第1章 第1节 集合(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统覆盖集合核心考点，从元素特性、表示方法到集合关系、运算，延伸至创新问题与容斥原理，按“基础概念—关系运算—综合应用”层次架构知识网络。通过题组练透和例题探究的问题链设计，引导学生自主梳理知识联系，形成系统化认知。 亮点在于诊断性自测与分层指导，开篇3道典型题定位薄弱点，核心考点配“解题关键点”“易错提醒”等方法指导，真题演练结合高考题培养数学思维与数学语言表达。每个模块设反思记录区，帮助学生个性化提升，教师可通过学情精准辅导，支持因材施教。

第1节　集合 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义. 2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等含义. 3.会求两个集合的并集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形语言、符号语言描述具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算. 　　 元素与集合 1.集合中元素的三个特性：　　　、　　　　、　　　　. 2.集合的三种表示方法：　　　　、　　　　、　　　　. 3.元素与集合的两种关系：属于，记为　　　；不属于，记为　　　. 4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示　　　　集，N表示非负整数集（或自然数集），Z表示　　　　集，Q表示　　　　集，R表示实数集. 5.集合的分类：　　　　和　　　　. 提醒：N表示自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 题组练透 1.（2026·辽宁锦州模拟）设集合A＝{2，x，x2}，若1∈A，则x的值为（　　） A.－1 B.±1 C.1 D.0 2.（2026·广东佛山模拟）已知集合A＝{x｜x∈Z，且∈Z}，则集合A中的元素个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知集合S＝{y｜y＝x2＋3}，T＝{（x，y）｜x－2y＝0}，下列关系正确的是（　　） A.2∈S B.（－4，－2）∈T C.3∉S D.∉T 解答与集合中元素有关的问题的三个关键点 集合间的基本关系 　　表示 关系　　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中　　　　元素都是集合B中的元素 　　　（或B⊇A） 或 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A 　　　（或B⫌A） 集合相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A＝B 空集 不含任何元素的集合 ⌀ 结论：若集合A中有n（n≥1）个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集（非空子集），2n－2个非空真子集. （1）设M＝{x｜x＝，k∈Z}，N＝{x｜x＝k＋，k∈Z}，则（　　） A.M⫋N B.N⫋M C.M＝N D.M∩N＝⌀ （2）（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝（　　） A.2 B.1 C. D.－1 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题. 练1 （1）已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜－1＜x＜5}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（　　） A.8 B.7 C.4 D.3 （2）已知集合A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A⊆B，则实数a的取值范围为　　　　. 集合的基本运算 　　类别 表示　　 并集 交集 补集 图形语言 符号语言 A∪B＝　　　 A∩B＝　　　 ∁UA＝　　　 结论：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. （1）（2025·全国Ⅱ卷3题）已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x｜x3＝x}，则A∩B＝（　　） A.{0，1，2} B.{1，2，8} C.{2，8} D.{0，1} （2）（2026·河南九师联盟质检）已知集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜ax2－5x＋4＜0}，若A∩B＝（1，3），则A∪B＝（　　） A.（－1，＋∞） B.（－∞，3） C.（－1，4） D.（－4，3） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.集合基本运算的方法技巧 2.利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍； （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 练2 （1）（2024·全国甲卷2题）已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则∁A（A∩B）＝（　　） A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} （2）设集合S＝{x｜x＜－1或x＞5}，T＝{x｜a＜x＜a＋8}，且S∪T＝R，则实数a的取值范围为（　　） A.（－∞，－3）∪（－1，＋∞） B.（－3，－1） C.（－∞，－3]∪[－1，＋∞） D.[－3，－1] 集合的创新问题 （1）设A是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈A，都有a＋b，a－b，ab，∈A（除数b≠0），则称A是一个数域，则下列集合为数域的是（　　） A.N B.Z C.Q D.{x∈R｜x≠0} （2）（2025·广西南宁适应性测试）已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，4，5，8}，又知集合C是这样一个集合：若集合C的各元素都加上2，它就变成A的一个子集；若集合C的各元素都减去2，它就变成B的一个子集.试写出这样的一个集合C＝　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解决以集合为背景的新定义问题的关键 （1）紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在； （2）用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质. 