2.1 一元二次方程导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“一元二次方程”核心内容，涵盖概念、一般形式及解的定义。通过正方形面积、矩形花圃等实际情境引导学生列方程，对比一元一次方程特征，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架。 以情境创设激发兴趣，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，通过归纳方程共同特征发展推理意识。例题与训练题分层设计，结合实际问题强化模型意识，助力学生理解概念并提升应用能力，适合课堂教学与自主学习。

2.1 一元二次方程 学习目标： 班级__________姓名__________ 1. 理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式； 2. 会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题； 3. 在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识. 学习重点：一元二次方程的概念. 学习难点：从具体问题中抽象出一元二次方程的过程. 学习过程： 1、 情境创设 用方程描述实际问题中的数量关系： 1. 正方形桌面的面积是2，问：正方形的边长与面积之间有何数量关系？ 设正方形桌面的边长是x cm，可得______________________. 2. 如图1，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24. 设花圃的宽是x m，则花圃的长是_____________m，可得方程：_____________________. 3. 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，可得方程：__________________________. 4. 如图2，长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m，设梯子的底端到墙面的距离是x m，可得方程_____________________. 2、 新知探求 思考：上面所列的方程有什么共同特征？ 1. 一元二次方程的概念： 只含有______未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫一元二次方程. 练一练： 下列方程是一元二次方程的有 （写序号）. ①； ②； ③； ④（ｍ是不为零常数）； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ . 注：认识一元二次方程需从以下几个方面去考虑： ① ② ③ ④ 2. 一元二次方程的一般形式 任何一个关于的一元二次方程都可以化成是常数）的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中分别叫_________、________和______，分别叫做_________和_________. 注意：（1）二次项系数；（2）方程化为一般形式后才能确定二次项、一次项、常数项. 思考：（1）当b=0，c=0时，方程的形式为__________________； （2）当b=0，c≠0时，方程的形式为__________________. 它们是一元二次方程吗？ 3、 例题讲解 例1、把下列一元二次方程整理成一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项. （1）； （2）； （3）； （4）. 源:学科网ZXXK] 例2、若关于的方程. （1）当的取何值时，此方程是一元二次方程 ? （2）当的取何值时，此方程是一元一次方程 ? 例3、若一元二次方程的一个解为1，求a的值. 4、 课堂小结：本节课你有什么收获？ 【当堂训练】 1. 下列方程中是一元二次方程的是 （ ） A. B. C. D. 2. 无论a为何实数，下列关于的方程是一元二次方程的是 （ ） A．(a2－1)x2+bx+c=0 B. ax2+bx+c=0 C．a2x2+bx+c=0 D. (a2+1)x2+bx+c=0 3. 方程化为一般形式是________________，其中二次项是__________, 一次项系数__________，常数项__________. 4. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则 . 5. 已知关于的方程是一元二次方程，则 . 6. 关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2＝0，当m　 　时为一元一次方程；当m　 　时为一元二次方程． 课后作业 1. 将一元二次方程化成一般形式(a>0)后，一次项和常数项分别是___________和___________. 2. 已知关于x的方程x²+mx+3=0的一个根为x=1，则实数m的值为_________. 3. 有下列方程：① ；②(x－2)²=2x(x－2)；③；④(x－1)(2x+3)=0；⑤mx²－3x+5=2x²(m≠0). 其中一定属于一元二次方程的是 (填序号). 4. 已知关于x的方程(2k +1)x²－4kx+k－1=0. （1）当k___________时，此方程是一元一次方程； （2）当k___________时，此方程是一元二次方程. 5. 若x=3是关于x的方程ax²－bx－6=0的解，则2023－6a+2b的值为__________. 6. 已知关于x的一元二次方程(m－3)x²+m²x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为________. 7. 已知关于x的一元二次方程的一个根是x=0，则实数a的值为_________. 8. 已知m是方程x² +4x－1=0的一个根，则(m+5)(m－1)的值为________. 9. 若m是方程x²－2x－1=0的根，则的值为__________. 10. 若x0是方程ax²+2x+c=0(a≠0)的一个根，设M=2－ac，N=(a x0+1)²，则M与N的关系为___________. 11. 用方程描述下列问题中的数量关系(不用求解)： （1）已知两个连续奇数的平方和为74，求这两个奇数. （2）重庆在低空经济领域实现了新的突破，今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次. 求第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率. （3） 如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个相同的边长为2厘米的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32立方厘米，所用的正方形纸板的边长应是多少厘米? 12. 已知关于x的方程，回答下面的问题： （1）若方程是一元二次方程，求m的值 . （2）若方程是一元一次方程，则m的值是否存在?若存在，请求出m的值，并求出方程的解. 学科网（北京）股份有限公司 $