暑假作业20-概率与统计综合解答题专练（巩固培优,6知识7题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 聚焦概率统计核心知识，以"统计基础-概率应用-综合实践"为逻辑主线，通过7类典型题型系统训练数据分析与概率计算能力，培养数学建模与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计图表与数字特征|3题|频率分布直方图应用，求平均数、中位数、百分位数|从数据收集（抽样）到图表呈现，再到数字特征估计的完整统计流程| |概率综合应用|4题|古典概型、互斥与独立事件概率计算|事件关系判定→概率公式应用→实际问题建模的递进关系| |统计与概率交汇|8题|分层抽样、样本估计与概率结合|统计推断与概率计算的综合应用，体现数据分析与随机观念的融合|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业20概率与统计综合的解答题专练 【知识点1 随机抽样】 1．简单随机抽样 (1)抽取方式：逐个不放回地抽取． (2)特点：每个个体被抽到的概率相等． (3)常用方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)分层抽样的应用范围 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 【知识点2 常用统计图表】 1.常见的统计图表有条形统计图、扇形统计图、频率折线图、频率分布直方图、频率分布表等. 2．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； (2)决定组距与组数； (3)将数据分组； (4)列频率分布表； (5)画频率分布直方图． 【知识点3 用样本估计总体】 1.总体集中趋势的估计 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即＝ 中位数 将一组数据按从小到大的顺序排列后，处在“中间”的那个数据为这组数据的中位数(“中间”指最中间一个(数据奇数个)或最中间两个数据的平均数(数据偶数个)) 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数 【注意】平均数反映了数据取值的平均水平. 2.总体离散程度的估计 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，那么这n个数的 (1)标准差s＝. (2)方差s2＝. 【注意】方差和标准差反映了数据波动程度的大小. 3.总体百分位数的估计 (1)百分位数 一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. (2)百分位数的意义 反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点. (3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤： 第1步，按照从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝np； 第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 【注意】常用的百分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数.这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 4.分层随机抽样的均值与方差 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为.则(1)＝xi，＝，＝yi， ＝. ＝＋. (3)s2＝{m[＋]＋n[＋]}. 【知识点4 互斥事件与对立事件】 1．事件的分类 确定 事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件 不可能 事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件 随机 事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件 2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1 【知识点5 频率与概率】 1.在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． 2.对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率． 3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率为. (3)不可能事件的概率为. (4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝，P(A)＝1－P(B)． 【知识点6 古典概型】 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1)古典概型的特点 ①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． (2)古典概型的概率公式 P(A)＝. 【题型1 统计图表与样本数字特征的综合应用】 1．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)填空：______； (2)求样本数据的中位数与第35百分位数； (3)已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数. 【答案】(1)0.005 (2)中位数为80；75 (3)89. 【详解】（1），故. （2）前三组频率之和为，所以样本数据的中位数为80； 前两组频率之和为，则样本数据的第35百分位数落在第三组. 设第35百分位数为，则，解得， （3）由题意，成绩在，内的人数分别为30，20， 所以成绩在内的平均数为：， 所以，成绩在内的平均数为89. 2．（25-26高一下·河南·阶段检测）某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 【答案】(1) (2)天 (3) 【详解】（1）由可得：， 故； （2）低于的组为，，， 对应的频率和为：， 天数为：（天）； （3）各组中间值分别为：25，35，45，55，65， ． 3．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 【答案】(1)，90 (2)86 (3)平均数为91，方差为22． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 估计样本中成绩不低于60分的人数为． （2）前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为， 所以成绩的上四分位数落在内，设其为， 则，解得， 即估计样本中成绩的上四分位数为86． （3）样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 【题型2 古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率的综合】 1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 (1)已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； (2)用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； (3)现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)小时 (3)事件与事件不独立，理由如下： 由题意，，且， 因，则， 所以事件与事件不独立. 【详解】（1）由题意，所抽取的100名学生中高一学生人数为人， 所以，可得； （2）由题意，高二年级学生一周使用图书馆的平均时间为小时； （3）略 2．（25-26高二下·上海·期中）第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于月日至日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取名参会者做进一步访谈，发现其中男性共人，这人中有人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的名参会者中任选人. 设事件 人均为“中年人”，事件 人中至少有人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不独立，理由见详解 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组的频率和为，组距为， 因此：，解得， “青年人”年龄落在，对应的频率为： ， 总人数为，因此“青年人”的人数为. （2）中年人（）总人数：， 老年人（）总人数：， 分层抽样抽取人，抽样比为， 因此抽取得到：青年人人，中年人人，老年人人，总选法：， 事件为“人均为中年人”，，因此， 事件为“2人中至少1人为男性”，对立事件为“2人均为女性”， ，因此， 为“人均为中年人，且至少人为男性”， ，因此， ， 显然，因此事件与事件不独立. 3．（25-26高二下·北京海淀·期中）为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从三组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在内的学生人数恰有2人的概率； (3)从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，判断事件和是否互相独立，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互相独立 【详解】（1）频率分布直方图中，每个小矩形的面积=组距×频率密度=该组的频率， 所有小矩形面积之和等于1. 各组组距均为2，则：， 化简得：，解得：. （2）由题可知，样本总数为500人，组距为2， 则可计算得组频率为，人数为； 组频率为，人数为； 组频率为，人数为. 三组总人数为， 从中抽取10人，所以抽样比例为. 计算可得组抽人； 组抽人；组抽人. 从这10人中随机抽取3人，总基本事件数为：， 组有4人，从中选2人：， 其余1人从另外两组共人中选：. 则从10人中随机抽取3人，其中内的学生人数恰有2人的概率为： . （3）已知频率密度，计算可得出各组频率为： 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为. 事件：阅读时间在内，包括和两组，. 事件：阅读时间在内，包括、、、四组， . 事件：阅读时间同时满足和，即区间，. 若与独立，则. 计算可得， 因为，所以， 因此与互相独立. 【题型3 频率与概率的综合】 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个 (2) 【详解】（1）因为耐用型总共有个，合格型总共有个， 抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为. 所以耐用型抽取个，合格型抽取个． （2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为， 故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为． 2．（25-26高二上·湖北·期中）国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表： 不满意 一般 满意 男性 15 20 女性 5 20 (1)请据此表数据，估计游客对景区的满意率； (2)若，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，，， 所以游客对景区的满意率. （2）因为，，， 所以满意的顾客中，男性和女性的人数对所有可能为：，，，，，，共个数对， 其中的有：，共个数对， 所以满意的顾客中，女性顾客不少于男性顾客的概率. 3．（25-26高二上·四川成都·期末）为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图． (1)求的值： (2)求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； (3)现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率． 【答案】(1) (2)中位数为，平均数 (3) 【详解】（1）由， 解得. （2）由图可知，成绩在区间的频率分别为， 因为， 所以中位数位于区间内，设中位数为， 则有，解得中位数分， 这500名同学数学成绩的平均数为： 分； （3）由区间的人数为：人 区间的人数为：人 人数比为，所以在区间应抽取2人，设为， 在区间应抽取4人，设为， 设事件“这6人中选取2人，选取的2人均位于区间”， 由样本空间， ，得， 由事件，得， 所以． 【题型4 样本数字特征与概率的综合】 1．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 【答案】(1) (2)平均数为 ，中位数为 (3) 【详解】（1）由图知，组距，由，得． （2）各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 所以， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 所以中位数满足关系， 由，解得． （3）由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个， 分别记为和， 从中任取2个的取法有： ， ， ，共21种取法， 其中都是优质果实的取法有，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率． 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 【答案】(1) (2)77；106 (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. （2）用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差. （3）在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 3．（25-26高一下·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【答案】(1)平均数为100，方差为104 (2) 【详解】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为， 故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为： 设事件“既有的答卷也有的答卷” 则，共6种情况． 故, 【题型5 统计图表与古典概型的综合】 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【答案】(1) (2)93分 (3) 【详解】（1）由题， 解得：． （2）由（1）可知，数学成绩在： 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 频率， 样本平均值为：， 可以估计样本数据中数学成绩均值为93分， 据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均分是93分； （3）由题意可知，分数段的人数为（人）， 分数段的人数为（人）． 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50，70）分数段内抽2人，分别记为，需在分数段内抽3人，分别记为，，， 设“从样本中任取2人，抽取的这2名学生的分数不在同一组内”为事件， 则样本空间共包含10个样本点， 所以事件的对立事件为包含4个样本点 所以， 所以， 即抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率为． 2．（25-26高一下·吉林长春·期中）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． (1)求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； (2)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3，4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】(1)，中位数： (2)应从第3，4组中分别抽取3人，2人； 【详解】（1）由图可得：，解得； 年龄在内的频率为，年龄在内的频率为 中位数为：. （2）第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 3．（25-26高一下·重庆·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值． (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以. （2）由（1）得，该次考试测试分数的平均数的估计值为： 分； 测试分数在的频率：， 测试分数在的频率：， 则测试分数中位数为，，解得， 所以此次数学测试分数的中位数约为. （3）记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中， 分数在的有2人，编号分别为，分数在有3人，编号为， 样本空间， 则，记事件“至少一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为. 【题型6 统计图表与互斥事件的综合】 1．（25-26高一下·江西九江·期中）某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 【答案】(1)，平均数为 (2) 【详解】（1）因为组距为，所以， 解得. 平均数为. （2）没人满分的概率为， 所以至少一人满分的概率为. 2．（25-26高一下·全国·单元测试）由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时，等候付款的人数及概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 求： (1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？ (2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？ 【答案】(1)0.04 (2)0.26 【详解】（1）设“5人及以上排队等候付款”为事件，由于所有概率的和为1， 则，即5人及以上排队等候付款的概率是0.04． （2）设“至多有1人排队”为事件，“没有人排队”为事件，“恰有1人排队”为事件，则事件与互斥，，，，所以，即至多有1人排队等候付款的概率是0.26． 【题型7 统计图表与相互独立事件的综合】 1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，， 解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． （2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，， ． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】(1)2 (2)71， (3) 【详解】（1）由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； （2）平均数. 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 3．（25-26高二上·广东江门·期末）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (3)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为、、三个等级.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、；乙在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、.求甲、乙能同时获得参赛资格的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，，解得. （2）因为按、分层，采用分层随机抽样的方法抽取人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为、、， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为， 从人中抽取人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有人分数低于分”为事件， 则. 即，因此. 故人中至少有人分数低于分的概率为. （3）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，，. 由于甲、乙的考核结果互相不受影响， 所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立. 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为. 1．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）， ，， 所以中位数在区间内，故． （2），． 所以这100人的数学平均分为，方差为. 2．（2026·上海·一模）从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 【详解】（1）由已知样本空间， 若函数有两个不等的零点，则， 解得或， 事件为“所选取的实数使得函数有两个不等零点”， 所以事件对应的集合为， 则； (2)是相互独立事件，理由如下： 若函数在上是严格增函数， 则，即， 所以事件对应的集合为，， 则事件事件同时发生对应的集合， 则. 所以事件A和事件B是相互独立事件. 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示：    (1)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于的概率； (2)现有体育成绩在分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有、、、、共五个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为，另一科成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得、、、、五个等级的概率分别是，，，，；乙在每科笔试中取得、、、、五个等级的概率分别是，，，，，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）按分层抽样，得分在的有人，记为； 得分在的有人，记为． 从人中抽取两人进行测试， 样本空间为， 则； 记“至少有一人得分不低于分”为事件， 则， 即， 因此． （2）记甲能参加国庆营的概率为，乙能参加国庆营的概率为 ， 由题意可得； 同理可得，． 由于考试互不影响，所以甲、乙能否参加国庆营相互独立， 则甲、乙能同时参加国庆营的概率为 ． 4．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求． (2)当时，求的表达式． (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，， 即这个数中共有个数字，其中数字的个数为， 则恰好取到的概率为； （2）当时，这个数有位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，则； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，； 当时，这个数有个一位数组成，个两位数组成，个三位数组成，个四位数组成，； 综上所述：. （3）由集合的定义，只需考虑． 当时，数字0和数字9都没有出现，所以，从而． 当时，，所以，即． 当时，设，其中，． 从1写到时，个位上的0出现在10，20，…，中，共有个，因此． 个位上的9在不超过的数中出现次；当且仅当时，数又增加一个个位数字9． 在此范围内十位尚未出现9，所以． 于是当且仅当，即． 当时，设，其中． 此时数字0的个数为． 个位数字9在9，19，…，89中出现9次，十位数字9在90，91，…，中出现次， 所以，从而． 因此只有时，即． 当时，，所以． 当时，100又增加2个0，所以，而，故． 综上，． 当时，． 当，时，． 并且，所以随增大而增大． 因此这些点中的最大值为． 当时，． 因为，所以当时，的最大值为． 1．（25-26高二下·上海·阶段检测）陶老师为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示. (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第30百分位数； (2)陶老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享.设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”.试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)陶老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这位学生的数据平均数为23小时.当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，求这位学生每周平均手机使用时长的方差（精确到0.1）. 【答案】(1)13； (2)事件和事件不独立；理由见解析 (3)2.5 【详解】（1）由茎叶图可知男生总人数为，所以， 将男生每周平均手机使用时长从小到大排列，其中第，位的数据分别是，， 所以第百分位数为. （2）事件和事件不相互独立，理由如下： 由，解得， 所以女生中每周平均手机使用时长小于小时的人数为， 且女生中每周平均手机使用时长位于区间的有人，位于区间的有人. 由茎叶图可知，男生中每周平均手机使用时长小于小时的有人， 且男生中每周平均手机使用时长位于区间的有人. 因此总共抽取人，每周平均手机使用时长位于区间的共有人， 所以，， 若抽取的是名女生且恰好有人的每周平均手机使用时长位于区间的概率为， 所以， 因为， 所以事件和事件不相互独立. （3）由茎叶图和频率分布直方图可知， 个数据中，男生数据为，， 设女生的数据为，，，且， 由题意可知，解得，， 因为，，，成等差数列， 所以，， 因此这个数据分别为：，，，，，， 所以方差为， 所以这位学生每周平均手机使用时长的方差为. 2．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】(1)平均年龄为岁，众数为岁； (2). 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 第五组：. 则平均年龄约为：（岁）. 众数的估计值为最高矩形底边的中点，即（岁）. 故估计这人的平均年龄为岁，众数为岁. （2）第四组的人数为人，第五组的人数为人. 因为采用分层随机抽样抽取人，抽样比为. 所以第四组应抽取人，第五组应抽取人. 第四组和第五组共抽取人. 由题意知，甲在第四组被抽取的人中，乙在第五组被抽取的人中. 记第四组除甲外的人为，第五组除乙外的人为. 则这人构成的集合为甲，，乙，. 从中随机抽取名作为组长， 结果有：甲，，甲，，甲，，甲，乙，甲，，，， ，乙，，，，乙，，，乙，，乙，共15种. 设事件为“甲、乙两人至少有一人被选上”，则其对立事件为“甲、乙两人都没有被选上”. 事件包含的结果是从这人中抽取人，结果有：，，， ，，共6种，则. 故，即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业20概率与统计综合的解答题专练 【知识点1 随机抽样】 1．简单随机抽样 (1)抽取方式：逐个不放回地抽取． (2)特点：每个个体被抽到的概率相等． (3)常用方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样 (1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． (2)分层抽样的应用范围 当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 【知识点2 常用统计图表】 1.常见的统计图表有条形统计图、扇形统计图、频率折线图、频率分布直方图、频率分布表等. 2．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； (2)决定组距与组数； (3)将数据分组； (4)列频率分布表； (5)画频率分布直方图． 【知识点3 用样本估计总体】 1.总体集中趋势的估计 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即＝ 中位数 将一组数据按从小到大的顺序排列后，处在“中间”的那个数据为这组数据的中位数(“中间”指最中间一个(数据奇数个)或最中间两个数据的平均数(数据偶数个)) 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数 【注意】平均数反映了数据取值的平均水平. 2.总体离散程度的估计 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，那么这n个数的 (1)标准差s＝. (2)方差s2＝. 【注意】方差和标准差反映了数据波动程度的大小. 3.总体百分位数的估计 (1)百分位数 一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p. (2)百分位数的意义 反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点. (3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤： 第1步，按照从小到大排列原始数据； 第2步，计算i＝np； 第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 【注意】常用的百分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数.这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 4.分层随机抽样的均值与方差 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为.则(1)＝xi，＝，＝yi， ＝. ＝＋. (3)s2＝{m[＋]＋n[＋]}. 【知识点4 互斥事件与对立事件】 1．事件的分类 确定 事件 必然事件 在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件 不可能 事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件 随机 事件 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件 2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B A＝B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1 【知识点5 频率与概率】 1.在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． 2.对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率． 3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率为. (3)不可能事件的概率为. (4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝，P(A)＝1－P(B)． 【知识点6 古典概型】 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1)古典概型的特点 ①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． (2)古典概型的概率公式 P(A)＝. 【题型1 统计图表与样本数字特征的综合应用】 1．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示. (1)填空：______； (2)求样本数据的中位数与第35百分位数； (3)已知直方图中成绩在内的平均数为85；成绩在内的平均数为95.求成绩在内的平均数. 2．（25-26高一下·河南·阶段检测）某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 3．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数； (3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 【题型2 古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率的综合】 1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 (1)已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； (2)用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； (3)现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 2．（25-26高二下·上海·期中）第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于月日至日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在 岁之间的名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为，，，，，.把年龄落在区间内的人称为“青年人”，把年龄落在区间内的人称为“中年人”，把年龄落在内的人称为“老年人”. (1)求所抽取的“青年人”的人数； (2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取名参会者做进一步访谈，发现其中男性共人，这人中有人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的名参会者中任选人. 设事件 人均为“中年人”，事件 人中至少有人为男性，判断事件与事件是否独立，并说明理由. 3．（25-26高二下·北京海淀·期中）为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从三组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在内的学生人数恰有2人的概率； (3)从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，判断事件和是否互相独立，并说明理由． 【题型3 频率与概率的综合】 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：）进行追踪调查，情况如下： 寿命 个数 20 30 80 40 30 (1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？ (2)估计元件的寿命在400h及以上的概率． 2．（25-26高二上·湖北·期中）国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表： 不满意 一般 满意 男性 15 20 女性 5 20 (1)请据此表数据，估计游客对景区的满意率； (2)若，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率. 3．（25-26高二上·四川成都·期末）为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图． (1)求的值： (2)求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； (3)现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率． 【题型4 样本数字特征与概率的综合】 1．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 3．（25-26高一下·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【题型5 统计图表与古典概型的综合】 1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值： (2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数： (3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 2．（25-26高一下·吉林长春·期中）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． (1)求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； (2)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3，4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 3．（25-26高一下·重庆·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值． (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【题型6 统计图表与互斥事件的综合】 1．（25-26高一下·江西九江·期中）某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加本次测试（测试成绩均在内），将所得数据分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率. 2．（25-26高一下·全国·单元测试）由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时，等候付款的人数及概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 求： (1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？ (2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？ 【题型7 统计图表与相互独立事件的综合】 1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 3．（25-26高二上·广东江门·期末）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (3)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为、、三个等级.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、；乙在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、.求甲、乙能同时获得参赛资格的概率. 1．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 2．（2026·上海·一模）从，，，，，中任意选取一个实数作为a，构造函数，，记事件A为“所选取的实数a使得函数有两个不等零点”． (1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2)记事件B为“所选取的实数a使得函数在上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是否为相互独立事件并说明理由． 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示：    (1)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于的概率； (2)现有体育成绩在分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有、、、、共五个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为，另一科成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得、、、、五个等级的概率分别是，，，，；乙在每科笔试中取得、、、、五个等级的概率分别是，，，，，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率. 4．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）将连续正整数1，2，…，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求． (2)当时，求的表达式． (3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值． 1．（25-26高二下·上海·阶段检测）陶老师为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示. (1)求该班男生每周平均手机使用时长的第30百分位数； (2)陶老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享.设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”.试判断事件和事件是否独立，并说明理由； (3)陶老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这位学生的数据平均数为23小时.当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，求这位学生每周平均手机使用时长的方差（精确到0.1）. 2．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测）2026年5月24日23时08分，神舟二十三号发射成功，乘组航天员朱杨柱、张志远、黎家盈（首位香港女航天员）密切协同，将完成3.5小时快速径向交会对接．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，这200人按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图， (1)根据频率分布直方图，估计这200人的平均年龄和众数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $