第2章 第7节 对数与对数函数(课时跟踪检测)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

**基本信息** 对数与对数函数一轮专项训练，以题载法，覆盖概念-性质-应用全链条，融合数形结合、分类讨论等数学思维，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|1-2题|反函数定义、对数运算法则|从指数函数反函数引入对数概念，通过运算深化理解| |性质应用|3-8题|比较大小（中间值法）、图象对称性、复合函数单调性|结合对数函数单调性、奇偶性，构建性质应用逻辑链| |综合拓展|9-15题|换元法、分类讨论（底数a）、数形结合（不等式恒成立）|从基础运算到函数与方程综合，体现知识应用拓展

第7节　对数与对数函数 （时间：60分钟，满分：95分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝（　　） A.log2x B. C.lox D.2x－2 2.（2026·江苏无锡天一中学月考）下列各式运算正确的是（　　） A.＋＝7 B.ln e2＋ln（ln e）＝1 C.log23·log34＝1 D.lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0 3.（2025·江苏南京二模）已知a＝log23，b＝log43，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.c＜b＜a D.b＜c＜a 4.（2025·湖南长沙市一中模拟）已知函数f（x）＝lo（x2＋3），且f（log2m）＜f（2），则实数m的取值范围为（　　） A.（4，＋∞） B.（ 0，） C.（ ，4） D.（ 0，）∪（4，＋∞） 5.在同一平面直角坐标系中，函数y＝loga（－x），y＝（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　） 6.〔多选〕已知函数f（x）＝log2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有下列说法，其中正确的为（　　） A.f（x）的图象关于原点对称 B.f（x）的图象关于y轴对称 C.f（x）的最大值为0 D.f（x）在区间（－1，1）上单调递增 7.（2026·山东乳山模拟）若函数f（x）＝在（－∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为　　　　. 8.（2025·广东深圳一模改编）已知a＞0，且a≠1，则函数y＝loga（ x＋）的图象一定经过第　　　象限. 9.（13分）已知a＞0，a≠1且loga3＜loga2，函数y＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1. （1）求a的值； （2）若1≤x≤3，求函数y＝（logax）2＋loga－2的最小值. 10.已知函数f（x）＝log2（x＋2），若a＞b＞c＞0，则（　　） A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜＜ 11.若不等式（x－1）2＜logax（a＞0且a≠1）在x∈（1，2]内恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A.（ 0，） B.（0，1） C.（ ，1） D.（1，2） 12.〔多选〕已知函数f（x）＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（　　） A.x1＋x2＝－4 B.x3x4＝1 C.1＜x4＜4 D.0＜x1x2x3x4≤2 13.〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷8题改编）设函数f（x）＝（x＋a）·ln（x＋b）.若f（x）≥0，则a2＋b2的最小值为　　　　. 14.（15分）已知函数f（x）＝loga（ax2－x）（a＞0，且a≠1）. （1）若a＝，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）在区间[2，4]上单调递增，求实数a的取值范围. 15.〔创新交汇〕设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，如图所示.若△ABC为正三角形，则m·2n＝　　　　. 答案 第7节　对数与对数函数 1.A　2.D　3.D　4.D　 5.C　因为函数y＝loga（－x）的图象与函数y＝logax的图象关于y轴对称，所以函数y＝loga（－x）的图象恒过定点（－1，0），故A、B错误；当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上单调递增，所以函数y＝loga（－x）在（－∞，0）上单调递减，而y＝（a＞1）在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，故D错误，C正确. 6.BC　7.[1，17]　8.三、四 9.解：（1）因为loga3＜loga2，所以0＜a＜1， 所以y＝logax在[a，3a]上为减函数， 因为函数y＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1， 所以logaa－loga（3a）＝1，即loga＝1，解得a＝. （2）由（1）得a＝，因为1≤x≤3， 所以－1≤lox≤0， 所以y＝（logax）2＋loga－2＝（lox）2＋lox－2，　 令lox＝t，则t∈[－1，0]，y＝t2＋t－2＝（ t＋）2－，所以当t＝－，即x＝时，y取得最小值，且最小值为－. 10.A　，，可分别看作函数f（x）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））与坐标原点O（0，0）连线的斜率.作出函数f（x）的图象如图所示，由图象可知，当a＞b＞c＞0时，＜＜.故选A. 11.D　若0＜a＜1，此时x∈（1，2]，logax＜0，而（x－1）2＞0，故（x－1）2＜logax无解；若a＞1，此时x∈（1，2]，logax＞0，而（x－1）2＞0，令f（x）＝logax，g（x）＝（x－1）2，画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由不等式（x－1）2＜logax在x∈（1，2]内恒成立，则loga2＞1，解得a∈（1，2）. 12.AB　函数f（x）＝的图象如图所示，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝t，则0＜t＜4，则直线y＝t与函数y＝f（x）图象的4个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4.对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；对于B，由图象可知｜log2x3｜＝｜log2x4｜，且0＜x3＜1＜x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2（x3x4）＝0，所以x3x4＝1，故B正确；对于C，由图象可知log2x4∈（0，4），则1＜x4＜16，故C错误；对于D，由图象可知－4＜x1＜－2，当x≤0时，f（x）＝－x2－4x，所以x1x2x3x4＝x1（－4－x1）＝－－4x1＝f（x1）∈（0，4），故D错误. 13.　解析：法一　由题意可知：f（x）的定义域为（－b，＋∞），令x＋a＝0，解得x＝－a；令ln（x＋b）＝0，解得x＝1－b，则当x∈（－b，1－b）时，ln（x＋b）＜0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；当x∈（1－b，＋∞）时，ln（x＋b）＞0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0，故1－b＋a＝0，则a2＋b2＝a2＋（a＋1）2＝2（ a＋）2＋≥，当且仅当a＝－，b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为. 法二　令f（x）＝0，解得x＝－a或x＝1－b.易知y1＝x＋a，y2＝ln（x＋b）均为增函数.若f（x）≥0恒成立，则－a＝1－b，即b＝1＋a.所以a2＋b2＝a2＋（1＋a）2＝2（ a＋）2＋≥，当a＝－，b＝时，等号成立，所以（a2＋b2）min＝. 14.解：（1）当a＝时，f（x）＝lo（ x2－x）.由x2－x＞0，得x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2， 所以函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（2，＋∞）， 利用复合函数的单调性可得函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0），单调递减区间为（2，＋∞）. （2）令g（x）＝ax2－x，因为a＞0且a≠1，所以函数g（x）的图象开口向上，对称轴为直线x＝. ①当0＜a＜1时，要使函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，则g（x）＝ax2－x在[2，4]上单调递减，且g（x）min＝g（4）＞0， 即此不等式组无解； ②当a＞1时，要使函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，则g（x）＝ax2－x在[2，4]上单调递增，且g（x）min＝g（2）＞0，即解得a＞，又a＞1，所以a＞1. 综上，实数a的取值范围为（1，＋∞）. 15.12　解析：由题意可得BC＝2，则正三角形ABC边长为2，点A到BC距离为，BC中点纵坐标与点A纵坐标相等且等于点B纵坐标加1，所以点C的坐标为（m＋，n＋1）.将A，C两点的坐标代入函数y2＝log2x＋2，可得log2m＋2＝n，log2（m＋）＋2＝n＋1，两式相减得log2（m＋）－log2m＝1，所以log2＝1，所以＝2，解得m＝，所以n＝log2m＋2＝log2＋2＝log24，所以m·2n＝×＝×4＝12. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $