课时测评54 平面向量的应用及最值问题（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评54　平面向量的应用及最值问题 (时间：50分钟　满分：75分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—10题，每小题5分，共50分) 1.若向量＝，＝分别表示两个力F1，F2，则｜F1＋F2｜＝(　　) A. B.2 C. D. 答案：C 解析：由于F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以｜F1＋F2｜＝＝.故选C. 2.四边形ABCD中，＝，·(－)＝0，则这个四边形是(　　) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形 答案：A 解析：由题意，＝，即｜AD｜＝｜BC｜且AD∥BC，故四边形ABCD为平行四边形，又·＝｜｜2－｜｜2＝0，故AB＝AD，即四边形ABCD为菱形.故选A. 3.已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则｜a＋b＋c｜ 的取值范围是(　　) A.[－1，＋1] B.[1，] C.[，] D.[－1，1] 答案：A 解析：设a＝，b＝，c＝，由题意可得｜｜＝｜｜＝｜｜＝1，且OA⊥OB，以OA，OB 为邻边作正方形OADB，连接OD，如图所示，则｜a＋b｜＝｜｜＝，｜a＋b＋c｜＝｜＋｜，当 与 方向相同时，｜a＋b＋c｜ 最大，为＋1 ；当 与 方向相反时，｜a＋b＋c｜ 最小，为－1 .故选A. 4.如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A.8 B.9 C.12 D.16 答案：D 解析：由已知得＝3，所以＝x＋y＝x＋3y，因为E为线段AD上的动点，所以A，D，E三点共线，所以x＋3y＝1且x＞0，y＞0，所以＋＝＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当x＝y＝时，等号成立.故＋的最小值为16.故选D. 5.(一题多解)已知AB是圆C：(x－1)2＋y2＝1的直径，点P为直线x－y＋1＝0上任意一点，则·的最小值是(　　) A.0 B.－1 C.1 D. 答案：C 解析：法一：不妨设A(0，0)，B(2，0)，P(x，x＋1)，则＝(－x，－x－1)，＝，所以·＝－x＋(－x－1)(－x－1)＝2x2＋1≥1，所以·的最小值为1.故选C. 法二：设P(x，x＋1)，由题意知，圆心C(1，0)，因为＝＋，＝＋，又＋＝0，所以·＝·＝｜｜2－｜｜2＝2x2＋1≥1，所以·的最小值为1.故选C. 法三：如图所示，·＝·＝｜｜2＋·＋·＝｜｜2＋·＝｜｜2－r2＝d2－r2，其中d为圆心C到直线x－y＋1＝0上的点的距离，故当d最小时，·最小.因为dmin＝＝，所以·的最小值为2－1＝1.故选C. 6.(多选)已知平面向量＝ (－1，k )，＝(2，1)，若△ABC 是直角三角形，则k 的可能取值是(　　) A.－2 B.2 C.5 D.7 答案：BD 解析：因为＝(－1，k)，＝(2，1)，所以＝－＝(3，1－k) .△ABC 是直角三角形，当A 为直角时，·＝－1×2＋k＝0，得k＝2；当B 为直角时，·＝1×3－k(1－k)＝0，此时关于k 的方程无解；当C 为直角时，·＝7－k＝0，得k＝7 .综上，k 的可能取值是2，7 .故选BD. 7.(多选)(2024·湖北黄冈质量抽测)折扇又名“纸扇”，是一种用竹木作扇骨，韧纸或绫绢作扇面的能折叠的扇子，如图①所示.其平面图是如图②的扇形AOB，其中∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，点F在弧AB上，且∠BOF＝120°，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有(　　) A.·＝－1 B.＝λ＋m，则λ＋m＝＋1 C.在方向上的投影向量为 D.·的最小值是－3 答案：BCD 解析：以O为坐标原点，OB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系. 因为∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，∠BOF＝120°，所以F(－1，)，B(2，0)，D(1，0)，A(－，1)，C.设E，0≤θ≤.对于A，·＝·(－－1，1)＝－－1，故A错误；对于B，＝λ＋m，即解得λ＋m＝＋1，故B正确； 对于C，因为＝，＝(－2，)，所以在方向上的投影向量为·＝×＝，故C正确；对于D，·＝(－1－cos θ，－sin θ)·(2－cos θ，－sin θ)＝－2－cos θ＋cos2θ－sin θ＋sin2θ＝－1－2sin(θ＋)，因为0≤θ≤，所以≤θ＋≤π，0≤sin(θ＋)≤1，所以当θ＝时，·取得最小值－3，故D正确.故选BCD. 8.在四边形ABCD中，＝，＝，⊥，则该四边形的面积是　　　　. 答案：10 解析：由＝，＝，⊥，可得·＝3×2＋(－1)×m＝0，解得m＝6，所以四边形的面积为｜｜·｜｜＝××＝10. 9.已知｜a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则a和b的夹角的取值范围是　　　　. 答案： 解析：由｜a｜＝2｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则｜a｜2－4a·b≥0，得a·b≤｜a｜2.设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝≤＝，又θ∈[0，π]，所以θ∈. 10.已知平面向量a，b，c均为单位向量，且｜a－b｜＝1， 则(a－b)·(b－c) 的最大值为　　　　. 答案： 解析：依题意，1＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2a·b，故a·b＝，所以(a－b)·(b－c)＝a·b－b2－(a－b)·c＝(b－a)·c－＝｜b－a｜｜c｜·cos＜b－a，c＞－≤1－＝，当且仅当b－a与c同向时取等号.所以(a－b)·(b－c) 的最大值为 . (11—13题，每小题5分，共15分) 11.(2025·江西重点中学协作体联考)如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则·的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意可得，·＝·＝·＝－＝－1，当OM与正六边形的边垂直时，＝，当点M运动到正六边形的顶点时，＝2，所以∈，则∈，即·＝∈.故选B. 12.(2025·江南十校联考)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，AD＝4，DC＝1，点E是线段AB上一点，且满足AE＝4EB，动点P在以E为圆心，半径为1的圆上运动，则·的最大值为(　　) A.－6 B.－ C.2－6 D. 答案：A 解析：如图，以E为原点，建立直角坐标系.由题意，梯形ABCD的高为＝2，则A(－4，0)，C(－1，2)，D(－2，2).因为以E为圆心，半径为1的圆的方程为：x2＋y2＝1，可设点P(cos θ，sin θ)，0≤θ＜2π.则·＝(cos θ＋2，sin θ－2)·(3，2)＝3cos θ＋6＋2sin θ－12＝2sin θ＋3cos θ－6＝sin(θ＋φ)－6，其中，tan φ＝，故当sin(θ＋φ)＝1时，＝－6.故选A. 13.(多选)(2025·福建福州模拟)平面向量m，n满足｜m｜＝｜n｜＝1，对任意的实数t，｜m－n｜≤｜m＋tn｜恒成立，则(　　) A.m与n的夹角为60° B.＋为定值 C.｜n－tm｜的最小值为 D.m在m＋n上的投影向量为 答案：AD 解析：对于A，设平面向量m与n的夹角为θ，因为对任意的实数t，｜m－n｜≤｜m＋tn｜恒成立，即m2－m·n＋n2≤m2＋2tm·n＋t2n2恒成立，又｜m｜＝｜n｜＝1，所以t2＋2tcos θ＋cos θ－≥0对任意的实数t恒成立，所以Δ＝4cos2θ－4cos θ＋1＝(2cos θ－1)2≤0，则cos θ＝，所以θ＝60°，故A正确；对于B，因为(m＋tn)2＋＝1＋2tcos 60°＋t2＋1＋t2－2tcos 60°＝2＋2t2随t的变化而变化，故B错误；对于C，因为｜n－tm｜＝＝＝，由二次函数的性质可知：当t＝时，｜n－tm｜取最小值，故C错误；对于D，｜m＋n｜＝，m＋n方向上的一个单位向量e＝＝，由向量夹角公式可得：cos＜m，m＋n＞＝＝＝，由投影向量的计算公式可得：m在m＋n上的投影向量为｜m｜·cos＜m，m＋n＞e＝1××＝，故D正确.故选AD. (14、15题，每小题5分，共10分) 14.(2024·河北沧州三模)对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB＝2，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　) A. B. C.1 D. 答案：B 解析：如图所示，过点M作MP∥BC，交直线AB，AC于点P，Q，设＝x＋y，可得x＋y＝1.设＝k，＝k，则＝－＝＋ky，因为＝λ＋μ，所以λ＋μ＝kx－1＋ky＝k－1，由图可知，当PM与半圆BC相切时，k最大，过半圆BC的最低点作EF∥BC，分别交AB，AC的延长线于点E，F，又由AB＝2，BE＝＝，可得AE＝2＋＝，所以kmax＝＝，即k最大为，所以λ＋μ的最大值为.故选B. 15.(多选)(2024·山东济南二模)如图，在直角三角形ABC中，AB＝BC＝，AO＝OC，点P是以AC为直径的半圆弧上的动点，若＝x＋y，则(　　) A.＝＋ B.·＝1 C.·最大值为1＋ D.B，O，P三点共线时x＋y＝2 答案：ACD 解析：因为AO＝OC，即O为AC的中点，所以＝＋，故A正确；如图建立平面直角坐标系，则B，C，A，O，所以＝，＝，则·＝－×＋0×＝－1，故B错误；又＝＝2，所以圆O的方程为＋＝1，设P(＋cos θ，＋sin θ)，θ∈，则＝(＋cos θ，＋sin θ)，又＝，所以·＝＋0×＝1＋cos θ，因为θ∈，所以cos θ∈，所以cos θ∈，所以·∈，故·最大值为1＋，故C正确；因为B，O，P三点共线，所以∥，又＝，＝(＋cos θ，＋sin θ)，所以×＝×，即sin θ＝cos θ，所以θ＝，所以＝，又＝，＝，且＝x＋y，即＝x＋y＝，所以所以所以x＋y＝2，故D正确.故选ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $