福建厦门市同安实验中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题

**基本信息** 以高斯函数等文化情境为载体，通过基础巩固（如集合运算）、能力提升（如导数极值分析）、创新应用（如分段函数值域探究）的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言，适配高三月考综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数图像、导数极值、三角恒等变换|融入高斯函数文化素材，考查数学抽象与创新意识| |多选题|3/18|三角函数图像、函数周期性与极值|结合图像分析，强化逻辑推理与空间观念| |填空题|3/15|三角函数周期、最值、分段函数定义|注重数学语言表达，检测运算能力与模型意识| |解答题|5/77|数列综合、解三角形、立体几何、抛物线、导数应用|导数题含不等式证明与比较大小，体现数学建模与批判性思维，贴合高考命题趋势|

厦门市同安实验中学2024-2025学年度（上）高三第二次月考 数学试卷 全卷满分150分，考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 5．已知函数在处取得极小值，则（    ） A． B．0 C．1 D．0或1 6. 已知角满足，则的值为 （ ） A. B. C. D. 7．高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和计算机领域.若函数，则当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 8. 已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知角的终边过点，则(    ) A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 11. 定义在上的函数满足，当时，，则（ ） A 当时， B. 当为正整数时， C. 对任意正实数在区间内恰有一个极大值点 D. 若在区间内有3个极大值点，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知函数f（x）＝sin 2x— 2sin2x+1，则f（x）的最小正周期为 . 13．已知，，则的最大值是 ． 14. 已知函数的定义域是，，，当时，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题分）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，． (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 16．（本小题分）已知的内角A，，所对的边分别为，，，且. （1）求A； （2）若为边上一点，，求. 17．（本小题分）如图，在四棱锥中，，，底面是直角梯形，．   (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（本小题17分）在直角坐标系中，已知抛物线:，焦点为F，过点F且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为. 求的值； 过点的直线与抛物线交于两点（），直线与线段交于点. (i)证明：直线轴； (ii)求面积的最大值. 19.本小题分已知函数 若，求曲线在点处的切线方程； 若不等式对任意恒成立． (i)求实数的取值范围； (ii)试比较与的大小，并给出证明为自然对数的底数， 第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高三上学期期中考第二次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 集合，集合，则（    ） A． B． C． D． D解析：由即解得，则， 由解得，则，∴，故选：D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义即可得答案. 【详解】是增函数， 又， ， 又是增函数， 则，故充分性成立； 是增函数，， ， 又是增函数， ，故必要性成立. 即“”是“”的充要条件. 故选：. 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出为奇函数，排除CD；由排除B，得到答案. 【详解】定义域为R， ，函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除CD； 又，排除B. 故选：A 4．设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以，因为，所以. 因为，所以，所以. 故选：D 5．已知函数在处取得极小值，则（    ） A． B．0 C．1 D．0或1 【答案】C 【分析】由导数为0求得，然后利用单调性再确定是极小值点即得． 【详解】由已知， 因此，或， 若，则， 时，，递增，时，，递减，是极大值点，不合题意， 若，则， 时，，递减，时，，递增，是极小值点，符合题意，因此 故选：C 6. 已知角满足，则的值为 （ ） A. B. C. D. B 7．高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和计算机领域.若函数，则当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的定义域，结合复合函数的单调性判断在时的单调性，即可求得的值域，根据取整函数的定义，即可求得答案. 【详解】由，得，解得， 则的定义域为， 当时，令，函数在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的值域为，所以的值域为， 故选：C. 8. 已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案. 【详解】的值域为，且， 当时， 则，为增函数，， 而时，为增函数， 此时，，不符题意； 当时， 则，为减函数，， 而时，为减函数， 此时，， 因为的值域为，当且仅当时，满足题意， 此时，，则，整理得，，解得； 综上，时满足题意. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知角的终边过点，则(    ) A. B. C. D. BD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论． 【详解】由函数的部分图象可知：， 又因为，即结合函数的单调性可得 ,故A正确； 即所以； 所以． 对于选项C：当时，可得， 所以的图象关于直线对称， 故C正确； 对于选项D： 当时，， 所以，即，故D正确； 故选：ACD． 11. 定义在上的函数满足，当时，，则（ ） A 当时， B. 当为正整数时， C. 对任意正实数在区间内恰有一个极大值点 D. 若在区间内有3个极大值点，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据题意求的解析式，即可判断；对于B：利用累加法分析判断；对于CD：分析可知当时，，求得，利用导数求极值点，举反例说明C，根据极值点即可判断D. 【详解】对于选项A：因为函数满足， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，，故A错误； 对于选项B：因为，且， 则，，， ， 可得， 所以，故B正确； 对于选项CD：由选项A可得： 当时，， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则在内有且仅有一个极大值点， 即， 例如当，则，不合题意，故C错误； 若在区间内有3个极大值点，则， 所以的取值范围是，故D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：对于CD：根据选项只需研究内的极值点，得到其解析式的通式，进而求得判断其极值点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知函数f（x）＝sin 2x— 2sin2x+1，则f（x）的最小正周期为 . 【答案】π 13．已知，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最大值是， 故答案为： 14. 已知函数的定义域是，，，当时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知关系式可推导求得，利用周期性和对称性可得，结合已知函数解析式可求得结果. 【详解】由得：， 又，， ，， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题分）已知等差数列中，，前n项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，． (1)求与； (2)定义新数列满足，，求前20项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公差和公比，根据等差数列和等比数列的基本量运算，列出方程组，解之即得数列通项； （2）根据数列的奇偶性特征，运用分组求和法计算，利用等差数列和等比数列的求和公式计算即得. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 则由可得，， 解得：故 （2）由（1）得，，， 则 16．（本小题分） 已知的内角A，，所对的边分别为，，，且. (1)求A； （2）若为边上一点，，求. 【小问1详解】 （1）因为，且，则，即， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 法①：由（1）得，，因为，所以， 如图在中，由余弦定理 ，即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中. 法②：同解法①，在中由正弦定理， 即，所以， 又因为，即，所以. 法③同上，在直角中，所以， 由（1）问知，所以，即，得即，所以，. 法④如图由（1）知，则， 因为，所以 ，即，解得，所以，即， 在中，由正弦定理，即，解得. 17．（本小题分）如图，在四棱锥中，，，底面是直角梯形，．    (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）取中点，连接，，，先由几何条件证明平面，再利用线面垂直判定定理证明平面，从而可求解. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的中的一个法向量，利用空间向量法求解面面夹角，从而可求解. 【详解】（1）证明：取中点，中点，连接，，，连接交于点，如图， 因为，所以， 又因为，在中， 因为，在中， 又因为，则，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在和中，， 所以，又因为，所以， 所以，则， 又，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）由（1）得以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如上图， 则，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 由（1）知平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 因为，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. 故平面与平面的夹角余弦值为. 18．（本小题分）在直角坐标系中，已知抛物线:，焦点为F，过点F且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为. 求的值； 过点的直线与抛物线交于两点（），直线与线段交于点. (i)证明：直线轴； (ii)求面积的最大值. (过程略) 19.本小题分已知函数 若，求曲线在点处的切线方程； 若不等式对任意恒成立． (i)求实数的取值范围； (ii)试比较与的大小，并给出证明为自然对数的底数， 【答案】因为时，， 所以切点为， 所以时，曲线在点处的切线方程． 因为， 当时，，所以在上单调递增，， 所以不合题意． 当时，即时，在恒成立， 所以在上单调递减，有，所以满足题意． 当时，即时，由，可得，由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以所以不合题意， 综上所述，实数的取值范围是． 时，“比较与的大小”等价于“比较与的大小”， 设，， 则， 在上单调递增，因为， 当时，，即，所以， 当时，，即，， 综上所述，当时，； 当时，； 当时，．   【解析】【分析】时求导，得到在切点处切线斜率，代入点斜式即可； 求导对分情况讨论，讨论函数的单调性，结合题目要求对任意恒成立即可得到实数的取值范围； 比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解． 第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $