11.3.2直线与平面平行课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦直线与平面平行，系统呈现判定定理和性质定理。课堂通过“试一试与发现”引导学生平移平面内直线，结合已学线面位置关系，搭建从直观感知到逻辑证明的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光引导学生通过实物演示抽象线面关系，用数学思维进行反证法推理和定理证明，借助文字、符号、图形语言系统呈现知识。如例1利用三角形中位线证线面平行，小结整合三种语言，帮助学生构建知识网络，提升空间观念与推理能力，也为教师提供直观到逻辑的完整教学方案。

第十一章 立体几何初步 11.3.2直线与平面平行 《人教B版2019高中数学必修第四册》 探究新知 前面我们已经通过几何体，直观地认识了直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中后两种位置关系又统称为直线在平面外.一般地，直线与平面的位置关系可以用图11-3-10表示． 而且，我们还知道，直线l与平面α平行，指的是直线l与平面a没有公共点，即 l∥α⇔l∩α=∅. 因为直线与平面都可以无限延伸，所以要直接判定一条直线与一个平面有没有公共点，并不是一件容易的事，因此我们有必要寻求其他的判定直线与平面平行的方法. 直线与平面平行 直观上可以猜出，l与a没有公共点，即l//a.但这个结论是否正确呢？ 从正面思考有一定难度，不妨从反面想一想. 一般地，我们可以得出如下直线与平面平行的判定定理（简称为线面平行的判定定理）. 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. 这可以用符号表示为 如果l∉α,m⊂α,l∥m，则l∥α. 这给出了线面平行的一个充分条件.（由条件推出结论，条件是结论的充分条件） 如图11-3-13所示，假设l∩α=P.因为直线l与直线m平行，所以它们可以确定一个平面（记为β）.由于m⊂α,m⊂β，所以α∩β=m.又因为P∈l⊂β,P∈α，因此根据平面的基本事实3，点P一定在α与β的交 线m上，于是直线l与m相交，这与l∥m矛盾.所以l∩α=∅，即l∥α. 直线与平面平行 根据上述定理，画一条直线与已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行，如图11-3-10(2）和图11-3-14所示． 利用线面平行的判定定理，以及棱柱的侧面都是平行四边形，可以证明棱柱一个底面上的边所在直线一定平行于另一个底面．例如，如图11-3-15所示的三棱柱ABC−A1B1C1中，因为ABB1A1是平行四边形，所以A1B1//AB,又因为AB⊂平面ABC，A1B1//平面ABC 直线与平面平行 例1 已知空间四边形ABCD中，E,F分别是边AB,AD的中点．求证：EF//平面BCD. 分析 要证明EF//平面BCD，只需在平面BCD内找一条直线与EF平行即可. 下面我们来探讨，如果直线l与平面α平行，能得出一些什么性质. 证明 如图11-3-16所示，连接BD． 在ΔABD中，因为E,F分别是AB,AD的中点，所以由三角形的中位线定理可知EF//BD. 又因为 EF∉平面BCD,BD⊂平面BCD， 所以由线面平行的判定定理可知EF//平面BCD. ∅ 异面或平行 一般地，我们可以证明如下直线与平面平行的性质定理（简称为线面平行的性质定理）. 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行. 这可以用符号表示为 如果l∥α,l⊂β,α∩β=m，则l∥m 这给出了线面平行的一个必要条件.(l//m作为条件，结论能推出条件，条件是结论的必要条件） 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行. 这可以用符号表示为 如果l∥α,l⊂β,α∩β=m，则l∥m. 这给出了线面平行的一个必要条件. 直线与平面平行 线面平行的性质定理说明，可以利用空间中的“线面平行”去证明空间中的“线线平行”. 证明 因为l∥α,所以l与α没有公共点.又因为m⊂α，所以l∩m=∅. 注意到l⊂β且m⊂β，所以l与m共面且没有公共点，即l∥m 例2 如图11-3-17所示，已知三棱锥A-BCD 中，E,F分别是边AB,AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.求证：EF//GH. 证明 在ΔABD中，因为E,F分别是AB,AD 的中点，所以由三角形的中位线定理可知EF//BD. 又因为EF∉平面BCD,BD⊂平面BCD，所以由线面平行的判定定理可知EF//平面BCD. 又因为 EF⊂平面EFHG，平面EFHG∩平面BCD=GH, 所以由线面平行的性质定理可知EF//GH. 直线与平面平行 练习A ①过平面外一点能作出多少条直线与这个平面平行？ ②将教室内的日光灯管抽象成一条直线，教室的地面抽象成一个平面，而且假设这里的直线与地面平行，那么这条直线是否与地面上的所有直线都平行？地面上的哪些直线与灯管所在的直线平行？ ③ 求证：如图所示的长方体中,B1D1∥平面ABCD. 无数条 不能与所有直线平行。地面上与灯管共面的直线与灯管所在的直线平行。 证明 因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中BB1平行且等于DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BD//B1D1。因为BD⊂平面ABCD，B1D1⊄平面ABCD，所以B1D1//平面ABCD。 练习A ④ 判断下列命题的真假. （1）如果直线a平行于直线b，则a平行于经过b的任何一个平面； （2）如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行； （3）过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行； （4）如果一条直线与一个平面平行，则它与该平面内的任何直线都平行． ⑤ 如图（1)，将梯形的腰AD放在平面a内，BC不在平面a内，写出BC所在直线与平面a的位置关系；如图（2)，将梯形的底边AB放在平面β内，CD不在平面β内,写出CD所在直线与平面β的位置关系. 假命题，因为直线a不能平行于经过直线a和直线b的平面； 假命题，可以相交； 真命题； 假命题，这条直线与平面内的直线可能是平行直线，也可能是异面直线。 图（1）中直线BC与平面α相交，图（2）中直线CD与平面β平行。 练习B ①使一块矩形木板ABCD的一边AB紧靠桌面并绕AB转动，并且使AB的对边CD始终在桌面所在的平面外，那么直线CD是不是总是与桌面所在的平面平行？为什么？ ②如图所示正六棱柱的上、下底面与侧面中，哪些面所在的平面与AB所在的直线平行？说明理由. 是。矩形 ABCD 中，AB//CD. 设桌面所在的平面为α. 因为AB⊂α，CD⊄α，所以CD//α. 上底面A'B'C'D'E'F'，侧面E'D'DE. 因为正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 中，AB//ED，AB⊄ 面E'D'DE， ED⊂面E'D'DE，所以AB//面E'D'DE. 因为AB //A'B'，所以同理可证AB//平面A'B'C'D'E'F'. 练习B ③已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC,BD与α分别相交于点C,D.求证：AC=BD 因为AC//BD，所以经过 AC，BD 确定一个平面，记为平面β. 因为AB //α，AB⊂β，α∩β = CD，所以 AB//CD. 又因为AC//BD，所以四边形 ABCD 为平行四边形。 因此AC = BD. ④如图，平面α,β，γ两两相交，a,b,c为3条交线，且a∥b.求证：a∥c,b∥c. 因为 a//b，b//γ，a∉γ，所以 a//γ. 又因为a ⊂β，β∩γ= c，所以a //c. 因为a//b，所以b//c. 练习B ⑤已知平面α∩平面β=l a⊂α b⊂β a∥b，求证：a∥l, b∥l. 当 a 或 b 与 l 重合时，结论成立. 当 a 和 b 均与 l 不重合时，因为a ⊄β，b⊂β，a // b， 所以 a //β. 又因为 a ⊂α，α∩b= l，所以a//l. 因为a //b，所以b//l. 因此 a∥l, b∥l. 小结 空间直线与平面的位置关系 1、直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α. 2、直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点． 3、直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α. 直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中后两种位置关系又统称为直线在平面外. 小结 直线与平面平行的判定定理 1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行,那么该直线与此平面平行． 2、符号语言：a∉α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. 3、图形语言： 直线与平面平行的性质定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行． 2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 3、图形语言： 巩固提升 1.若直线l在平面α外，则l与平面α的公共点个数为（        ） A．0 B．0或1 C．1 D．2 直线l在平面α外，则直线l与平面α相交或者平行，当直线l与平面相α交时，公共点的个数是1个，当直线l与平面α平行时，公共点的个数是0个， B 2.已知直线a,b和平面α,且b⊂α,则“直线a∥直线b”是“直线a∥平面α”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 若直线a∥直线b,则a∥α或a⊂α,故充分性不成立; 若直线a∥平面α,则直线a和直线b平行或异面,故必要性不成立. 所以“直线a∥直线b”是“直线a∥平面α”的既不充分也不必要条件. D 巩固提升 3.下列说法正确的是(　　) A.如果直线a,b满足a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面 B.如果直线a和平面α满足a∥α,那么a平行于平面α内的任何一条直线 C.如果直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b D.如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α D 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AA′∥BB′,AA′在过BB′的平面ABB′A′内,故A不正确; AA′∥平面BB′C′C,BC⊂平面BB′C′C,但AA′不平行于BC,故B不正确; AA′∥平面BB′C′C,A′D′∥平面BB′C′C,但AA′与A′D′相交,故C不正确; 假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾, 故b不与α相交,又b⊄α,所以b∥α,故D正确. 巩固提升 由题意知O是BD的中点, 又M为PB的中点,∴OM为△PBD的中位线,∴OM∥PD, 又∵OM⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴OM∥平面PAD,故A,C正确; 易知OM与平面PAC有公共点O,与平面PBA有公共点M,故B,D错误. 4.(多选题)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,则以下结论正确的是(　　) A.OM∥PD　　　　 B.OM∥平面PAC C.OM∥平面PAD　　　　D.OM∥平面PBA AC 巩固提升 5.在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（    ） A B C D A选项：由中位线性质可知AB//OQ，且OQ∩平面MNQ=Q，则AB与平面MNQ不平行， B选项：由正方体结构特征，易得AB//MQ，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得AB//MQ，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得AB//NQ，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， A 巩固提升 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,给出下列三个推断: ①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1;③FG∥平面BC1D1. 其中推断正确的序号是　　　　.  如图,连接AD1,A1C1.对于①,因为F,G分别是B1C1,BB1的中点,所以FG∥BC1,又BC1∥AD1,所以FG∥AD1,又FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,所以FG∥平面AA1D1D,故①正确. 对于②,因为E,F分别是A1B1,B1C1的中点,所以EF∥A1C1,又A1C1与平面BC1D1相交,所以EF与平面BC1D1相交,故②错误. 对于③,由①中分析知FG∥BC1,又FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1,所以FG∥平面BC1D1,故③正确. ①③ 巩固提升 7.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为1,D,E分别为B1C1和AB1的中点. (1)证明:DE∥平面A1ACC1; (2)求三棱锥C1-AA1B1的体积. (1)证明:在△AB1C1中,D,E分别为B1C1和AB1的中点,所以ED∥AC1. 因为DE⊄平面A1ACC1,AC1⊂平面A1ACC1,所以DE∥平面A1ACC1. (2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以AA1⊥平面A1B1C1. 因为△A1B1C1是边长为1的正三角形, 所以S△A1B1C1=×1×1×sin 60°=, 所以VC1-AA1B1=VA-A1B1C1=S△A1B1C1·AA1=××1=. 巩固提升 8.在如图所示的五面体中,四边形ABCD与四边形FECD均为等腰梯形,EF∥CD,AB∥CD,EF=AB=2,CD=4,BC=BE=, M,N分别为EF,CD的中点,AC与BN相交于点P,求证:MP∥平面EBC. 证明　取BC的中点S,连接ES,PS,AN. 由已知可得AB∥NC且AB=NC,所以四边形ABCN为平行四边形, 所以P为AC的中点. 又因为S为BC的中点,所以SP∥AB,且SP=AB. 因为M为EF的中点,所以EM∥AB,且EM=AB. 所以SP∥EM,且SP=EM, 故四边形PSEM为平行四边形,所以MP∥ES. 又因为MP⊄平面EBC,ES⊂平面EBC,所以MP∥平面EBC. 巩固提升 9.下列命题正确的个数为（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 对于①，直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α或直线l与平面α相交，①错误； 对于②，两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条与这个平面平行或在平面内，②错误； 对于③，直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点，l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，③正确， 所以给定命题正确的个数为1. B 巩固提升 10.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论中正确的是(　　) A.m∥α,m∥n⇒n∥α B.m∥α,n∥α⇒m∥n C.m∥α,m⊂β,α∩β=n⇒m∥n D.m∥α,n⊂α⇒m∥n A中,n有可能在平面α内;B中,m,n可能相交、平行或异面; C中,由线面平行的性质定理可知C正确;D中,m,n有可能异面. C 巩固提升 11.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为线段AD上靠近点A的三等分点,F为线段PC上一点,当PA∥平面EBF时,=(　　) A. B. C. D. D 连接AC,交BE于点O,连接OF. 由PA∥平面BEF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BEF=OF,得OF∥PA. 因为底面ABCD为平行四边形,所以==, 又OF∥PA,所以==,所以=. 巩固提升 12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是平面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为(　　) A. B. C. D. B 如图所示,连接AD1,AB1,易知AD1∩A1D=P. ∵PQ∥平面AA1B1B,平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1,PQ⊂平面AB1D1, ∴PQ∥AB1. ∵D1P=PA,∴PQ=AB1=×=. $