练3 （1）〔多选〕对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图所示（包括阴影区域及其边界），其中为凸集的是（　　） （2）已知集合A，B与集合A·B的对应关系如下表所示： A {1，2，3，4，5} {－1，0，1} {－4，8} B {2，4，6，8} {－2，－1，0，1} {－4，－2，0，2} A·B {1，3，5，6，8} {－2} {－2，0，2，8} 若A＝{－2 026，0，2 026}，B＝{－2 026，0，2 027}，试根据表中的规律写出A·B＝　　　　. 容斥原理 教材母题：〔人A必修一P35复习参考题11题〕学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 细研教材：〔人A必修一P15阅读与思考〕在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.一般地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bm}，将A中的元素个数记为card（A）＝n，将B中的元素个数记为card（B）＝m，关于集合中的元素个数有下面的关系. （1）二元容斥原理：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）； （2）三元容斥原理：card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（C∩A）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）. 〔一题多解〕某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，其中16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为（　　） A.168 B.172 C.184 D.196 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 提示：完成课后作业　第一章　第1节 答案 第1节　集合 考点一 1.确定性　无序性　互异性 2.列举法　描述法　图示法 3.∈　∉ 4.正整数　整数　有理数 5.有限集　无限集 题组练透 1.A　由题意得x＝1或x2＝1，若x＝1⇒x2＝1，不满足集合中元素的互异性，故x2＝1，x＝－1.故选A. 2.C　因为x∈Z，且∈Z，所以2－x的值有－3，－1，1，3，所以x的值有5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.故选C. 3.B　因为S＝{y｜y＝x2＋3}＝{y｜y≥3}，所以A、C错误；因为－4－2×（－2）＝0，所以（－4，－2）∈T，所以B正确；又－1－2×＝0，所以∈T，所以D错误.故选B. 考点二 任意一个　A⊆B　A⫋B 【例1】　（1）B　（2）B　解析：（1）对于集合N，因为x＝k＋＝（2k＋1），k∈Z，所以集合N是由所有奇数的一半组成，而集合M是由所有整数的一半组成，故N⫋M. （2）由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A⊆B.综上所述，a＝1.故选B. 练1　（1）B　（2）（3，＋∞）　解析：（1）易知A＝{1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，因为A⫋C⊆B，所以1，2∈C，所以集合C的个数等于集合{0，3，4}的非空子集个数，故集合C的个数为23－1＝7. （2）因为A＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且A⊆B.①当A＝⌀时，2a－3＞a，则a＞3，满足题意；②当A≠⌀时，用数轴表示其关系如图，所以即所以a不存在，综上所述，实数a的取值范围为（3，＋∞）. 考点三 {x｜x∈A，或x∈B}　{x｜x∈A，且x∈B}　{x｜x∈U，且x∉A} 【例2】　（1）D　（2）C　解析：（1）由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}.故选D. （2）因为A∩B＝（1，3），A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜ax2－5x＋4＜0}，所以1是方程ax2－5x＋4＝0的根，则a－5＋4＝0，解得a＝1，故B＝{x｜x2－5x＋4＜0}＝（1，4），符合题意，故A∪B＝（－1，4）.故选C. 练2　（1）D　（2）B　解析：（1）B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A（A∩B）＝{2，3，5}.故选D. （2）因为S＝{x｜x＜－1或x＞5}，T＝{x｜a＜x＜a＋8}，且S∪T＝R，所以解得－3＜a＜－1，即实数a的取值范围为（－3，－1）.故选B. 提能点 【例3】　（1）C　（2）{4，7}（答案不唯一）　解析：（1）1，2∈N，∉N，故N不是数域，A错误，同理B错误；任意a，b∈Q，都有a＋b，a－b，ab，∈Q（除数b≠0），故Q是一个数域，C正确；对于集合A＝{x∈R｜x≠0}，1∈A，取a＝1，b＝1，则a－b＝1－1＝0∉A，故{x∈R｜x≠0}不是数域，D错误. （2）逆向思维，即A中的元素都减去2得到集合D＝{0，2，4，6，7}，B中的元素都加上2得到集合E＝{3，4，5，6，7，10}.因此集合C是集合D和集合E的公共元素所组成的集合G＝{4，6，7}的非空子集，故这样的集合C有7个，答案不唯一，如C＝{4，7}. 练3　（1）BC　（2）{2 026，2 027} 解析：（1）A中取最左边的点和最右边的点的连线，不在集合中，故不是凸集；D中取两圆的公切线，不在集合中，故不是凸集；B、C显然符合. （2）通过对表中集合关系的分析，可以发现规律：集合A·B表示的是A∪B中的元素再去掉A∩B中的元素，故当A＝{－2 026，0，2 026}，B＝{－2 026，0，2 027}时，A·B＝{2 026，2 027}. 衔接教材 【例】　C　法一　设全年同学中听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C.由题意知，card（A）＝85，card（B）＝70，card（C）＝61，card（A∩B）＝16，card（A∩C）＝12，card（B∩C）＝9，card（A∩B∩C）＝5，由三元容斥原理得card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）＝184. 法二　设全年级同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C.根据题意，用Venn图表示，如图所示.由Venn图可知，听讲座的人数为62＋7＋5＋11＋4＋50＋45＝184. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $