2.2.3 一元二次不等式的解法教学设计——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.2.3 一元二次不等式的解法

【课程基本信息】

年级	高一	课题	一元二次不等式的解法
课时	1课时	授课教师

【教学目标】

1.了解一元二次不等式的概念.
2.掌握一元二次不等式的解法.

【教学重点】

一元二次不等式的概念.

【教学难点】

一元二次不等式的解法

【教学过程】

汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.

在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m，已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别为s甲=，s乙=，试判断甲、乙两车有无超速现象.

设计意图：结合身边的事物举例，引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受.同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边.

不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式和，即v²-10v-600>0和v²-10v-

2000>0.

一元二次不等式的定义：一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0．一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．

教师提问：如何求一个一元二次不等式的解集呢?

让我们从简单的一元二次不等式开始探讨.

首先来看一元二次不等式x(x-1)>0. ①注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说ab>0，当且仅当或因此，不等式①可以转化为两个不等式组或解得x>1或x<0，因此，不等式①的解集为(-∞，0)∪(1，+∞)．

用类似的方法可以求得不等式(x+1)(x-1)<0②的解，但此时的依据是：ab<0当且仅当或因为不等式②可以转化为两个不等式组或不难解得x∈或-1<x<1，因此不等式②的解集为(-1，1).

设计意图：类比一元二次不等式x(x-1)>0的解法，求解一元二次不等式(x+1)(x-1)

<0.

一元二次不等式的解集：一般地，如果x1<x2，则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞).

教师提问：根据上面例1的一元二次不等式的解法，尝试解答情境与问题的不等式的解法？

情境与问题中的不等式，v2-10v-600>0可以化为(v+20)(v-30)>0，因此甲车的车速v>30；而v2-10v-2000>0可以化为(v+40)(v-50)>0，因此乙车的车速v>50.由此可见，乙车肯定超速了.

尝试与发现：通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法:

(1)x2＜-1；  (2)x2>-2；  (3)x2<9.

因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中(1)的解集为，(2)的解集为R.对于x2<9来说，两边同时开根号可得，即|x|<3，因此-3<x<3，从而得到(3)的解集为(-3，3).

结论：一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集.

教师提问：尝试总结利用配方法求一元二次不等式的概念.