11.3.3 平面与平面平行-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“平面与平面平行”，系统梳理判定定理、性质定理及应用，通过上海世博会中国馆实例导入，引导学生观察平行平面中的线面、交线关系，衔接线面平行知识，以表格梳理位置关系、定理条件结论作为学习支架。 其亮点在于以直观想象为基础，结合生活实例激发兴趣，以逻辑推理为主线，例题从正方体截面平行到四棱锥证明层层递进，强化推理表达。帮助学生构建知识体系，提升空间想象与解题能力，为教师提供结构化资源，提高教学效率。

11.3.3　平面与平面平行 1 1.通过实例，直观感知、归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理（直观想象）. 2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题（逻辑推理）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉. 【问题】　（1）展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任一直 线状物体与下层地面有何位置关系？ （2）上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么 位置关系？ 　 　　　　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　   数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点一　平面与平面的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点个数 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝l 有无数个公共点（在一 条直线上） 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点二　平面与平面平行的判定与性质 条件 结论 图形语言 符号语言 判 定 如果一个平面内有 ⁠分别平行于另一个 平面 两个平 面平行 ⇒α∥β 两条相交直线　 数学·必修第四册（B版） 目 录 条件 结论 图形语言 符号语言 性 质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 交线平行 ⇒a∥b 推论：如果一个平面内有两条 ⁠直线分别平行于另一个平面内的两 条直线，则这两个平面平行. 常用结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 相交　 数学·必修第四册（B版） 目 录 【想一想】 如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？ 提示：如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面 相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个 平面相互平行. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则 这两个平面平行. （　×　） （2）若两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行另一个平面. （　√　） （3）若一个平面内有无数多条直线平行另一个平面，则这两个平面平行. （　×　） （4）若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m. （　×　） × √ × × 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面互相平行的一对是（　　） A. 平面E1FG1与平面EGH1 B. 平面FHG1与平面F1H1G C. 平面F1H1H与平面FHE1 D. 平面E1HG1与平面EH1G 解析：如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，同理可证H1E∥平面E1FG1.又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1，A正确.分析知B、C、D中两个平面分别相交. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面 A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定 解析：因为平面ABCD∥平面A'B'C'D'，所以EF∥E'F'.故选A. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 如图，已知在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC上 的点且满足 ＝ ＝ ，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 ⁠ ⁠. 平行 解析：在△PAB中，因为 ＝ ，所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC， AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC. 同理可证EF∥平面ABC. 又 DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC. 数学·必修第四册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜平面与平面间的位置关系 【例1】　已知下列说法： ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b； ②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线； ③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交； ④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面； ⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.其中正确的是 ⁠ （将你认为正确的序号都填上）. ③④ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，因为 α∥β，所以α与β无公共点.又因为a⊂α，b⊂β，所以a与b无公共点；④ 对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错，a与 β也可能平行. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 　　两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公 共点则相交.熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决此类 问题的关键. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与a平 行，则平面α与平面β的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交 解析：　如图，在b上任取一点P，设a与点P确定的平 面为γ，γ∩β＝c，因为a∥β，所以a∥c，又a⊂α， c⊄α，所以c∥α，因为c∩b＝P，又c∥α，b∥α， c⊂β，b⊂β，所以α∥β. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型二｜平面与平面平行的判定 【例2】　如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F， H分别为AB，CD，PD的中点.求证：平面AFH∥平面PCE. 数学·必修第四册（B版） 目 录 证明：法一　因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC. 因为 PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE，所以FH∥平面PCE. 又由已知得 AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE. 因为CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面 AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE. 法二　假设平面AFH和平面PCE不平行，设平面AFH∩平面PCE＝l，由 法一可知AF∥平面PCE，所以AF∥l，同理可得HF∥l，所以AF∥HF，与AF与HF相交矛盾.所以平面AFH∥平面PCE. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 平面与平面平行的判定方法 （1）定义法：两个平面没有公共点； （2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面； （3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直 线分别平行，则α∥β； （4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 在正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心，H，E，F分别为PA，AH， HO的中点，点M在棱PD上，且PM＝3MD. （1）证明：HO∥平面PCD； 数学·必修第四册（B版） 目 录 证明：连接AC，正四棱锥P-ABCD中，O为底面中心， 则O为AC中点， 又H为PA的中点，则有HO∥PC， HO⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以HO∥平面PCD. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）证明：平面EFM∥平面ABCD. 证明： E，F分别为AH，HO的中点，则有EF∥AO， EF⊄平面ABCD，AO⊂平面ABCD，则有EF∥平面ABCD， H，E分别为PA，AH的中点，有PE＝3EA，又PM＝3MD，则有 EM∥AD， EM⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则有EM∥平面ABCD， EF，EM⊂平面EFM，EF∩EM＝E，所以平面EFM∥平面ABCD. 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型三｜平面与平面平行的性质及应用 【例3】　如图，已知平面α∥β，P∉α，且P∉β，P在平面α与平面β的同 侧，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交 于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝ ⁠. ​ 解析：因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD. 所以 ＝ ，即 ＝ .所以BD＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 【母题探究】 （变条件）将本例改为：若点P位于平面α，β之间（如图），其他条件不 变，试求BD的长. 解：与本例同理，可证AB∥CD. 所以 ＝ ，即 ＝ ， 所以BD＝24. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，点E是棱PD上一 点，PE＝ PD，若PF＝λPC且满足BF∥平面ACE，则λ＝ 　​ 　. ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：连接BD，交AC于点O，连接OE，由ABCD是 正方形，得BO＝OD，在线段PE上取点G，使得GE ＝ED，如图所示， 由PE＝ PD，得 ＝ ，连接BG，FG，则 BG∥OE，由OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，得BG∥平面ACE，而BF∥平面ACE，BG∩BF＝B，BG，BF⊂平面BGF，因此平面BGF∥平面ACE，又平面PCD∩平面ACE＝EC，平面PCD∩平面BGF＝GF，则GF∥EC，所以λ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，m∥β，若使α∥β成立， 则需增加的条件是（　　） A. n是直线且n⊂α，n∥β B. n，m是异面直线且n∥β C. n，m是相交直线且n⊂α，n∥β D. n，m是平行直线且n⊂α，n∥β 解析：要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，所以n，m是相交直线且n⊂α，n∥β，m⊂α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边 形EFGH的形状为 ⁠. 解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面 EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG. 同理，EH∥FG，四边形 EFGH是平行四边形. 平行四边形 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP， AD＝DC＝PD. E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将 △PDC折起，使点P∉平面ABCD. 求证：平面PAB∥平面EFG. 数学·必修第四册（B版） 目 录 证明：因为E，F分别为PC，PD的中点，所以EF∥CD， 在直角梯形ABCP中，因为BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，所以 CD∥AB， 所以EF∥AB，又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， 所以EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB. 又因为EF∩EG＝E， 所以平面PAB∥平面EFG. 数学·必修第四册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知空间中两个不重合的平面α和平面β，直线m⊂平面α，则“α∥β” 是“m∥β”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　直线m⊂平面α，则α∥β⇒m∥β，充分性满足，但m∥β时，α与 β可能相交，必要性不满足，因此是充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是（　　） A. α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b B. α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β C. a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β D. α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：选项A中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或平面β内，故B不正确；选项C中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，若直线a与直线b平行，则平面α，β可能平行也可能相交，故C不正确；选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 若结论“如果平面α内有三点到平面β的距离相等，那么α∥β ”是正确 的，则这三点必须满足的条件是（　　） A. 这三点不共线 B. 这三点不共线且在β的同侧 C. 这三点不在β的同侧 D. 这三点不共线且在β的异侧 解析：首先这三点必须能确定一个平面，即要求这三点不共线；其次这三点必须在平面β的同侧，确定的平面才会和平面β平行，如果在平面β的异侧，那么确定的平面和平面β相交. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3AD＝3 ，E在AB上且AE＝ ，将 △ADE沿DE折起到△FDE，使得F∉平面BCDE，点G在线段CF上，若 BG∥平面FDE，则 的值等于（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　作BM∥DE交CD于M，连接MG，则四边形BEDM是平行四 边形.DM＝2 ，CM＝ ，由BM∥DE，BM在平面FDE外，可得 BM∥平面FDE. 又BG∥平面FDE，BM∩BG＝B，BM，BG⊂平面 BGM，所以平面FDE∥平面BMG. 又平面FDE∩平面FDC＝FD，平面 BMG∩平面FDC＝MG，所以MG∥FD，因此 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是（　　） A. 两两相互平行 B. 两两相交于一点 C. 两两相交但不一定交于同一点 D. 两两相互平行或交于同一点 解析：根据平面与平面平行的性质定理可知，所得四条直线两两相互平行.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 6. 〔多选〕如图所示，平面α∥平面β，AB⊂α，CD⊂β，PA＝2，AB＝ 1，CD＝3，则（　　） A. CD∥α B. AC＝4 C. PB＝1 D. ＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：对于A，因为平面α∥平面β，CD⊂平面β，所以CD∥平面α，故A正确；对于B，设由PC与PD所确定的平面为γ，因为平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝AB，平面β∩平面γ＝CD，所以AB∥CD，所以 ＝ ，即 ＝ ，解得AC＝4，故B正确；对于C，若PB＝1，则PB＋AB＝PA，这与三角形三边关系定理相矛盾，故C错误；对于D， ＝ ⇔ ＝ ，而由AB∥CD⇒ ＝ ，但PB与PC长度关系不确定，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 7. 已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b，有 b∥a，则α与β的位置关系是 （填“平行”或“相交”）. 解析：若α∩β＝l，则在平面α内，存在与l相交的直线a，设a∩l＝A， 对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与 b异面，即β内不总存在直线b，有b∥a，矛盾.故α∥β. 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 8. 六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC， 则AB与CD的位置关系是 ⁠. 解析：因为AD∥BC，且平面ABCD∩α＝AB，平面ABCD∩β＝CD，又 α∥β，所以AB∥CD. 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 9. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面 ACB1平行的平面交AB于M，交BC与N，则MN＝ AC. 解析：∵平面MNE∥平面ACB1，∴ME∥AB1，NE∥CB1.∵BE＝EB1， ∴AM＝MB，BN＝NC，∴MN􀰿 AC. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 10. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点. （1）求证：BD1∥平面AMC； 证明：如图，连接BD，设AC∩BD＝O，连接OM， ∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方 形，∴O是BD中点. ∵M是DD1的中点， ∴OM∥BD1. ∵BD1⊄平面AMC，OM⊂平面AMC，∴BD1∥平面 AMC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）若N为CC1的中点，求证：平面AMC∥平面BND1. 证明：∵N为CC1的中点，M为DD1的中点， ∴CN＝D1M. 又∵CN∥D1M，∴四边形CND1M为平 行四边形，∴D1N∥CM. 又∵MC⊂平面AMC，D1N⊄平面AMC，∴D1N∥平 面AMC. 由（1）知BD1∥平面AMC，∵BD1∩D1N＝D1， BD1⊂平面BND1，D1N⊂平面BND1， ∴平面AMC∥平面BND1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于 点E，F，则四边形D1EBF的形状是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形 解析：　如图，因为平面和左右两个侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 49 12. 如图，在边长为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在底面正方形 ABCD内运动，若A1M∥平面D1B1C，则动点M的轨迹长度为 ⁠. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：过点A1作平面CB1D1的平行平面，即平面A1BD， 因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以BD∥B1D1， A1D∥B1C. 因为BD⊄平面D1B1C，A1D⊄平面D1B1C， B1D1⊂平面D1B1C，B1C⊂平面D1B1C，所以BD∥平 面D1B1C，A1D∥平面D1B1C. 因为A1D，BD⊂平面 A1BD，A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面CB1D1.因为A1M∥平面CB1D1，A1∈平面A1BD，所以M∈平面A1BD. 因为M∈平面ABCD，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以M∈BD，所以点M在底面ABCD的轨迹为线段BD，故点M的轨迹长度为BD＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 13. 如图，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F，P分别是线段EC，BD，CD的中点. （1）求证：GF∥平面ABC； 解：证明：如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形 ABED为正方形得，F为AE的中点， ∴GF为△AEC的中位线， ∴GF∥AC. 又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明. 解：平面GFP∥平面ABC，证明如下： ∵点F，P分别为BD，CD的中点， ∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC. 又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC， ∴FP∥平面ABC， 又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F， FP⊂平面GFP，GF⊂平面GFP， ∴平面GFP∥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 14. 〔多选〕如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形， 点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中 （　　） A. 平面EFGH∥平面ABCD B. BC∥平面PAD C. AB∥平面PCD D. 平面PAD∥平面PAB √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB， 又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EH∥平面 ABCD. 同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E， EF，EH⊂平面EFGH，∴平面EFGH∥平面ABCD，故 选项A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B、C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 15. 在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝ a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l. （1）证明：l∥CD； 解：证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD. 又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD. 又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l， 所以AB∥l，所以l∥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论. 解：存在.当F是PC的中点时，BF∥平面AEC. 证明如下：如图，取PE的中点M，连接FM. 由于M为PE的中点，F为PC的中点，所以FM∥CE. 由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝ PE＝ ED，所以E是MD的中点. 连接BM，BD. 设BD∩AC＝O. 因为四边形ABCD是菱形，所以O为BD的中点，连接OE. 所以BM∥OE. 又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB⊂平面BFM，CE，OE⊂平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC. 又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第四册（B版） 目 录 $