第8章 第6节 双曲线(课时跟踪检测)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

**基本信息** 以题载法系统覆盖双曲线核心考法，通过定义辨析、性质应用及综合拓展构建知识逻辑链，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|渐近线方程直接推导、标准方程判定|从标准方程到几何量关系，形成概念生成逻辑| |性质应用|7题|离心率公式转化、焦点距离计算|通过a,b,c关系推导离心率范围，强化性质关联| |综合拓展|4题|定义法求方程、几何证明与参数计算|结合椭圆、圆综合应用，构建知识网络|

第6节　双曲线 （时间：60分钟，满分：91分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2026·四川成都模拟）双曲线－＝1的渐近线方程为（　　） A.2x±y＝0 B.x±2y＝0 C.4x±y＝0 D.x±4y＝0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.“m＞4”是 “方程－＝1表示双曲线”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.（2026·宁夏石嘴山模拟）双曲线C与椭圆＋＝1有公共的焦点，且C的离心率是2，则C的标准方程是（　　） A.x2－＝1 B.y2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.设F（c，0）为双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点.已知a，b，c成等差数列，那么双曲线E的离心率为（　　） A. B. C. D.2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.〔多选〕某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y＝的图象是双曲线，设其焦点为M，N，若P为其图象上任意一点，则（　　） A.y＝－x是它的一条对称轴 B.它的离心率为 C.点（2，2）是它的一个焦点 D.｜｜PM｜－｜PN｜｜＝2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.〔多选〕已知双曲线C：－＝1（b＞0）的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A.C的虚轴长为2 B.C的离心率为 C.｜PF｜的最小值为2 D.直线PF的斜率不等于－ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.设双曲线C：－＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且｜F1F2｜＝4，则C的渐近线方程为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.与双曲线－y2＝1有公共渐近线，且过点（，）的双曲线的方程为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.（2026·辽宁葫芦岛模拟）若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.（13分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，焦距是实轴长的倍且过点（4，－）. （1）求双曲线方程； （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上. 11.（2026·安徽蚌埠模拟）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若·＝a2（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.〔多选〕〔一题多解〕（2025·全国Ⅱ卷11题）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则（　　） A.∠A1MA2＝ B.｜MA1｜＝2｜MA2｜ C.C的离心率为 D.当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的部分的旋转体.若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14.（15分）（2026·江西抚州模拟）已知点F1，F2为双曲线C：x2－＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°. （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值. 答案 第6节　双曲线 1.A　2.A　3.A　4.B　5.ABD　 6.ABD　因双曲线C：－＝1的渐近线为y＝±x，由题有＝，得到b2＝2，对于A，C的虚轴长为2b＝2，正确；对于B，C的离心率为e＝＝＝＝，正确；对于C，因为直线l：x＋y＝0，F（，0），所以F（，0）到直线的距离为d＝＝，所以｜PF｜的最小值为，错误；对于D，因为过点F（，0）且斜率为－的直线方程为y＝－（x－），即y＝－x＋与直线l：x＋y＝0平行，又P是l上一点，所以直线PF的斜率不等于－，正确.故选A、B、D. 7.y＝±x　8.y2－＝1 9.（1，2）　解析：易知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，依题意可得＞，所以0＜＜，所以双曲线离心率e＝＝＜＝2，又e∈（1，＋∞），可知双曲线离心率的取值范围是（1，2）. 10.解：（1）∵焦距是实轴长的倍， ∴e＝，∴双曲线是等轴双曲线，故设双曲线的方程为x2－y2＝λ（λ≠0）， ∵双曲线过点（4，－），∴16－10＝λ， ∴λ＝6. ∴双曲线方程为－＝1. （2）证明：由（1）可知，在双曲线中，a＝b＝，∴c＝2. ∴F1（－2，0），F2（2，0）. ∴＝（－2－3，－m）， ＝（2－3，－m）. ∴·＝9－12＋m2＝－3＋m2. ∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，∴m2＝3. ∴·＝0， ∴点M在以F1F2为直径的圆上. 11.D　由题意可作图如图， 由双曲线C：－＝1，则渐近线方程为y＝±x，右焦点F（c，0），c＝，易知在Rt△HOF中，b＝｜HF｜＝｜OF｜·sin∠HOF＝c·sin∠HOF，∵·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＝b·ccos＜，＞＝b·csin∠HOF＝b2＝a2，∴c2＝2a2，∴离心率e＝，故选D. 12.ACD　A.根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝，所以∠A1MA2＝，故A正确；B.法一（余弦定理）　如图，在△A1MO中，｜MA1｜2＝｜A1O｜2＋｜OM｜2－2｜A1O｜｜OM｜cos∠MOA1＝a2＋c2－2accos∠MOA1＝a2＋c2＋2ac×＝3a2＋c2，在△A2MO中，｜MA2｜2＝a2＋c2－2accos∠MOA2＝a2＋c2－2ac×＝c2－a2，在△A1MA2中，｜A2A1｜2＝｜MA1｜2＋｜MA2｜2－2｜MA1｜｜MA2｜cos，即4a2＝2c2＋2a2－2××，则13a2＝c2，所以｜MA1｜2＝16a2，｜MA2｜2＝12a2，所以｜MA1｜≠2｜MA2｜. 法二（几何法）　设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则＋＝c2，又y0＝x0，a2＋b2＝c2，联立可得x0＝a，y0＝b，所以M（a，b），所以MA2⊥x轴，在Rt△A1A2M中，因为∠A1MA2＝，所以＝cos＝≠，故B错误；C.根据13a2＝c2，得e＝，故C正确；D.当a＝时，｜MA1｜＝4，｜MA2｜＝2，所以四边形NA1MA2的面积为｜MA1｜｜MA2｜sin＝4×2×＝8，故D正确. 13.（1，）　解析：设点P（x0，y0），其中x0≠±a，易知点A（－a，0），B（a，0），且有－＝1，则＝a2＋，kPAkPB＝·＝＝＝，当点P在第一象限时，x0＞a，y0＞0，则kPA＝＞0，kPB＝＞0，且kPA≠kPB，由基本不等式可得kPA＋kPB＞2＝，∵存在点P，使得直线PA，PB的斜率之和为4，则＜4，即0＜＜2，∴e＝∈（1，）. 14.解：（1） 在直角三角形MF1F2中，因为∠MF1F2＝30°，所以有tan∠MF1F2＝，cos∠MF1F2＝⇒MF2＝c，MF1＝c， 由双曲线的定义可知：MF1－MF2＝2a＝2⇒c－c＝2⇒c＝，c＝⇒b2＝2， 所以双曲线C的方程是x2－＝1. （2）设P（x0，y0）是双曲线C上任意一点，故有2－＝2， 两条渐近线方程为：l1：x－y＝0； l2：x＋y＝0， 设l1：x－y＝0的倾斜角为α，故tan α＝， 设两条渐近线在第一、四象限夹角为θ，所以cos θ＝cos 2α＝＝－，于是有cos＜，＞＝－cos θ＝. 因为P到双曲线两条渐近线的距离为：｜PP1｜＝，｜PP2｜＝， 所以·＝··cos＜，＞＝·＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $