2. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若展开式中的常数项为60，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4.已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若分布，，则 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为0 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 11. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ） A. 变量与具有正相关关系 B. 去除后的回归方程为 C. 重新求得的回归直线必过点 D. 去除后相应于样本点的残差为-0.05 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高二年级200名学生在5月25日参加了江苏省数学联赛预赛，已知预赛成绩服从正态分布（试卷满分为120分）.统计结果显示，预赛成绩在70分到90分之间的人数约为总人数的，则此次预赛成绩不低于90分的学生人数约为__________. 13. 在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为________． 14. 如果函数在区间上为增函数，则记为；函数在区间 上为减函数，则记为． 如果且，则实数的最大值为_____；如果函数，且，，则实数a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 在的展开式中，第3项与倒数第3项的系数之比为． （1）求的值； （2）求展开式中的有理项． 16.为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表： 男性 女性 喜欢 12 4 不喜欢 6 8 （1）能否有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关? （2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数 (其中为常数)． （1）当时，求函数的单调区间； （2）求函数在上的最小值． 18. 某高校有A，B两个餐厅为学生们提供午餐与晚餐服务，张同学、李同学两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 张同学 6天 9天 13天 2天 李同学 6天 6天 6天 12天 假设张同学，李同学选择餐厅相互独立，用频率估计概率． （1）计算某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率； （2）记X为张同学和李同学两人在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； （3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，已知，且推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率大，求证：． 19. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面. （1）证明：； （2）若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求： ①直线与平面所成角的正弦值； ②三棱锥外接球的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州2025-2026学年第2学期高二数学期末模拟卷3 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知随机变量，且，那么的值为（ ） A.0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8 【答案】A 【详解】随机变量，， 则. 故选：A. 2. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关， 囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1， 所以， 故选：A 3. 若展开式中的常数项为60，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【详解】展开式的通项为， 令，得， 当时，，则有，解得. 故选：B. 4.已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解. 【详解】由题意， 因为，所以，即. 故选：C. 5. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 6. 三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】设，则， 因为 ， 所以，解得：， 即，可知， 过作，连接，则， 可知，且二面角的平面角为， 则为等边三角形，即， 设，因为， 即，解得：或， 可知点与点A重合或与点B重合，两者是对称结构，不妨取点E与点A重合， 则，，由，平面，则平面， 且为二面的平面角，可知为等边三角形， 可将三棱锥补充直棱柱，如图所示， 为底面正的外心，即， 为的外接球球心，可知，且， 则三棱锥的外接球半径， 所以外接球的体积. 故选：C. 7. 已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布， 根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得： ，即 ， 所以，. 故选：A 8. 甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确； 乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确； 则有，故C正确； 则，故D正确； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若分布，，则 【答案】BC 【详解】，故A错； 因为，所以， 所以，故B正确； 若，则，故C正确； 若分布，，则，故D错. 故选：BC. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为0 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 【答案】ACD 【详解】对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确； 对于B，当时，，则， 令，解得：，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减，所以的极大值为， 故B不正确； 对于C，，当，则，所以在上单调递增， 又，即，则，故C正确； 对于D，当时，由，解得：， 当时，，则在上单调递增，当，， 则在上单调递减， 所以， 令，则， 所以当时，，则在上单调递增， 所以，即的最大值大于， 而，故，即，所以D正确； 故选:ACD 11. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ） A. 变量与具有正相关关系 B. 去除后的回归方程为 C. 重新求得的回归直线必过点 D. 去除后相应于样本点的残差为-0.05 【答案】ACD 【详解】对A,因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项正确； 对C,将代入回归直线方程为，解得， 则样本中心为，去掉两个数据点和后， 由于， 所以去掉后的，没有变化，故样本中心还是， 故去除这两个数据点后的回归直线过点，故选项C正确； 对B,又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2， 所以，解得， 所以去除后的回归方程为，故选项不正确； 对D,因为， 所以，故选项正确． 故选：． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高二年级200名学生在5月25日参加了江苏省数学联赛预赛，已知预赛成绩服从正态分布（试卷满分为120分）.统计结果显示，预赛成绩在70分到90分之间的人数约为总人数的，则此次预赛成绩不低于90分的学生人数约为__________. 【答案】20 【详解】因为服从正态分布，且， 所以，所以成绩不低于90分学生人数为. 故答案为：20. 13. 在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】 【详解】 以为坐标原点,分别以为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的边长为4，则， 所以 设平面的一个法向量为，所以， 所以，解得, 设直线与平面所成角为， 因为， 所以. 14. 如果函数在区间上为增函数，则记为；函数在区间 上为减函数，则记为． 如果且，则实数的最大值为_____；如果函数，且，，则实数a的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【详解】因为的最小正周期为：，所以函数单调减区间的最大长度为半个周期，即， 问题转化为，当时，恒成立，且当时，恒成立. 因为：. 由， 所以或. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 在的展开式中，第3项与倒数第3项的系数之比为． （1）求的值； （2）求展开式中的有理项． 【答案】（1） （2）和 【小问1详解】 的展开式的通项公式为：， 所以第三项的系数为：，倒数第3项的系数为：， 所以，所以，所以. 【小问2详解】 的展开式的通项公式为：， 所以为有理数，则， ，或， 所以展开式中的有理项为：和. 16. 为调查喜欢山地自行车项目是否和性别有关，某自行车店随机发放了30份问卷，并全部收回，经统计，得到如下列联表： 男性 女性 喜欢 12 4 不喜欢 6 8 （1）能否有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关? （2）在上述喜欢山地自行车项目的受访者中随机抽取3人，记其中男性的人数为，求的分布列． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关 （2）的分布列见解析 【解析】 小问1详解】 由题可得， 所以没有的把握认为喜欢山地自行车项目和性别有关； 【小问2详解】 由题可得男性的人数可能取值为：0，1，2，3 ， ， ， , 所以的分布列为： 0 1 2 3 17. 已知函数 (其中为常数)． （1）当时，求函数的单调区间； （2）求函数在上的最小值． 【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为 （2）答案见解析 【小问1详解】 令解得，所以的单调递增区间为 令解得，所以的单调递减区间为 【小问2详解】 ①当时，在上单调递增，； ②当时，在上单调递增，； ③当时，令和分别解得和， 则在上单调递减，单调递增，所以； ④当时，在上单调递减. 综上所述：当时，； 当时，； 当时，. 18. 某高校有A，B两个餐厅为学生们提供午餐与晚餐服务，张同学、李同学两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 张同学 6天 9天 13天 2天 李同学 6天 6天 6天 12天 假设张同学，李同学选择餐厅相互独立，用频率估计概率． （1）计算某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率； （2）记X为张同学和李同学两人在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； （3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，已知，且推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率大，求证：． 【答案】（1） （2）分布列见详解， （3）证明见详解 【小问1详解】 设事件C为“某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐”， 因为30天中张同学午餐去A餐厅用餐的天数为， 午餐去A餐厅用餐且晚餐去B餐厅用餐的天数为， 所以． 【小问2详解】 由题意可知：X的所有可能取值为1和2， 所以， ， 所以X的分布列为 X 1 2 P X的数学期望． 【小问3详解】 由题知，则 可知， 可得， 即， 所以，即 19. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面. （1）证明：； （2）若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求： ①直线与平面所成角的正弦值； ②三棱锥外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【小问1详解】 取的中点，连接，在直角梯形中，， 则四边形为正方形，所以， 在等腰直角三角形 中，， 为等腰直角三角形，而，故， 则有，所以， 因为平面平面平面平面，平面 ， 所以平面，又平面，所以， 又因为，直线有公共点，平面 所以平面又平面得； 【小问2详解】 以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则 ，得 ， 取 ，则 ，得平面的一个法向量为， 点P到平面的距离为， 解得，此时，， ①设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值； ②取的中点，其为直角三角形外心，且， 则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 即平面，设， 由， 得， 解得， 故外接球的半径为， 其表面积为， 故三棱锥外接球表面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $