第五章 第43课时 复数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“复数”专题，依据新课标要求覆盖复数的概念、四则运算及几何意义三大核心考点，通过分析近五年高考真题明确运算化简占50%、几何意义应用占30%的高频考点分布，归纳出概念辨析、运算求解、轨迹问题等常考题型，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“考点深研+真题精练+素养提升”的复习模式，如以2024新高考Ⅰ卷复数运算题为例，详解“分母共轭化简法”和“模的性质应用”，培养学生的运算能力与几何直观素养。特设“易错提醒”和“多维变迁”板块，通过母题变式训练帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准定位学生短板，提升复习效率。

第五章　平面向量、复数 第43课时　复数 [考试要求]　1．通过方程的解，认识复数．2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．3．掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 第43课时　复数 理法先行·题练固本 知识点1　复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，通常用字母z表示，记作z＝a＋bi(a，b∈R)，其中i是虚数单位，实部是__，虚部是___． a b 第43课时　复数 3 (2)复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔__________(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔____________(a，b，c，d∈R)． a＝c且b＝d a＝c且b＝－d 第43课时　复数 (5)复数的模 设对应的复数为a＋bi，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作_____或_________，即|z|＝|a＋bi|＝________(a，b∈R)，即表示点Z(a，b)与原点O的距离． 知识点2　复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点_________及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． |z| |a＋bi| Z(a，b) 第43课时　复数 知识点3　复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝___________________； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝___________________； ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_______________________； ④除法：＝__________________(c＋di≠0)． (a＋c)＋(b＋d )i (a－c)＋(b－d )i (ac－bd )＋(ad＋bc)i i 第43课时　复数 (2)几何意义：如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即，． 第43课时　复数 [常用结论] 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． 2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)． 3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，，|zn|＝|z|n． 4．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 第43课时　复数 【教用·常用结论】 1．若ω＝－±i，则(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0． 2．z＝⇔z∈R． 第43课时　复数 1．(人教A版必修第二册P69例1)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则实数m＝______________．   －1　[由题意知 解得m＝－1．] －1　 第43课时　复数 2．(人教A版必修第二册P94复习参考题7T1(2))复数的共轭复数是______________．   －2＋i　[＝－2－i， 故其共轭复数是－2＋i．] －2＋i　 第43课时　复数 3．(北师大版必修第二册P180习题5－1 A组T6改编)当<m<1时，复数z＝m(3＋i)－(2－i)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 第43课时　复数 A　[由z＝m(3＋i)－(2－i)＝(3m－2)＋(m＋1)i， 又<m<1，则 所以复数z在复平面内对应的点为(3m－2，m＋1)，位于第一象限． 故选A．] 第43课时　复数 4．(北师大版必修第二册P183例5)计算：(－2－i)(3＋i)＝______________．   －5－5i　[(－2－i)(3＋i)＝－2×3－2×i－3×i－i×i＝－6－2i－3i－i2＝－6－2i－3i＋1＝－5－5i．] －5－5i　 第43课时　复数 5．(湘教版必修第二册P109练习T1(4)改编)已知z＝，则|z|＝______________．  1　[由题意可知|z|＝＝|i|＝1．] 1　 第43课时　复数 考点深研·题型突破 考点一　复数的概念 [典例1]　(多选)下列说法正确的是(　　) A．已知复数z＝1＋mi(m∈R)，且(2－i)为纯虚数，则m＝2 B．复数i(1＋i)的虚部为－1 C．若复数z满足z(1＋i)＝2，则|z|＝ D．若(x－i)i＝y＋5i(x，y∈R)，则x＋y＝6 √ √ √ 第43课时　复数 16 ACD　[对于A，由题知，＝1－mi，则(2－i)＝(1－mi)(2－i)＝(2－m)－(1＋2m)i， 又(2－i)是纯虚数，则解得m＝2，A正确； 对于B，i(1＋i)＝－1＋i，其虚部为1，B错误； 对于C，因为z(1＋i)＝2，所以z＝＝1－i， 则|z|＝，C正确； 对于D，由(x－i)i＝－i2＋xi＝1＋xi＝y＋5i， 得x＝5，y＝1，则x＋y＝6，D正确．故选ACD．] 第43课时　复数 [母题探究] 1．本例选项A条件不变，若(2－i)为实数，则实数m＝______________．  －　[由题知，＝1－mi，则(2－i)＝(1－mi)·(2－i)＝(2－m)－(1＋2m)i， 又(2－i)是实数，则1＋2m＝0，解得m＝－．] －　 第43课时　复数 2．本例选项B中，复数i(1＋i)的共轭复数为______________．   －1－i　[i(1＋i)＝－1＋i，故其共轭复数为－1－i．] －1－i 第43课时　复数 3．本例选项B中，复数z＝i(1＋i)的模为______________．   　[法一：z＝i(1＋i)＝－1＋i，|z|＝． 法二：|z|＝|i(1＋i)|＝|i||1＋i|＝．] 　 第43课时　复数 易错提醒：求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b． 第43课时　复数 【教用·通性通法】 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 第43课时　复数 考点二　复数的四则运算 [典例2]　(1)(2025·全国二卷)已知z＝1＋i，则＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 (2)(2026·青海模拟)已知复数z满足－2－z＝，则z＝(　　) A．3＋i B．－3＋i C．－3－i D．3－i √ √ 第43课时　复数 (3)(2026·白银模拟)设复数z＝，则z·＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i (4)(2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝______________．  √ 7－i　 第43课时　复数 (1)A　(2)C　(3)A　(4)7－i　[(1)＝－i，故选A． (2)由－2－z＝＝1＋i， 可得z＝－3－i．故选C． (3)∵＝i， ∴z＝i2 027＝i4×506+3＝－i，∴z·＝1．故选A． (4)(＋i)·(－2i)＝5＋i－2i＋2＝7－i．] 第43课时　复数 通性通法：(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算； (2)复数的除法关键是分子分母同乘分母的共轭复数． 第43课时　复数 [多维变迁] 1．(2024·新高考Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i √ C　[因为＝1＋＝1＋i， 所以z＝1＋＝1－i．] 第43课时　复数 2．(2026·桂林模拟)在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则＝______________．  2i　[因为复数z对应的点的坐标为(2，－1)， 所以z＝2－i，＝2＋i， 故＝2i．] 2i　 第43课时　复数 考点三　复数的几何意义 [典例3]　(1)(2026·东莞市模拟)若复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，则复数z在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(2026·深圳罗湖区校级模拟)若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z－1|的最大值是(　　) A．1 B． C．2 D． √ √ 第43课时　复数 (1)A　(2)B　[(1)由题意可知，＝2－i， 则z＝2＋i，在复平面上对应的点为(2，1)，位于第一象限． 故选A． (2)由复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2， 可知复数z在复平面内对应点的轨迹为以A(0，－1)，B(0，1)为两端点的线段， 而|z－1|的几何意义为线段上的点到点(1，0)的距离， 则|z－1|的最大值是． 故选B．] 第43课时　复数 通性通法：由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 第43课时　复数 [多维变迁] 1．(多选)(2025·玉林期中)已知复平面内的四个点A，B，C，D构成平行四边形的四个顶点，顶点A，B，C分别对应复数－5－2i，－4＋5i，2，则点D对应的复数可以是(　　) A．1－7i B．3＋7i C．－7－3i D．－11＋3i √ √ √ 第43课时　复数 ABD　[分三种情况： ①当时，zA－zB＝zD－zC， 则zD＝zA－zB＋zC＝－5－2i＋4－5i＋2＝1－7i； ②当时，zA－zB＝zC－zD， 则zD＝zC－zA＋zB＝2＋5＋2i－4＋5i＝3＋7i； ③当时，zC－zA＝zB－zD， 则zD＝zB－zC＋zA＝－4＋5i－2－5－2i＝－11＋3i． 所以点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i． 故选ABD．] 第43课时　复数 2．(2025·抚顺期末)已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，则|z－3－2i|的最小值为 ______________．  4　[|z＋2－2i|＝1， 复数z对应的点的轨迹是以C(－2，2)为圆心，半径r＝1的圆， 而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是复数z对应的点与点A(3，2)的距离． 又|AC|＝5，点A(3，2)在圆C外， 所以|z－3－2i|的最小值为|AC|－r＝5－1＝4．] 4　 第43课时　复数 教材拓展8　复数的三角形式 1．复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辐角． 2．辐角的主值 (1)辐角的定义：设复数z＝a＋bi的对应向量为，以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角θ，叫做复数z的辐角． 第43课时　复数 (2)辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z． 注意：因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的． 第43课时　复数 3．复数乘法的三角表示：已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)， 则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 4．复数除法的三角表示：已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)， 则[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 第43课时　复数 [典例4]　(多选)(2026·盐城模拟)复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)都可表示成z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0，θ∈R)的形式，称为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ) (n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有(　　) A．复数z＝1－i的三角形式为z＝2 B．当r＝1，θ＝时，z＋z2＋z3＋…＋z2 024＝0 C．当r＝2，θ＝时，z3＝－8 D．当r＝3，θ＝时，“n为偶数”是“zn为纯虚数”的充分不必要条件 √ √ 第43课时　复数 BC　[复数z＝1－i的三角形式为z＝2，故A错误； 当r＝1，θ＝时，z＝cos＋isin＝i， 因为i4k+1＋i4k+2＋i4k+3＋i4k+4＝0，k∈Z， 所以z＋z2＋z3＋…＋z2 024＝0，故B正确； 当r＝2，θ＝时，z＝2， z3＝＝23(cos π＋isin π)＝－8，故C正确； 第43课时　复数 当r＝3，θ＝时，z＝3， zn＝＝3n， 若zn为纯虚数，则 则＋kπ，所以n＝4k＋2，k∈Z， 虽然n＝4k＋2，k∈Z是偶数，但是偶数还有n＝4k，k∈Z的形式的数， 所以“n为偶数”是“zn为纯虚数”的必要不充分条件，故D错误． 故选BC．] 第43课时　复数 1．(链接考点一)(2025·漳州期末)已知z＝i3·(2＋i)，则z的实部为 (　　) A．1 B．－2 C．2i D．－2i √ A　[由z＝i3·(2＋i)＝－i·(2＋i)＝1－2i，得z的实部为1．故选A．] 第43课时　复数 2．(链接考点一)(2025·萍乡市期末)若复数(a2－3a＋2)＋(a2－4a＋3)i是纯虚数，则实数a的值为(　　) A．1或3 B．1或2 C．1 D．2 √ D　[∵(a2－3a＋2)＋(a2－4a＋3)i是纯虚数， ∴解得a＝2． 故选D．] 第43课时　复数 3．(链接考点二)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 √ A　[因为z＝＝－i，所以i，所以z－＝－i－i＝－i． 故选A．] 第43课时　复数 4．(链接考点三)(2025·长治月考)已知复数(1＋2i)－m(3－i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ______________．  (－∞，－2)　 第43课时　复数 (－∞，－2)　[由于(1＋2i)－m(3－i)＝(1－3m)＋(2＋m)i， 故点(1－3m，2＋m)位于第四象限， 因此 ∴∴m<－2， 即实数m的取值范围是(－∞，－2)．] 第43课时　复数 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 阶段检测(八)　第39～43课时 C　[若z＝－1－i，则|z|＝．故选C．] 第43课时　复数 46 √ 2．(2023·全国甲卷)＝(　　) A．－1 B．1 C．1－i D．1＋i 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 C　[＝1－i，故选C．] 第43课时　复数 47 √ 3．(2025·天津南开区期中)下列各式能化简为的是(　　) A． B．＋() C．()＋() D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 第43课时　复数 48 C　[对于A，，所以A错误； 对于B，＋()＝()－，所以B错误； 对于C，()＋()＝()＋，所以C正确； 对于D，，所以D错误． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 49 √ 4．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 第43课时　复数 50 C　[对于A，当a⊥b时，则a·b＝0， 所以x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误； 对于B，当a∥b时，则2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误； 对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0， 所以a⊥b，即充分性成立，故C正确； 对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 51 √ 5．(2025·郑州期中)已知在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，点P为矩形ABCD所在平面内一点，则()·的最小值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 第43课时　复数 52 C　[以A为原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示． 设P(x，y)，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，3)， 则＝(－x，－y)，＝(1－x，3－y)，＝ (1－x，－y)，所以＝(1－2x，3－2y)， 所以()·＝(1－2x)(1－x)＋(3－2y)·(－y)＝2＋2， 所以当且仅当x＝，y＝)·取得最小值－． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 53 √ 6．(人教A版必修第二册P52习题6.4T2)已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足||＝||＝||，＝0，且，则点O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 第43课时　复数 54 C　[∵||＝||＝||，∴O到△ABC三个顶点的距离相等， ∴O是△ABC的外心． ∵＝0， ∴N是△ABC的重心． ∵， ∴·()＝0，＝0， ∴⊥， 同理得到⊥⊥， ∴P是△ABC的垂心． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 55 √ 二、多项选择题 7．(2025·白银会宁校级三模)若复数z＝，则(　　) A．z＝3＋i B．z－3为纯虚数 C．复数z在复平面内对应的点位于第四象限 D．|z－2|＝2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 第43课时　复数 56 AB　[因为z＝＝3＋i，所以z－3＝i为纯虚数，故选项A，B正确； z＝3＋i，则z在复平面内对应的点(3，1)位于第一象限，故选项C错误； |z－2|＝|1＋i|＝，故选项D错误． 故选AB．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 57 √ 8．(2025·南阳期末)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则(　　) A．(a－b)⊥a B．a∥b C．a与b的夹角是 D．a在b上的投影向量是 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 第43课时　复数 58 ACD　[因为a＝(1，2)，b＝(3，1)， 则|a|＝，|b|＝，a·b＝1×3＋2×1＝5． 对于A，(a－b)·a＝a2－a·b＝5－5＝0， 即(a－b)⊥a，故A正确； 对于B，因为1×1≠2×3， 所以a，b不共线，故B错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 59 对于C，设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝， 又θ∈[0，π]， 即a与b的夹角为，故C正确； 对于D，a在b上的投影向量是b＝b＝，故D正确． 故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 60 三、填空题 9．(2024·上海卷)已知a＝(2，5)，b＝(6，k)，且a∥b，则k的值为______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 15　[∵a∥b，∴2k＝5×6，解得k＝15．] 15　 第43课时　复数 61 10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　[由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3， 即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|， 得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2， 整理得3a2－6a·b＝0， 所以3a2－3(a2＋b2－3)＝0， 所以b2＝3，所以|b|＝．] 　 第43课时　复数 62 四、解答题 11．(人教A版必修第二册P95复习参考题7T9)已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求实数λ的取值范围． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 第43课时　复数 63 [解]　由z1＝z2，得 消去m，可得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4． 由于－1≤sin θ≤1，可得－≤λ≤7，即λ的取值范围是． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 64 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(2025·邵阳期末)如图，在△ABC中，＝2，＝3，BD与CE交于点O，若＝m＋n(m，n∈R)． (1)求m＋n的值； (2)设△ABC的面积为S，△OBC的面积为S'， 求的值． 第43课时　复数 65 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 [解]　(1)依题意有＝m＋n(m，n∈R)， 因为＝3， 因为B，O，D三点共线， 所以＝m＋(1－m)＝m， 因为＝2， 因为C，O，E三点共线， 66 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 所以＝n＋(1－n)＝n， 根据平面向量基本定理，可得 解得 所以m＋n＝． 67 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 (2)延长AO与BC交于点F，因为B，F，C三点共线， 所以设＝t＋(1－t)， 又因为∥＝λ， 即＝λ[t＋(1－t)]＝λt＋λ(1－t)， 68 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 所以 解得． 所以． 69 谢谢！ $