2.2.3 一元二次不等式的解法教学设计——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦一元二次不等式的概念与解法，通过刹车距离的实际情境导入，从生活问题抽象出不等式，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生逐步掌握因式分解、配方法等解法。 特色在于情境化教学与逻辑推理结合，以刹车距离问题培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过从具体不等式到一般解法的推理过程发展数学思维，例题涵盖多种类型帮助学生用数学语言表达和解决问题，提升学生应用能力，为教师提供清晰的教学流程和实例支撑。

2.2.3 一元二次不等式的解法 【课程基本信息】 年级 高一 课题 一元二次不等式的解法 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.了解一元二次不等式的概念. 2.掌握一元二次不等式的解法. 【教学重点】 一元二次不等式的概念. 【教学难点】 一元二次不等式的解法 【教学过程】 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m，已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别为s甲=，s乙=，试判断甲、乙两车有无超速现象. 设计意图：结合身边的事物举例，引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受.同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边. 不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式和，即v²-10v-600>0和v²-10v- 2000>0. 一元二次不等式的定义：一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0．一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． 教师提问：如何求一个一元二次不等式的解集呢? 让我们从简单的一元二次不等式开始探讨. 首先来看一元二次不等式x(x-1)>0. ①注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说ab>0，当且仅当或因此，不等式①可以转化为两个不等式组或解得x>1或x<0，因此，不等式①的解集为(-∞，0)∪(1，+∞)． 用类似的方法可以求得不等式(x+1)(x-1)<0②的解，但此时的依据是：ab<0当且仅当或因为不等式②可以转化为两个不等式组或不难解得x∈或-1<x<1，因此不等式②的解集为(-1，1). 设计意图：类比一元二次不等式x(x-1)>0的解法，求解一元二次不等式(x+1)(x-1) <0. 一元二次不等式的解集：一般地，如果x1<x2，则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞). 教师提问：根据上面例1的一元二次不等式的解法，尝试解答情境与问题的不等式的解法？ 情境与问题中的不等式，v2-10v-600>0可以化为(v+20)(v-30)>0，因此甲车的车速v>30；而v2-10v-2000>0可以化为(v+40)(v-50)>0，因此乙车的车速v>50.由此可见，乙车肯定超速了. 尝试与发现：通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法: (1)x2＜-1； (2)x2>-2； (3)x2<9. 因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中(1)的解集为，(2)的解集为R.对于x2<9来说，两边同时开根号可得，即|x|<3，因此-3<x<3，从而得到(3)的解集为(-3，3). 结论：一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集. 教师提问：尝试总结利用配方法求一元二次不等式的概念. 配方法求一元二次不等式：一元二次不等式ax²+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 【课堂例题】 例1：求不等式x²-x-2>0的解集. 解：因为x²-x-2=(x+1)(x-2)，所以原不等式等价于(x+1)(x-2)>0，因此所求解集为(-∞，-1)∪(2，+∞). 因式分解：这种一元二次不等式的解法叫做因式分解. 例2：求下列不等式的解集： (1)x2+4x+1≥0； (2)x2-6x-1≤0； (3)-x2+2x-1<0； (4)2x2+4x+5>0. 解：(1)因为x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=(x+2)2-3，所以原不等式可化为(x+2)2-3≥0，即(x＋2)2≥3，两边开平方得|x+2|≥，从而可知或，因此或，所以原不等式的解集为. (2)因为x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，所以原不等式可化为(x-3)2-10≤0，即(x-3)2≤10，两边开平方得|x-3|≤，从而可知，因此，所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为x2-2x+1>0，又因为x2-2x+1=(x-1)2，所以上述不等式可化为(x-1)2>0．注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为(-∞，1)∪(1，+∞)． (4)原不等式可以化为.因为，所以原不等式可以化为，即，不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R． 例3：求不等式≥1的解集. 解：由题意知x-2≠0，因此(x-2)2>0，原不等式两边同时乘以(x-2)2可得(2x+1)(x-2)≥(x-2)2且x-2≠0，即(x+3)(x-2)≥0且x≠2，因此所求不等式的解集为(-∞，3]∪(2，+∞). 例3说明，有些不等式通过变形之后，可以借助于一元二次不等式的解法来解. 【课堂巩固】 1.已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是( ) A.或 B. C.或 D. 2.一元二次不等式的解集是，则a+b的值是( ) A.10 B. -10 C. 14 D. -14 3.若不等式的解集为，则( ) A. B. C. D. 【小结作业】 71页的课后习题 【板书设计】 2.2.3 一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的定义 2.一元二次不等式的解法 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $