精品解析：2026年河南省平顶山市鲁山县第十三教研区中考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的基本概念，只有符号不同的两个数互为相反数. 【详解】解：的相反数是. 2. 如图是郑州博物馆收藏的汉兽纹长颈铜壶，若仅观察其轮廓，忽略表面纹饰．则关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图定义，结合图形分析，即可解题． 【详解】解：由三视图的定义，可知该铜壶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图都不同． 3. 某新型芯片的单个晶体管厚度约为0.0000000026m，将数据“0.0000000026”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，直线，点C在直线b上，，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质得出 ，由垂直的定义得出 ，最后由和差的关系即可求出． 【详解】解：如解图，标记． ∵直线， ∴ ． ∵， ∴ ． ∴ ． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法法则、完全平方公式、幂的乘方运算法则判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意； B、，故选项B计算错误，不符合题意； C、，故选项C计算错误，不符合题意； D、 ，计算正确，符合题意． 6. 关于的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：解不等式 ，得； 解不等式，得 ， 故不等式组的解集是． 7. 如图，四边形是的内接四边形，是的切线，交的延长线于点E．若经过圆心O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接．由四边形是的内接四边形可得 ，得出 ．由切线的性质得，可得 ，根据三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴ ． 又∵， ∴ ． ∵， ∴ ． ∵是的切线， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． 8. 化学实验课上，老师准备了3种溶液分别装在编号为1，2，3的试管中．1号试管装白醋．2号试管装小苏打水，3号试管装肥皂水，其中白醋呈酸性，小苏打水和肥皂水呈碱性．从3支试管中随机选取两支试管，两支试管中的溶液都能使酚酞变红（注：碱性溶液能使酚酞变红）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出树状图，求出从三支试管中任选两支的所有等可能结果，再找出满足两支溶液都为碱性的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：将白醋记为A，小苏打水记为B，肥皂水记为C，则A为酸性，不能使酚酞变红，B，C为碱性，能使酚酞变红． 画树状图如下： 可知共6种情况，其中满足“两支都能使酚酞变红”的情况有2种， ∴都能使酚酞变红的概率是． 9. 如图，某班数学兴趣小组要测量建筑物的高，在建筑物正前方点C处利用测角仪测得建筑物顶端A的仰角为α．已知测角仪的高为， ，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，则 ， ， ，由正切的定义得出 ，最后由 计算即可． 【详解】解：如下，过点作于点， 则 ， ， ， ∴ ． ∴ ． 10. 如图1，在正方形中，E是的中点，P是正方形内部一点（含正方形边上），且 ，连接并延长交边于点F，连接．设的长为x， 的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据y关于x的函数图象可知当时，点与点 重合，此时点与点 也重合，设正方形的边长为，则 ，根据勾股定理求出，则 ，即可求出正方形的边长为4，当时， ．连接，由 得出垂直平分．最后由全等三角形的判定和性质即可得出 ．即． 【详解】解：当时，点与点 重合，此时点与点 也重合，设正方形的边长为，则 ， 则 解得 ， ∴正方形的边长为4． ∴ ． 当时， ． ∵ ， ∴ ． 连接．如解图1， ∵ ， ∴垂直平分． ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 又有 ， ， ∴ ∴ ．即． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于2的无理数__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和有关的数，有规律的无限不循环小数．首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解． 【详解】解：，大于2的无理数只要被开方数大于4即可，如（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 12. 文旅局为了更好地促进本地旅游业的发展，对万岁山武侠城、清明上河园这两个景区的游客分别进行满意度调查．现从这两个景区满意度（满分10分）调查中各随机抽取10个评分数据，绘制成如下折线统计图．研究表明：满意度越稳定的景区，游客重游率越高，则这两个景区重游率更高的景区是___________．（填“万岁山武侠城”或“清明上河园”） 【答案】万岁山武侠城 【解析】 【分析】根据景区满意度折线统计的变化趋势进行判断即可． 【详解】解：由折线统计图可知，万岁山武侠城景区的游客满意度评分的波动更小、更稳定，故重游率更高． 13. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得 ，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 整理，得 ， 解得． 14. 如图，在中， 分别以 为直径作半圆，两个半圆交于边上的点D处，则两个半圆的重叠部分（图中阴影部分）的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设 的中点分别为 ，连接 ．证明 为等边三角形， 为顶角为的等腰三角形，标记．则，根据即可求出答案． 【详解】解：如图，设 的中点分别为 ，连接 ． 在中， ∴ ．， ∴． ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ． ∴ 为等边三角形， 为顶角为的等腰三角形， 如图，标记． ∵， ∴ 15. 如图，在 中， ，点O是的中点，线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则的最小值为___________，最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到 ，连接 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，即当的值最小时，的值最小； 当的最值的值最大时，的值最大．由勾股定理求出，得出故点在以为圆心，半径为的圆上， 当点在延长线上时，最小，根据 ，当点在延长线上时，最大，根据 ． 【详解】解：如解图，将绕点顺时针旋转得到 ，连接 ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 又 则 ， 即 ． 即当的值最小时，的值最小； 当的值最大时，的值最大． ∵ ， ∴． 故点在以为圆心，半径为的圆上， 当点在延长线上时，最小， 此时 ，即的最小值是 ． 当点在延长线上时，最大， 此时 ，即的最大值是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 为增强学生的消防安全意识，普及消防知识，学校决定举办“消防安全伴我行”主题活动，活动包括消防知识讲座、消防逃生演练和消防知识测试．学校从七、八年级各随机抽取相同数量的学生的消防知识测试成绩（成绩为整数，满分10分，9分及以上为优秀），并整理、绘制成如下统计图表． 七、八年级消防知识测试成绩统计表 统计量 平均分 众数 中位数 优秀率 满分率 七年级 8.25 a 8.5 50% 20% 八年级 8.30 8 b 40% 25% 根据以上信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中 ___________，表中___________， ___________． （2）若该校七年级有400人，八年级有360人，估计两个年级测试成绩为优秀的总人数． （3）结合统计数据，你认为哪个年级对消防知识的掌握情况更好？请说明理由． 【答案】（1）30；9；8 （2）344人 （3）七年级；因为七年级测试成绩的众数、中位数、优秀率均高于八年级、所以七年级对消防知识的掌握情况更好． 或八年级；因为八年级测试成绩的平均分、满分率均高于七年级，所以八年级对消防知识的掌握情况更好． （答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）用单位“1”减去已知百分比即可求出，根据所占百分比最多的即为众数，可求；由条形统计图可求出样本容量，按大小顺序排列可求出中位数； （2）用样本估计总体可得结论； （3）从“众数、中位数、优秀率”或“平均分、满分率”去分析即可 【小问1详解】 解：∵ ， ∴； 从扇形统计图得，9分所占百分比最多， 故众数是9，即； 由条形统计图可知八年级抽取的人数为 （人） 从小到大排列，第10，11个数据分别是8，8，故中位数 ； 【小问2详解】 解： （人）． 答：两个年级测试成绩为优秀的总人数约是344． 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，，点E在边上，平分． （1）尺规作图：在射线上求作点F，使 ．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若E是的中点，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点E作的垂线交于点F即可； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质作答即可． 【小问1详解】 解：作图略； 由作图可知 ， ∵平分， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵ ， ∴， 即， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交反比例函数的图象于点，交y轴于点B． （1）求反比例函数的表达式． （2）过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C，连接．若，求一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解答即可； （2）过点 作，垂足为．求出，得．把代入，求出即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得 ， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点 作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，过点 作，垂足为． ∵点， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 把代入，得， ∴点， ∴点． 把代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为 ． 20. 郑州航空港经济综合实验区作为全国重要的航空物流枢纽，近年来大力推进智慧物流园区建设．某智能仓储企业为响应园区号召，计划购进，两种型号的智能分拣机器人，负责园区内快递的自动分拣工作．已知每台型智能分拣机器人比每台型智能分拣机器人每小时多分拣200件快递，且每台 型智能分拣机器人分拣了3000件快递的时间与每台 型智能分拣机器人分拣2400件快递的时间相等． （1）求每台型、型智能分拣机器人每小时分别能分拣多少件快递． （2）该企业计划采购 ， 两种型号的智能分拣机器人共20台，要求 型智能分拣机器人数量不超过 型智能分拣机器人数量的3倍，若每台 型智能分拣机器人的价格为1.2万元，每台 型智能分拣机器人的价格为0.8万元，实际采购时厂家给予优惠，每台 型智能分拣机器人降价0.1万元，型智能分拣机器人价格不变，则如何采购最省钱？最少费用是多少？ 【答案】（1）每台型智能分拣机器人每小时能分拣1000件快递，每台 型智能分拣机器人每小时能分拣800件快递 （2）购买型智能分拣机器人5台、型智能分拣机器人15台时最省钱，最少费用是 万元 【解析】 【分析】（1）设每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递，则每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递，根据每台 型智能分拣机器人分拣了3000件快递的时间与每台 型智能分拣机器人分拣2400件快递的时间相等列出分式方程求解即可得出答案． （2）设购买型智能分拣机器人台，则购买型智能分拣机器人台．根据 型智能分拣机器人数量不超过 型智能分拣机器人数量的3倍，求出a的取值范围， 设总费用为，则 ，最后由一次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递，则每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递． 由题意，得， 解得 ． 经检验， 是原方程的解，且符合题意 ． 答：每台型智能分拣机器人每小时能分拣1000件快递，每台型智能分拣机器人每小时能分拣800件快递． 【小问2详解】 解：设购买型智能分拣机器人台，则购买型智能分拣机器人台． 由题意，得 ， ∴ ， 设总费用为，则 ． ∵ ， ∴随的增大而增大． ∴当时，最小，最小值为 ． 此时 ． 答：购买型智能分拣机器人5台、型智能分拣机器人15台时最省钱，最少费用是 万元． 21. 综合与实践 装修工人在拼装地板砖时，经常遇到需要把两块地板砖拼接在一起的情况． 如图1，如果两块地板砖的宽度相同，则把两块地板砖各切出一个 角后就能拼接成直角． 如图2，木工师傅现有一大一小两块条形地板砖边角料，大条形边角料 中 ，小条形边角料 中 ，按如图2所示的方式拼接时，发现点A与点B不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两块条形边角料拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，按如下的操作解决了问题，完成了拼接． 如图3，延长交于点E，连接，过点A作的平行线交于点F，沿着，切割，就能把一大一小两块条形边角料拼接成一个直角． 请你利用所学知识，补全下列已知、求证，并完成证明，说明其中的原理． 已知：如图3， 点A在OB上，且． 延长交于点E，点F在上，___________． 求证： ______， ________ 【答案】已知： ；求证：； ． 证明：∵ ， ∴四边形 是平行四边形． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【解析】 【分析】根据题意写出已知和求证，先证明四边形 是平行四边形，由平行四边形的性质得出 ，由对顶角相等得出 ，进而可得出 ，再由平行线的性质得出 ，进而可得出 ． 【详解】解：略； 22. 定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物中心对称点”．点在抛物线 上，点A的“抛物中心对称点”为点B． （1）求这个抛物线的表达式及顶点坐标． （2）①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线 ． ②将直线 向下平移3个单位长度得到直线，则直线上___________互为“抛物中心对称点”的两个点．（填“存在”或“不存在”） ③将抛物线 向上平移个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对称点”的两个点，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1） ； （2）①；②不存在；③ 【解析】 【分析】（1）求出点A的“抛物中心对称点”为点B的坐标，再运用待定系数法求出抛物线的解析式，运用配方求出顶点坐标即可； （2）①画出的抛物线和直线 即可； ②求出直线 的解析式为，平移后的解析式为，假设存在两点 ，判断是否在抛物线 上即可； ③平移后的抛物线的表达式为 ，设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点为，根据 可得 ，结合 可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，可知点，点，且点 均在抛物线上． 把代入 ，得， 解得， ∴抛物线的表达式为 ． ∴抛物线的顶点坐标是． 【小问2详解】 解：①略 ②设直线 的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线 的解析式为， 将直线向下平移3个单位长度得到直线 ， 假设存在两点关于原点对称， 把点的横坐标代入 得： 故不存在两点互为“抛物中心对称点”； ③由题意，得平移后的抛物线的表达式为 ． 设平移后的抛物线上互为“抛物中心对称点”的两个点为， ∴ ． ∴ ． 整理，得 ． ∴ ． ∴ ， ∵ ， ∴ ． 23. 在矩形中， ，，点M是边的中点，E为直线 上一动点（不与点B重合），连接． 【特例感悟】 （1）如图1，当点E与点D重合时，作点B关于的对称点为，连接， ．则 与 的数量关系是___________． （2）【深入探究】当点E为直线 上任意一点时，作点B关于的对称点，连接， ．则 与 的数量关系是什么？ 飞飞同学画出了图2和图3两种情况，请根据图2和图3写出结论，并说明理由． （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，连接 ，当 时，请直接写出的长． 【答案】（1） （或“相等”） （2）结论： 或 ．（两种情况）． 理由：在题图2和题图3中， ∵是的中点， ∴ ． 由轴对称的性质，可知 ， ∴ ． ∴． 又∵ ， ∴ ， 即 ． ∴ ． 由轴对称的性质，可知， ∴ ． ∴在题图2中， （两直线平行，内错角相等） 在题图3中， （两直线平行，同旁内角互补） （3） 或 【解析】 【分析】（1）证明四边形 是平行四边形，则 ，即可得到结论； （2）证明 ，分两种情况进行解答即可； （3）求出 ，分两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：延长交于点H． ∵M是边的中点， ∴ ． 根据轴对称的性质，得 ， ，． ∴ ． ∵四边形是矩形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴四边形 是平行四边形． ∴ ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当 时，如解图1，2所示． 由轴对称的性质，可知垂直平分， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ∴ ． 记，交于点． ∵ ， ∴ ≌ ． ∴． ∴ ∴四边形 是菱形． ∴ ． ∴当点在上时， ； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，的长为 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是郑州博物馆收藏的汉兽纹长颈铜壶，若仅观察其轮廓，忽略表面纹饰．则关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 某新型芯片的单个晶体管厚度约为0.0000000026m，将数据“0.0000000026”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，点C在直线b上，，若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是的内接四边形，是的切线，交的延长线于点E．若经过圆心O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 化学实验课上，老师准备了3种溶液分别装在编号为1，2，3的试管中．1号试管装白醋．2号试管装小苏打水，3号试管装肥皂水，其中白醋呈酸性，小苏打水和肥皂水呈碱性．从3支试管中随机选取两支试管，两支试管中的溶液都能使酚酞变红（注：碱性溶液能使酚酞变红）的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某班数学兴趣小组要测量建筑物的高，在建筑物正前方点C处利用测角仪测得建筑物顶端A的仰角为α．已知测角仪的高为， ，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在正方形中，E是的中点，P是正方形内部一点（含正方形边上），且 ，连接并延长交边于点F，连接．设的长为x， 的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于2的无理数__________． 12. 文旅局为了更好地促进本地旅游业的发展，对万岁山武侠城、清明上河园这两个景区的游客分别进行满意度调查．现从这两个景区满意度（满分10分）调查中各随机抽取10个评分数据，绘制成如下折线统计图．研究表明：满意度越稳定的景区，游客重游率越高，则这两个景区重游率更高的景区是___________．（填“万岁山武侠城”或“清明上河园”） 13. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 14. 如图，在中， 分别以 为直径作半圆，两个半圆交于边上的点D处，则两个半圆的重叠部分（图中阴影部分）的面积为___________． 15. 如图，在 中， ，点O是的中点，线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则的最小值为___________，最大值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）． 17. 为增强学生的消防安全意识，普及消防知识，学校决定举办“消防安全伴我行”主题活动，活动包括消防知识讲座、消防逃生演练和消防知识测试．学校从七、八年级各随机抽取相同数量的学生的消防知识测试成绩（成绩为整数，满分10分，9分及以上为优秀），并整理、绘制成如下统计图表． 七、八年级消防知识测试成绩统计表 统计量 平均分 众数 中位数 优秀率 满分率 七年级 8.25 a 8.5 50% 20% 八年级 8.30 8 b 40% 25% 根据以上信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中 ___________，表中___________， ___________． （2）若该校七年级有400人，八年级有360人，估计两个年级测试成绩为优秀的总人数． （3）结合统计数据，你认为哪个年级对消防知识的掌握情况更好？请说明理由． 18. 如图，在中，，点E在边上，平分． （1）尺规作图：在射线上求作点F，使 ．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若E是的中点，，，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交反比例函数的图象于点，交y轴于点B． （1）求反比例函数的表达式． （2）过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C，连接．若，求一次函数的表达式． 20. 郑州航空港经济综合实验区作为全国重要的航空物流枢纽，近年来大力推进智慧物流园区建设．某智能仓储企业为响应园区号召，计划购进，两种型号的智能分拣机器人，负责园区内快递的自动分拣工作．已知每台型智能分拣机器人比每台型智能分拣机器人每小时多分拣200件快递，且每台 型智能分拣机器人分拣了3000件快递的时间与每台 型智能分拣机器人分拣2400件快递的时间相等． （1）求每台型、型智能分拣机器人每小时分别能分拣多少件快递． （2）该企业计划采购 ， 两种型号的智能分拣机器人共20台，要求 型智能分拣机器人数量不超过 型智能分拣机器人数量的3倍，若每台 型智能分拣机器人的价格为1.2万元，每台 型智能分拣机器人的价格为0.8万元，实际采购时厂家给予优惠，每台 型智能分拣机器人降价0.1万元，型智能分拣机器人价格不变，则如何采购最省钱？最少费用是多少？ 21. 综合与实践 装修工人在拼装地板砖时，经常遇到需要把两块地板砖拼接在一起的情况． 如图1，如果两块地板砖的宽度相同，则把两块地板砖各切出一个 角后就能拼接成直角． 如图2，木工师傅现有一大一小两块条形地板砖边角料，大条形边角料 中 ，小条形边角料 中 ，按如图2所示的方式拼接时，发现点A与点B不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两块条形边角料拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，按如下的操作解决了问题，完成了拼接． 如图3，延长交于点E，连接，过点A作的平行线交于点F，沿着，切割，就能把一大一小两块条形边角料拼接成一个直角． 请你利用所学知识，补全下列已知、求证，并完成证明，说明其中的原理． 已知：如图3， 点A在OB上，且． 延长交于点E，点F在上，___________． 求证： ______， ________ 22. 定义：若抛物线上存在两点关于原点中心对称，则称这两点互为“抛物中心对称点”．点在抛物线 上，点A的“抛物中心对称点”为点B． （1）求这个抛物线的表达式及顶点坐标． （2）①在给出的平面直角坐标系中画出该抛物线和直线 ． ②将直线 向下平移3个单位长度得到直线，则直线上___________互为“抛物中心对称点”的两个点．（填“存在”或“不存在”） ③将抛物线 向上平移个单位长度，若平移后的抛物线上仍存在互为“抛物中心对称点”的两个点，请直接写出k的取值范围． 23. 在矩形中， ，，点M是边的中点，E为直线上一动点（不与点B重合），连接． 【特例感悟】 （1）如图1，当点E与点D重合时，作点B关于的对称点为，连接， ．则 与 的数量关系是___________． （2）【深入探究】当点E为直线上任意一点时，作点B关于的对称点，连接， ．则 与 的数量关系是什么？ 飞飞同学画出了图2和图3两种情况，请根据图2和图3写出结论，并说明理由． （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，连接 ，当 时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $