1.1.1 空间向量及其运算（第二课时）课件——2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的夹角、数量积、投影及性质，通过复习平面向量夹角概念，引导学生类比迁移，建立空间向量夹角定义，搭建从平面到空间的知识学习支架。 其亮点在于以“尝试与发现”“思考一下”引导探究，结合正方体、长方体实例，培养数学抽象与逻辑推理能力。通过例题解析与课堂练习，强化几何直观，助力学生理解数量积几何意义，教师可高效教学，学生能逐步形成用数学眼光观察空间形式的习惯。

人教B版(2019)选择性必修第一册 1.1.1 空间向量及其运算（第二课时） 第一章 空间向量与立体几何 1 学习目标 掌握空间向量的数量积的概念，体现数学抽象能力（重点） 掌握空间向量的数量积的有关简单性质以及数量积运算的运算律，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 复习一下：平面向量中两个向量的夹角的概念： 观察上述平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角该如何定义？ 3 新课学习 空间向量夹角的概念 零向量与任意向量都垂直. 4 新课学习 例4: 如图所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角： 5 新课学习 空间向量数量积的概念 规定：零向量与任意向量的数量积为0. 6 新课学习 始点 终点 思考一下：平面向量数量积的关于投影的几何意义是什么？ 过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a'，a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积. 特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的数量. 7 新课学习 尝试与发现：观察平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中.如果能，尝试说出推广后的不同之处；如果不能，说出理由？ 空间向量的数量积也可以按照上述方法定义的，而且空间向量的数量积也具有类似的性质. 空间向量a在向量b上的投影a′，除了按照上述的方法之外，还可以过a的起始点和终点分别作与b所在直线垂直的平面得到的. 这可以从右图的正方体看出来的，其中向量b在棱AB上， 8 新课学习 直线或者平面上的投影的概念 9 新课学习 空间向量数量积的性质 10 新课学习 证明：对于分配律的证明： 当a，b，c共面时，根据平面向量数量积的性质可知，结论成立. 11 新课学习 证明：对于分配律的证明： 在这个式子两边同时乘以|c|，即可知 12 新课学习 方法一： 因为是长方体，而且AA′=AD=2，所以 因此 13 新课学习 方法二： 14 新课学习 15 课堂练习 C 16 课堂练习 D 17 课堂练习 18 课堂练习 B 19 课堂练习 20 课堂练习 B 21 课堂练习 22 课堂练习 D 23 课堂练习 24 课堂练习 25 课堂总结 1.空间向量夹角的概念 2.空间向量数量积的概念 3.投影的概念 4.空间向量数量积的性质 26 谢 谢 观 看 27 给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作 ， ，则大小在 内的 称为a与b的夹角，记作 . 特殊的空间向量的夹角：特别地，如果 ，那么向量a与b垂直，记作 ； (3) . (4) . (1)由于 与 的方向相同，所以 . (2) . 两个非零向量 与 的数量积（也称为内积），定义为 . 一般地，给定空间向量a和空间中的直线l（或平面 ），过a的始点和终点分别作直线l（或平面 ）的垂线，假设垂足为A，B，则向量 称为a在直线l（或平面 ）上的投影. 如图所示，设ABCD- 是一个长方体，点O与 都在直线AB上，且 ， ， 注意到 ，这就说明 由图可以看出， 在 上的投影是 ，而且 注意到 与 的方向相反，所以 等于 的长的相反数，即 1.在正四面体 中，点 分别是 的中点，则 与 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：由题意，可得 ，所以 . 2.在正方体 中， 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 解析：如图所示，连接 ，BD，则 ， 是 的补角， ， ， ，故选D. 3.在正方体 中，若它的棱长为1，则 ( ) A.0 B.1 C.0.5 D. 解析：由题意得 . 故选B. 4.在棱长为2的正方体 中， ( ) A. B.4 C. D.2 解析：在棱长为2的正方体 中， ， ，因为 ， 与 的夹角为 ，所以 与 的夹角为 ， .故选：B 5.关于空间向量 ， ， ，下列运算错误的是( ) A. B. C. D. 6.已知空间中四点A，B，E，C，若 ，则 ________ .（选填“ ”“ ”或“＝”） 解析：因为 ，所以 ，所以 . $